Ejercicios y problemas de calculo´

1 Ejercicios y problemas dec alculoRub en Flores EspinozaMarco Antonio Valencia ArvizuMart n Gildardo Garc a AlvaradoRodrigo Gonz alez Gonz alezProyecto FOMIXCONACYT, Gobierno del EstadoClave: SON-2004-C02-008 Publicado por Editorial GARABATOSF ebrero, 2008 ISBN: 970-9920-19-2 Tiraje: 1000 ejemplaresPresentaci onPuede decirse que la actividad de un cient fico es contribuir a conocer mejor eluniverso que habitamos y que la de un ingeniero es utilizar elingenio para resolverproblemas. Las matem aticas son un lenguaje que permite al cient fico expresary precisar ese conocimiento y una herramienta que permite alingeniero resolverproblemas pr acticos a partir de ese conocimiento. En cualquier disciplina, la pr acticahace al maestro, y trat andose de matem aticas, la pr actica a trav es de la resoluci onde problemas no solamente es muy importante, sino indispensable para comprenderrealmente el significado y alcance de sus diversas ramas y teor as.

2 S olo a trav es dela resoluci on de problemas se logran comprender los conceptos y los m etodos y seconsigue su integraci on al acervo cultural del estudiantey, lo que es m as importante,s olo as se aprende a aplicarla en otras areas del conocimiento y la t este medio, estamos poniendo al servicio de los estudiantes y profesoresuniversitarios de los cursos de c alculo de las areas de ciencias e ingenier a, unacolecci on con m as de cuatrocientos Ejercicios y problemas sobre los distintos t opicosque cubren los cursos regulares de esta materia. Esta colecci on deEjercicios yproblemas de C alculotiene el prop osito de complementar el textoFundamentosdel C alculo, de los mismos autores, y, como tal, su organizaci on y presentaci oncorresponden a las de este; sin embargo, puede utilizarse independientemente concualquier otro libro de c alculo del mismo nivel y orientaci on, pues se ha procuradoevitar referencias espec ficas al libro de C alculo es una de las herramientas matem aticas m as poderosas que ha creadoel hombre en virtud de la variedad y profundidad de sus aplicaciones, y por eso re-sulta a un m as importante su buena comprensi on y manejo.

3 Basados en estas razones,los Ejercicios y problemas aqu propuestos son de distintos niveles de dificultad, ybuscan no s olo la mera aplicaci on de rutinas y m etodos, sino que pretenden incitaral estudiante a pensar y adentrarse en los temas planteados,extendiendo y pro-fundizando la teor a. Los Ejercicios y problemas han sido divididos por cap tulosy por grandes temas, y en dos niveles, seg un su grado de dificultad, pues hemosllamado Ejercicios a los que requieren la aplicaci on m as omenos rutinaria de losconceptos y t ecnicas del c alculo, y problemas a aquellas preguntas que requierenun pensamiento y una reflexi on m as elaborada. Por otra parte, con el fin de quesean utilizadas como gu a y para brindar confianza al estudiante en su trabajo, seincluyen un buen n umero de respuestas y sugerencias a los problemas planteados,algunas de ellas desarrolladas con todo mencionamos, este problemario est a dirigido al areade ciencias e ingenier ay puede utilizarse en el dise no de los cursos de c alculo.

4 Hasido elaborado en el marco6 Presentaci ondel Proyecto Homogenizaci on y certificaci on de los cursos de matem aticas de lasinstituciones de educaci on superior en Sonora , apoyado por recursos del FondoMixto CONACYT-Gobierno del Estado de Sonora bajo registro autores expresan por este medio su agradecimiento al CESUES y a la Uni-versidad de la Sierra por su apoyo institucional a la realizaci on de dicho proyecto, as como a distintas personas que contribuyeron de maneras diversas a su realizaci on,especialmente al Delegado de CONACYT en Sonora, Ing. Francisco Javier Ceba-llos y a su colaboradora, Lic. Laura Petra Reyes Medina. Agradecemos tambi en alos Ricardo Efr en Espinoza, Ang elica Pereida Hoyos y Blanca Irene L opezFimbres, por su apoyo en la gesti on administrativa al interior de la Universidad deSonora durante el desarrollo de este proyecto, as como al Lic. Jorge Estupi n anMungu a y personal de la Direcci on de Extensi on Universitaria por su apoyo en laformalizaci on del proceso de edici on, publicaci on y presentaci on, primero deFunda-mentos del C alculo, y ahora de estosEjercicios y problemas de C alculo.

