CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 ESERCIZI

1 CORSO DIANALISIMATEMATICA2 ESERCIZIC arlo Ravaglia18 febbraio 2016ivIndice14 Calcolo Derivate parziali .. Derivate parziali .. Massimi e minimi .. Massimi e minimi di funzioni .. Derivate parziali di ordine superiore .. Derivate parziali di ordine superiore .. Differenziabilit`a e derivata .. Dominio, matrice jacobiana e derivata .. Matrice jacobiana e derivata .. Derivata della funzione composta .. Gradiente e differenziale .. Derivate direzionali .. Derivate direzionali .. Diffeomorfismo .. Diffeomorfismo e derivata della funzione inversa.

2 Estremanti relativi .. Estremanti relativi inR2.. Estremanti relativi inR3.. 3115 Forme differenziali Forme differenziali esatte .. Forme differenziali esatte inR2.. Forme differenziali esatte inR3.. Forme differenziali esatte inRN.. Campi di vettori esatti .. Campi di vettori esatti .. Integrale di forme differenziali su traiettorie .. Integrale di forme differenziali su traiettorie .. 3916 Equazioni Problema con equazione implicita .. Problema con equazione implicita inR2.. Problema con una equazione implicita inR3.. Problema con un sistema di due equazioni implicite inR3.

3 4417 Sottovariet`a differenziali di Sottovariet`a differenziali diRN.. Sottovariet`a differenziale; spazio tangente, spazio normale, va-riet`a lineare tangente, variet`a lineare normale .. Spazio tangente, spazio normale, variet`a lineare tangente, va-riet`a lineare normale ad una sottovariet`a in forma parametrica Sottovariet`a e derivate direzionali .. Massimi e minimi .. Massimi e minimi di funzioni di due variabili .. Massimi e minimi di funzioni di tre variabili .. 6618 Equazioni Equazioni del primo ordine .. Problemi di Cauchy per equazioni del primo ordine.

4 Equazioni di ordine superiore al primo .. Problemi di Cauchy per equazioni di ordine superiore al primo 11519 Equazioni differenziali Equazioni del primo ordine .. Problema di Cauchy per un equazione del primo ordine .. Sistemi di equazioni differenziali lineari .. Integrale generale per i sistemi di due equazioni .. Autovettori e integrale generale per i sistemi di due equazioni . Problema di Cauchy per i sistemi di due equazioni .. Autovettori e problema di Cauchy per i sistemi di due equazioni Problema di Cauchy per i sistemi di tre equazioni .. Equazione di ordine superiore.

5 Integrale generale di un equazioni differenziale lineare .. Problema di Cauchy per equazioni di ordine superiore al primoa coefficienti costanti .. Problema di Cauchy per equazioni di ordine superiore al primoa coefficienti costanti con parametri .. Problema di Cauchy per equazioni lineari a coefficienti non co-stanti .. 15520 Integrale di Integrale di Riemann per funzioni di 1 variabile .. Calcolo di derivate .. 15721 Integrale di Integrali multipli .. Integrali doppi .. Convergenza di integrali doppi .. Integrali tripli .. Misure di sottoinsiemi diRN.. Misure di sottoinsiemi diR2.

6 Misure di sottoinsiemi diR3.. 18922 Integrale di funzioni su variet` Integrali di funzioni su variet`a .. Integrali curvilinei di funzioni inR2.. Integrali curvilinei di funzioni inR3.. Integrali di superficie di funzioni .. Misura di sottoinsiemi di una variet`a .. Lunghezza di una curva .. Area di una superficie .. 21123 Integrale di forme Integrale di forme differenziali .. Integrali curvilinei di forme differenziali inR2.. Integrali curvilinei di forme differenziali inR3.. Integrali di superficie di 2-forme .. 22724 Teorema di Teorema di Stokes applicato alle curve.

