Transcription of ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
1 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGAR TMICAS Ecuaci n exponencial Una ecuaci n exponencial es aquella ecuaci n en la que la inc gnita aparece en el exponente. Para resolver una ecuaci n exponencial vamos a tener en cuenta: 1. 2. ax = ay x=y 3. Las propiedades de las potencias. Resoluci n de ECUACIONES EXPONENCIALES Caso 1 Realizar las operaciones necesaria para que en los miembros tengamos la misma base, de modo que podemos igualar los exponentes. ax = ay x= y Caso 2 Cuando tenemos una ecuaci n m s compleja podemos recurrir a un cambio de variable. En primer lugar aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el cociente, para quitar las sumas o restas de los exponentes. Posteriormente realizamos el cambio de variable: Resolvemos la ecuaci n y deshacemos el cambio de variable. Ecuaci n logar tmica Las ECUACIONES logar tmicas son aquellas ECUACIONES en la que la inc gnita aparece afectada por un logaritmo Para resolver ECUACIONES logar tmicas vamos a tener en cuenta: 1- Las propiedades de los logaritmos .
2 2- 3- Definici n de logaritmo: 4- Adem s tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos logaritmos nulos o negativos. En el primer miembro aplicamos del logaritmo de un producto y en segundo la propiedad del logaritmo de una potencia. Teniendo en cuenta la propiedad: Resolvemos la ecuaci n y comprobamos que no obtenemos un logaritmo nulo o negativo. En el 2 miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente. Restamos en los dos miembros log x y teniedo en cuenta que el log 10 = 1, tenemos: Teniendo en cuenta la definici n de logaritmo y que es un logaritmo decimal: En primer miembro aplicamos la propiedad del producto y en el 2 la de la potencia de un logaritmo. Teniendo en cuenta la inyectividad de los logartmos tenemos: Resolvemos la ecuaci n y comprobamos la soluci n. Multiplicamos en los dos miembros por log(3x 4). En el 2 miembro aplicamos la propiedad de la potencia de un logaritmo y tenemos en cuenta la inyectividad de los logartmos.
3 Resolvemos la ecuaci n x = 0 no es soluci n porque nos encontrariamos al sustituir en la ecuaci n con log =0, que no existe. SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGAR TMICAS Sistema de ecuaci n exponencial Un sistema de ECUACIONES EXPONENCIALES es aquel sistema en los que las inc gnitas aparecen en los exponentes. Resoluci n de sistemas de ECUACIONES EXPONENCIALES Caso 1 Igualar los esponentes si los dos miembros tienen potencias con la misma base. Ejemplo Igualamos exponentes y resolvemos el sistema. Caso 2 Realizar un cambio de variable. Ejemplo En primer lugar aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el cociente, para quitar las sumas o restas de los exponentes. Posteriormente realizamos el cambio de variable: Resolvemos el sitema. Deshacemos el cambio de variable Sistemas de ECUACIONES logar tmicas Para resolver sistemas de ECUACIONES logar tmicas actuaremos de modo similar a como lo hicimos con las ECUACIONES logar tmicas, es decir bas ndonos en la definici n y las propiedades de los logaritmos y teniendo en cuenta que la funci n logar tmica es inyectiva.
4 Veamos dos casos de resoluci n de sistemas de ECUACIONES logar tmicas. Caso 1 En la sgunda ecuaci n aplicamos la propiedad del cociente de un logaritmo, en el primer miembro y en segundo tenemos en cuenta que el logaritmo decimal de 10 es 1. Resolvemos el sistema por sustituci n y al final comprobamos las soluciones, un solo par de soluciones es v lida. Caso 2 Algunos sistemas se pueden resolver directamente por el m todo de reducci n.