5 Finalmente,nuestro reconocimiento a Editorial GARABATOS por su profesionalismo y la cali-dad de su nuestro prop osito y nuestro deseo que el textoFundamentos del C alculoyesta colecci on deEjercicios y problemas de C alculoconstituyan un incentivo y unapoyo para los profesores y para los estudiantes de C alculode las areas de ciencias eingenier a, y que contribuyan a homogenizar los cursos de esta importante avanzar en ese sentido, se lograr a el objetivo de su publicaci , Sonora, M del autoresContenidoPresentaci on51 Conocimientos Conjuntos .. Algebra .. Geometr a .. Trigonometr a .. Geometr a Anal tica .. 132 Los n umeros Los n umeros naturales .. Definici on de n umero real .. Operaciones con n umeros reales .. Densidad de los n umeros reales .. Propiedad de orden en los n umeros reales .. Completez .. 213 Variables y Concepto de variable y de funci on.

6 Gr aficas .. Propiedades .. Operaciones .. funciones trigonom etricas .. funciones trigonom etricas inversas .. 334 Sucesiones y l Concepto de sucesi on .. Convergencia de sucesiones .. L mite de funciones .. L mites y continuidad .. 435 La El concepto de derivada .. C alculo de derivadas. Reglas de derivaci on .. Interpretaci on f sica y geom etrica. Aplicaciones .. 526 Teorema del valor medio y sus Desigualdades y estimaciones .. Comportamiento de funciones derivables .. Teorema de Taylor y reglas de L Hospital .. C alculo y aplicaciones de m aximos y m nimos .. 677 La funci on exponencial y sus Propiedades de exponenciales y logaritmos .. Aplicaciones elementales ..828 La integral Concepto de antiderivada .. Interpretaci on geom etrica de la antiderivada .. M etodos de integraci on .. Antiderivadas diversas .. 919 La integral definida y el teorema fundamental del c La integral de Riemann de funciones continuas.

7 El teorema fundamental del C alculo .. Integrales impropias .. 10810 Aplicaciones de la integral C alculo de areas y vol umenes .. C alculo de centroides y centros de masa .. C alculo de la presi on hidrost atica .. 12011 Ecuaciones diferenciales Ecuaciones de primero y segundo orden .. Aplicaciones elementales .. 12912 Convergencia de Series .. Series de Potencias .. 144 Tabla de antiderivadas e integrales1561 Cap tuloConocimientos previosPara comprender y aplicar el C alculo Diferencial e Integral son necesarios algunosconocimientos previos. Entre ellos se requiere conocer el concepto, la notaci on y lasoperaciones con conjuntos; dominar las operaciones algebraicas , resolver ecuacionesde primero y segundo grado, resolver sistemas de ecuaciones, conocer las progresionesaritm eticas y geom etricas y resolver lo que se refiere a la geometr a, conocer las propiedadesde los tri angulos,los cuadril ateros, los pol gonos regulares y los c rculos; calcular areas y vol umenesde las figuras y cuerpos m as conocidos.

