Estimation et intervalle de confiance

1 Exercices : Martine QuinioExo7 Estimation et intervalle de confianceExercice 1Un chantillon de 10 000 personnes sur une population tant donn , on sait que le taux moyen de personnes soigner pour un probl me de cholest rol lev est de 7,5%. Donner un intervalle dans lequel on soit s r 95%, de trouver le nombre exact de personnes soigner sur les 10 [006025]Exercice 2Un vol Marseille - Paris est assur par un Airbus de 150 places ; pour ce vol des estimations ont montr quela probabilit pour qu une personne confirme son billet estp= La compagnie vendnbillets,n> variable al atoire nombre de personnes parmi lesnpossibles, ayant confirm leur r servation pource vol.

2 1. Quelle est la loi exacte suivie parX?2. Quel est le nombre maximum de places que la compagnie peut vendre pour que, au moins 95%, ellesoit s re que tout le monde puisse monter dans l avion, c est- -direntel que :P[X>150] ?3. Reprendre le m me exercice avec un avion de capacit de 300 places ; faites varier le param trep= ;p= [006026]Exercice 3Un petit avion (liaison Saint Brieuc-Jersey) peut accueillir chaque jour 30 personnes ; des statistiques montrentque 20% des clients ayant r serv ne viennent pas. SoitXla variable al atoire : nombre de clients qui sepr sentent au comptoir parmi 30 personnes qui ont r serv.

3 1. Quelle est la loi deX? (on ne donnera que la forme g n rale) ; quelle est son esp rance, son cart-type ?2. Donner un intervalle de confiance au seuil 95%, permettant d estimer le nombre de clients pr [006027]Exercice 4Le staff m dical d une grande entreprise fait ses petites statistiques sur le taux de cholest rol de ses employ s ;les observations sur 100 employ s tir s au sort sont les de cholest rol en cg :(centre classe)effectif d employ s :12091602220025240212801632071. Calculer la moyennemeet l cart-type esur l Estimer la moyenne et l cart-type pour le taux de cholest rol dans toute l D terminer un intervalle de confiance pour la D terminer la taille minimum d chantillon pour que l amplitude de l intervalle de confiance soit inf -rieure [006028]Exercice 5 Sur 12 000 individus d une esp ce, on a d nombr 13 albinos.

4 Estimer la proportion d albinos dans l esp comparera les m thodes d approximation des lois r elles par d autres lois [006029]Exercice 6 Une compagnie a rienne a demand des statistiques afin d am liorer la s ret au d collage et d finir un poidslimite de bagages. Pour l Estimation du poids des voyageurs et du poids des bagages, un chantillon est constitu de 300 passagers qui ont accept d tre pes s : on a obtenu une moyennemede 68kg, avec un cart-type ede7 D finir un intervalle de confiance pour la moyenne des passagers. (On admet que le poids des passagerssuit une loi normale de moyennem, d cart-type.)

5 2. Montrer que l on peut consid rer que le poids des passagers est une variable al atoireXde moyenne 70kg, d cart-type 8 En proc dant de m me pour le poids des bagages, on admet les r sultats : Si le poids maximum autoris est de 20 kg, le poids des bagages peut tre consid r comme unevariable al atoireYde moyenne 15 kg, d cart-type 5 kg. La capacit de l avion est de 300 passagers ; l avion p se, vide, 250 tonnes. Le d collage estinterdit si le poids total d passe tonnes. Quelle est la probabilit pour que le d collage soitinterdit ?

6 CorrectionH[006030]Exercice 7 Afin de mieux satisfaire leurs clients, une grande soci t fournisseur d acc s internet fait ses statistiques surle nombre d appels re us enhotline, elle pourra ainsi valuer le temps d attente pour le client et le nombred employ s mettre au standard ; les r sultats de l enqu te portent sur 200 s quences cons cutives de uneminute, durant lesquelles le nombre d appels moyen a t de 3 appels par minute. On suppose que les appelssont r partis galement dans le temps : on partage un intervalle de temps en unit s de une seconde ; alors danschaque unit de temps, il y a au plus un Quelle est la loi de probabilit du nombre d appels re us en 4 minutes ?

7 2. Montrer que l on peut approcher cette loi par une loi de Donner un intervalle de confiance pour le nombre moyen d appels en 4 [006031]2 Correction de l exercice 1 NUn intervalle dans lequel on soit s r 95% de trouver le nombre exact de personnes soigner sur les 10 000 :[p y p(1 p)n;f e+y p(1 p)n]. Fr quence entre 65,7% et 94,3%. Donc entre 698 et 802 personnes sur10000 Correction de l exercice 2 NLa loi exacte suivie parXest une loi binomiale de param tres :n, (X) = VarX= >150, on peut faire l approximation par la loi normale d esp rance 0,75net d cart-type = [X>150] siP[X6150]> si.

8 P[X ]> Dans la table deGauss, on litF( ) = On n a plus qu r soudre l in quation > , dont les solutionssont , en vendant moins de 187 billets, la compagnie ne prend qu un risque inf rieur 5% de devoir indemniserdes voyageurs en surnombre. Faisons varier les param tres, cela ne pose aucun probl me :N=150,p= solution de l in quation > Solution ,p= solution de l in quation > Solution ,p= solution de l in quation > Solution de l exercice 3N1. La loi deXest la loi binomialen=30,p= Un intervalle de confiance au seuil 95%, permettant d estimer le nombre de clients pr voir : c est pourla fr quence : ; Soit entre 20 et 28 personnes.

9 C est une large fouchette due de l exercice 4N1. On obtient, sur l chantillon, la moyenneme=214, l cart-type e= La moyenne sur l entreprise est estim e parme. L cart-type est estim par : e= ' On en d duit, au seuil 95%, un intervalle de confiance pour la moyenne :[me y e n;me+y e n] =[ ; ]. Ainsi le taux moyen de cholest rol est, un seuil de confiance 95%, situ e entre 203et 225 de l exercice 5 NIl s agit ici d estimer une proportion, suite une observation qui vaut :f=1312000' 10 peut utiliser une approximation par une loi normale pour la moyenne d chantillon.

10 On en d duit un inter-valle de confiance pour la proportion, au seuil 95% :I = [f y f(1 f)n 1;p+y f(1 f)n 1]'[ 10 4, 10 3].On peut choisirI comme intervalle de confiance, au seuil 95%, de la proportion cherch e. Par l in galit deBienaym -Tchebychev, on a l intervalleI= [f a,f+a],avec :P[ X p 6a]>1 (VarXa2)etP[|X p|6a]> si 1 VarXa2> ,soita> 10 3. On pr f rera donc la premi re m de l exercice 6N1. On peut estimermpar la moyenne de l chantillon : 68 kg, et par e 300299=7 300299' kg. Onen d duit un intervalle de confiance pour la moyennem:I = [ ; ].