7 Integrali curvilinei di forme differenziali esatte .. 235viiiINDICEC apitolo 14 Calcolo Derivate Derivate :{(x,y,z) R3;x = 0} R,(x,y,z) x5siny2+z2x2;per (x,y,z) dom(f), calcolarex f x(x,y,z) +y f y(x,y,z) +z f z(x,y,z) ;si dimostri che esistek Rtale chex f x(x,y,z) +y f y(x,y,z) +z f z(x,y,z) =kf(x,y,z) ;si determini (x,y,z) dom(f). Si ha f x(x,y,z) = 5x4siny2+z2x2+x5cosy2+z2x2(y2+z2)( 2x3) =5x4siny2+z2x2 2x2(y2+z2) cosy2+z2x2, f y(x,y,z) =x5cosy2+z2x22yx2= 2x3ycosy2+z2x2, f z(x,y,z) =x5cosy2+z2x22zx2= 2x3zcosy2+ ha quindix f x(x,y,z) +y f y(x,y,z) +z f z(x,y,z) =5x5siny2+z2x2 2x3(y2+z2) cosy2+z2x2+ 2x3y2cosy2+z2+2x3z2cosy2+z2=5x5siny2+z2x 2= 5f(x,y,z).

8 Si ha quindik= 14. CALCOLO Massimi e Massimi e minimi di se esistono il massimo ed il minimo della seguente funzione:f:{(x,y) R2;y 0,y x 0,x+y 2} R,(x,y) x2+xyin caso affermativo, e definita su un compatto,fammettemassimo e minimo-6 @@@2 DSiaDil dominio dif. SiaEl insieme dei punti di massimo o di minimo D. Per ogni(x,y) Dsi ha f x(x,y) = 2x+y, f y(x,y) = hagradf(x,y) = (0,0) se e solo se{2x+y= 0x= 0, cio`e se e solo se (x,y) =(0,0). Essendo(0,0) D, si haE D= ; si ha quindiE Fr (D).Consideriamofsu Fr (D). PostoS1= [(0,0),(2,0)],S2=](2,0),(1,1)],S3=](0,0) ,(1,1)[, si ha Fr (D) =S1 S2 @@ SuS1si ha (x,y) = (x,0) e 0 x 2; si ha quindif(x,y) =f(x,0) =x2; siah1: [0,2] R,x x2;se(x,y) E S1, allorax`e un estremante perh1.}

9 SiaE1l insieme degliestremanti dih1. Poich`eh1`e strettamente crescente si haE1={0,2}. Si haquindiE S1 {(0,0),(2,0)}. MASSIMI E MINIMI3 ConsideriamofsuS2. SuS2si ha (x,y) = (x,2 x) e 1 x <2; si ha quindif(x,y) =f(x,2 x) =x2+x(2 x) = 2x; siah2: [1,2[ R,x 2x;se(x,y) E S2, allorax`e un estremante perh2. SiaE2l insieme degliestremanti dih2. Poich`eh2`e strettamente crescente si haE2={1}. Si haquindiE S2 {(1,1))}.ConsideriamofsuS3. SuS3si ha (x,y) = (x,x) e 0< x <1; si ha quindif(x,y) =f(x,x) = 2x2; siah3:]0,1[ R,x 2x2;se(x,y) E S3, allorax`e un estremante perh3. SiaE3l insieme degliestremanti dih3.]]

10 Poich`eh3`e strettamente crescente si haE3= ; si ha quindiE S3= .Si ha quindiE {(0,0),(2,0),(1,1)}.Si ha:f(0,0) = 0,f(2,0) = 4,f(1,1) = ha quindimax(f) = 4 e min(f) = la funzionef:{(x,y) R2;x 1, x y x} R,(x,y) 3x2 xy+ 2y2,(a)dire sefammette massimo e sefammette minimo;(b)in caso affermativo, determinare il minimo ed il massimo (a)SiaD={(x,y) R2;x 1, y x, y x}. 1xyEssendoDcompatto edfcontinua,fammette massimo e minimo.(b)SiaEl insieme dei punti di massimo o di minimo D. Per ogni(x,y) Dsi ha f x(x,y) = 6x y, f y(x,y) = x+ 14. CALCOLO DIFFERENZIALESi hagradf(x,y) = (0,0) se e solo se{6x y= 0 x+ 4y= 0, cio`e se e solo se(x,y) = (0,0).}