8 En cuanto a la trigonometr a, conocer lasrelaciones trigonom etricas, el c rculo trigonom etrico y las principales identidadestrigonom etricas con senos y lo que corresponde a la geometr a anal tica, es importante conocer la ma-nera de trazar la gr afica de ecuaciones algebraicas asociadas con rectas y seccionesc onicas, es decir, saber interpretar geom etricamente, en el plano cartesiano, las ecua-ciones de primero y segundo grado. Y rec procamente, dadasalgunas propiedadesgeom etricas, construir las ecuaciones que representa rectas y secciones c onicas, osea, c rculos, elipses, par abolas e hip Ejercicios y problemas planteados a continuaci on buscan ayudar a recordaralgunos de estos temas, sin pretender ser ConjuntosEjercicios1. Sean los conjuntosA={a, b, c, d, e,1,2,3,4,5,6},B={a, b, c,1,2,5,6, , , },C={a, b, e,1,2,3,5,6, , , , }.Exhiba los elementos de los conjuntos siguientes:10 Conocimientos previos(a)A B(b) (A B) C(c) (A C) (A B)(d) (A Bc) Demuestre las siguientes relaciones entre conjuntos:(a) (A B) (Bc A) A(b) (Ac Bc) (A C) = (c) (A Bc) (Ac B) (Ac Bc) Considere lo siguiente:U= conjunto de todas las personas,A= conjunto de personas nacidas en M exico,B= conjunto de las personas menores de 30 a nos,C= conjunto de hijos de padres mexicanos.

9 (a) Si para ser candidato a la presidencia de M exico se requiere tener m asde 30 a nos y haber nacido en M exico de padres mexicanos, exprese elconjunto de los candidatos posibles en t erminos de los conjuntosU,A,B,Cy las operaciones conjuntistas.(b) Escriba en t erminos de los conjuntosU,A,B,Cy de las operaciones con-juntistas el conjuntoXde las personas que no pueden ser presidente deM AlgebraEjercicios4. Si las soluciones de la ecuaci onx2+bx+c= 0 son ln 2 y , encuentre elvalor Encuentre la suma de todas las soluciones de la ecuaci on|2x+ 4 2|+|x 2|= 9 Encuentre los valores dexpara los cuales la expresi onx2 9x 4es Resuelva la desigualdadx2 xx2+ Algebra118. Calcule el valorVde la expresi onV= 1 +12 1 13 1 +14 1 15 1 1n 1 1 +1n .9. Resuelva cada una de las ecuaciones siguientes:(a)x2 7x= 12(b)2x 1x+ 2+x+ 22x 1=103(c) 4x+ 1 = 3 3x(d)x3 7x32 8 = (a) Exprese las variablesuyven t erminos derys:2u v= 5s3u+ 2v= 7r 4s.(b) Exprese las variablesxyyen t erminos deayb:ax by=a2+b22bx ay= 2b2+ 3ab Seanx, y, zn umeros en progresi on geom etrica de raz onr.

10 Six,2yy 3zest anen progresi on aritm etica, cu al es el valor der?12. Resuelva la ecuaci on log2x+ log2(x+ 3) = Resuelva el sistemax3 y3= 19x2+xy+y2= Cu al es la suma de todas las soluciones de la ecuaci on|x2 6x|= 2?15. SeaN={1,2,3, ..}el conjunto de los n umeros naturales. Pruebe los enun-ciados siguientes:(a) Un n umero naturalnes par si y s olo sin2es par.(b) Un n umero naturalnes impar si y s olo sin2es impar.(c) El cuadrado de un n umero natural es m ultiplo de tres si ys olo si eln umero es m ultiplo de previos16. Encuentre la velocidad de una lancha en aguas en reposo, yla velocidad de lacorriente de un r o, sabiendo que tarda 3 horas en recorrer una distancia de45 Km contra la corriente y dos horas a favor de la Un dep osito A contiene 400 litros de una soluci on salina con una cantidad desal de 8 Kg. Otro dep osito B tiene 120 litros de una soluci oncon 6 Kg desal disuelta. Hallar el volumen que se debe extraer de cada uno de ellos paraformar 30 litros de soluci on cuya concentraci on sea de Kg por Hallar dos n umeros tales que la suma de sus cuadrados sea34 y que uno deellos, aumentado en una unidad, sea igual al doble del El per metro de un tri angulo rect angulo es de 60 cm y suhipotenusa mide25 cm.