ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO CARTESIANO

1 ECUACIONES de la RECTA en el PLANO CARTESIANO Jaime Bravo Febres ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO CARTESIANO Teorema: A toda RECTA L del PLANO CARTESIANO est asociada al menos una ecuaci n de la forma: ax + by + c = 0, en donde a, b y c son n meros reales; a 0 b 0, y (x, y) representa un punto gen rico de L Sean Q(x1, y1) y R(x2, y2), dos puntos distintos del PLANO CARTESIANO . Tomamos P(x, y) un punto gen rico de la RECTA L. Como P, Q y R son colineales entonces: x y y son variables, como vemos en la figura: Y L y2 R y P y1 Q O x1 x x2 X luego tenemos necesariamente: 0=12y2 x11y1 x1yx Desarrollando el determinante por la regla de Laplace, tenemos.

2 0 2y2 x 1y1 x12 x 11 xy 12 y 11 yx 1= + 0C)1y2x2y1(xyb)1x2(xxa)2y1(y= + + 44344214342143421 haciendo: y1y2a =; x1x2b = y x1y2x2y1c =, de donde todo punto P de L debe verificar la ecuaci n: ax + by + c = 0; llamada Ecuaci n General de L. Consecuencias: En la ecuaci n general de la RECTA L: ax + by + c = 0 tenemos que: 1. a = 0 y1 y2 = 0 y1 = y2 L // X ( RECTA L // al eje X). 2. b = 0 x2 x1 = 0 x2 = x1 L // Y ( RECTA L // al eje Y) 3. c = 0 ax + by = 0 (0, 0) satisface la ecuaci n, pues: a 0 + b 0 = 0 (0, 0) L. Esto es cuando la ecuaci n no tiene t rmino independiente la RECTA pasa por el origen.

3 ECUACIONES de la RECTA en el PLANO CARTESIANO Jaime Bravo Febres INTERSECCI N DE DOS RECTAS Todo punto de intersecci n de dos rectas tiene que satisfacer las ECUACIONES de ambas rectas. Por tanto, obtenemos el punto com n P(xo, yo) de las dos rectas concurrentes resolviendo el sistema formado por sus ECUACIONES : L1: a1x + b1y + c1 = 0L2: a2x + b2y + c2 = 0 P = L1 L2 Ejemplo: Obtener la intersecci n de las rectas: L1 : x y + 1 = 0 L2 : 2x + y 2 = 0 Resolviendo el sistema se obtiene: x = 1 3.

4 Y = 4 3 Luego la intersecci n de las rectas L1 y L2 es el punto:P = (xo, yo) = (1 3 , 4 3) POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS: Dadas dos rectas L1 y L2 cuyas ECUACIONES son: ( ) : L1: a1x b1yc1 L2: a2x b2yc2+=+= ella pueden ocupar tres posiciones relativas en el PLANO CARTESIANO . Estas posiciones son definidas en base al n mero de puntos comunes de las rectas. Esto es: L1 y L2 Son concurrentes tienen un nico punto com n. L1 y L2 Son paralelas distintas no tienen ning n punto com n. L1 y L2 Son coincidentes tienen infinitos puntos comunes.

5 Nota: Con el s mbolo L1 1 L2 = P, indicaremos que L1 y L2 son concurrentes o secantes; con L1 1 L2 = indicaremos que L1 y L2 son paralelas y distintas; con L1 = L2 indicaremos que L1 y L2 son coincidentes (o paralelas coincidentes). Notemos que L1 // L2 significa L1 1 L2 = L1 = L2 . Todo punto com n a L1 y L2 es soluci n del sistema ( ). Resolviendo el sistema ( ) por el m todo de adici n se tiene: a1x b1yc1 a2x b2yc2+=+= multiplicando por b2 la 1era Ecuaci n y ( b1) la 2da ecuaci n, tenemos: ECUACIONES de la RECTA en el PLANO CARTESIANO Jaime Bravo Febres a1b2x b1b2yc1b2 a2b1x b1b2yc2b1+= = (a1b2a2b1)x(c1b2c2b1) = (1) ahora, multiplicando por (-a2) la 1era ecuaci n y por a1 la segunda ecuaci n se tiene: = += a1a2x b1a2yc1a2a1a2x a1b2ya1c2 (a1b2a2b1)x(a1c2a2c1) = (2) Haciendo.

6 D= 2b2a 1b1a = 1b2a2b1a 1D= 2b2c 1b1c = 1b2c2b1c 2D= 2c2a 1c1a = 1c2a2c1a Luego el sistema ( ) queda reducido a: ( ) : D x = D (3)D y = D (4)12 . De cuya discusi n son posibles tres casos: 1er caso: D 0 ( ) tiene una nica soluci n L1 y L2 son concurrentes. 2do caso: D = 0 D1 (o D2) 0 ( ) no tiene soluci n L1 y L2 son paralelas 3er caso: D = 0D1= 0D2= 0 ( ) tiene infinitas soluciones L1 y L2 son coincidentes. Cuando a2 0, b2 0 y c2 0, tenemos: == = 1b2a2b1a0 2b2a 1b1a D a1a2b1b2= ; == 1b2c = 2b1c 0 2b2c 1b1c 1D 2c1c2b1b= ECUACIONES de la RECTA en el PLANO CARTESIANO Jaime Bravo Febres == 1c2a = 2c1a 0 2c2a 1c1a2D 2c1c2a1a= Podemos simplificar de la manera siguiente: L1 x L2 = P a1a2b1b2 ; rectas secantes o concurrentes.

7 (S lo un punto com n) L1 1 L2 = a1a2b1b2c1c2= ; rectas paralelas diferentes. (Ning n punto com n) L1 = L2 a1a2b1b2c1c2== ; rectas coincidentes (paralelas). (Infinitos puntos comunes) FORMAS DE LA ECUACI N DE UNA RECTA . 1. Forma General. Anteriormente vimos que dada una RECTA L, podemos determinar por lo menos una ecuaci n del tipo: ax + by + c = 0 a la que se le denomina Ecuaci n General de la RECTA L, la cual es satisfecha por todos los puntos P(x, y) pertenecientes a dicha RECTA L. 2. Forma reducida (pendiente-ordenada) Dada la ecuaci n general de la RECTA L: ax + by + c = 0, si b 0, se tiene: by = ax c {{y = (ab)mx + (cb)q.}}

8 Y = mx + b. Esta ltima ecuaci n que expresa y en funci n de x se denomina Ecuaci n reducida de la RECTA L. a q se le con el nombre de ordenada en el origen o coeficiente de posici n . Ejemplo: Sea una RECTA L que pasa por A(0, 3) y B( 1, 0), cual es su ecuaci n reducida?. Soluci n Sabemos que: 01011301yx= . 4342143421 Reducida +3x =y 03y3x =+ ECUACIONES de la RECTA en el PLANO CARTESIANO Jaime Bravo Febres 3. Ecuaci n sim trica. Consideremos una RECTA L que intercepta a los ejes cartesianos en los puntos Q(0, q) y P(p, 0), distintos.

9 Y L Q(0, q) O P(p, 0) X La ecuaci n de esta RECTA es: 0 10p 1q0 1y x= qx + py pq = 0 qx + py = pq. xpyq1+= a sta se le conoce como: Ecuaci n sim trica de la RECTA Abscisa - ordenada en el origen. 4. Intersecci n con los ejes. Consideremos una RECTA L de ecuaci n general: ax + by + c = 0, con a 0, b 0 y c 0; los puntos P y Q, son puntos de intersecci n de la RECTA L con los ejes, a los cuales denotamos por: P(p, 0) y Q(0, q); ahora hallamos los valores de p y q en funci n de los coeficientes: a, b y c.

10 P L a p + b 0 + c = 0 pca= Q L a 0 + b q + c = 0 qcb= De donde es posible obtener la ecuaci n sim trica a partir de la ecuaci n general del modo siguiente: ax + by + c = 0 ax + by = c =acxbcy1 xcaycb1 + = xpyq1+= Ejemplo Obtener la ecuaci n sim trica de la RECTA L: 7x + 11y + 3 = 0 Soluci n 7x + 11y = 3 1y311x37= x37y3111 + = 5. Forma param trica de la RECTA . Las ECUACIONES general, reducida y sim trica relacionan directamente entre si las coordenadas (x, y) de un punto gen rico de la RECTA . Es posible, entre tanto, fijar la De donde: ECUACIONES de la RECTA en el PLANO CARTESIANO Jaime Bravo Febres ley a ser cumplida por los puntos de la RECTA dando las coordenadas de x e y de cada punto de la RECTA en funci n de una tercera variable t , llamada par metro.