Exo7 - Exercices de mathématiques

1 Exo7 Espaces vectorielsFiche amend e par David Chataur et Arnaud D finition, sous-espacesExercice 1 Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (surR) : E1={f:[0,1] R}: l ensemble des fonctions valeurs r elles d finies sur l intervalle[0,1], munide l additionf+gdes fonctions et de la multiplication par un nombre r el f. E2={(un):N R}: l ensemble des suites r elles muni de l addition des suites d finie par(un) +(vn) = (un+vn)et de la multiplication par un nombre r el (un) = ( un). E3={P R[x]|degP6n}: l ensemble des polyn mes coefficients r els de degr inf rieur ou gal nmuni de l additionP+Qdes polyn mes et de la multiplication par un nombre r el o [006868]Exercice 2D terminer lesquels des ensemblesE1,E2,E3etE4sont des sous-espaces vectoriels {(x,y,z) R3|3x 7y=z}E2={(x,y,z) R3|x2 z2=0}E3={(x,y,z) R3|x+y z=x+y+z=0}E4={(x,y,z) R3|z(x2+y2) =0}IndicationHCorrectionHVid o [000886]Exercice 31.

2 D crire les sous-espaces vectoriels deR; puis DansR3donner un exemple de deux sous-espaces dont l union n est pas un sous-espace o [006869]Exercice 4 Parmi les ensembles suivants reconna tre ceux qui sont des sous-espaces {(x,y,z) R3|x+y+a=0 etx+3az=0}E2={f F(R,R)|f(1) =0}E3={f F(R,R)|f(0) =1}E4={(x,y) R2|x+ y+1>0}IndicationHCorrectionHVid o [000888]Exercice 5 SoitEun espace SoientFetGdeux sous-espaces deE. Montrer queF Gest un sous-espace vectoriel deE F GouG SoitHun troisi me sous-espace vectoriel deE. Prouver queG F= F (G+H) =G+(F H).1 IndicationHCorrectionHVid o [000893]2 Syst mes de vecteursExercice 61. Soientv1= (2,1,4),v2= (1, 1,2)etv3= (3,3,6)des vecteurs deR3, trouver trois r els non tous nuls , , tels que v1+ v2+ v3= On consid re deux plans vectorielsP1={(x,y,z) R3|x y+z=0}P2={(x,y,z) R3|x y=0}trouver un vecteur directeur de la droiteD=P1 P2ainsi qu une quation param tr o [006870]Exercice 7 Soient dansR4les vecteursv1= (1,2,3,4)etv2= (1, 2,3, 4).

3 Peut-on d terminerxetypour que(x,1,y,1) Vect{v1,v2}? Et pour que(x,1,1,y) Vect{v1,v2}?IndicationHCorrectionHVid o [000900]Exercice 8 SoitEle sous-espace vectoriel deR3engendr par les vecteursv1= (2,3, 1)etv2= (1, 1, 2)etFceluiengendr parw1= (3,7,0)etw2= (5,0, 7). Montrer queEetFsont o [000908]Exercice 9 Soit Retf :R R,x7 e x. Montrer que la famille(f ) Rest o [000917]3 Somme directeExercice 10 Par des consid rations g om triques r pondez aux questions suivantes :1. Deux droites vectorielles deR3sont-elles suppl mentaires ?2. Deux plans vectoriels deR3sont-ils suppl mentaires ?3. A quelle condition un plan vectoriel et une droite vectorielle deR3sont-ils suppl mentaires ?IndicationHCorrectionHVid o [006871]Exercice 11On consid re les vecteursv1= (1,0,0,1),v2= (0,0,1,0),v3= (0,1,0,0),v4= (0,0,0,1),v5= (0,1,0,1) Vect{v1,v2}et Vect{v3}sont-ils suppl mentaires dansR4?

4 2. Vect{v1,v2}et Vect{v4,v5}sont-ils suppl mentaires dansR4?3. Vect{v1,v3,v4}et Vect{v2,v5}sont-ils suppl mentaires dansR4?4. Vect{v1,v4}et Vect{v3,v5}sont-ils suppl mentaires dansR4?2 IndicationHCorrectionHVid o [000920]Exercice 12 Soientv1= (0,1, 2,1),v2= (1,0,2, 1),v3= (3,2,2, 1),v4= (0,0,1,0)etv5= (0,0,0,1)des vecteurs deR4. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre r Vect{v1,v2,v3}=Vect{(1,1,0,0),( 1,1, 4,2)}.2.(1,1,0,0) Vect{v1,v2} Vect{v2,v3,v4}.3. dim(Vect{v1,v2} Vect{v2,v3,v4}) =1 (c est- -dire c est une droite vectorielle).4. Vect{v1,v2}+Vect{v2,v3,v4}= Vect{v4,v5}est un sous-espace vectoriel suppl mentaire de Vect{v1,v2,v3} o [000919]Exercice 13 SoitE= 1(R,R)l espace des fonctions d rivables etF={f E|f(0) =f (0) =0}.

5 Montrer queFest unsous-espace vectoriel deEet d terminer un suppl mentaire o [000923]Exercice 14 SoitE={(un)n N RN|(un)nconverge}.Montrer que l ensemble des suites constantes et l ensemble des suites convergeant vers 0 sont des sous-espacessuppl mentaires o [000926]3 Indication pour l exercice 1 NOn v rifiera sur ces exemples la d finition donn e en pour l exercice un sous-espace est pas un sous-espace un sous-espace est pas un sous-espace pour l exercice 3N1. Discuter suivant la dimension des Penser aux droites pour l exercice un sous-espace vectoriel deR3si et seulement sia= un sous-espace est pas un espace est pas un espace pour l exercice 5N1. Pour le sens : raisonner par l absurde et prendre un vecteur deF\Get un deG\F.

6 Regarder lasomme de ces deux Raisonner par double inclusion, revenir aux pour l exercice 6N1. On pensera poser un syst Trouver un vecteur non-nul commun aux deux pour l exercice 7 NOn ne peut pas pour le premier, mais on peut pour le pour l exercice 8 NMontrer la double inclusion. Utiliser le fait que de mani re g n rale pourE=Vect(v1,..,vn)alors :E F i=1,..,n vi pour l exercice 9 NSupposer qu il existe des r els 1,.., net des indices 1> 2> > n(tout cela en nombre fini !) tels que 1f 1+ + nf n= le 0 est la fonction constante gale 0. Regarder quel terme est dominant et pour l exercice 10N41. Consid rer un vecteur directeur de la pour l exercice 11N1. pour l exercice 12N1. pour l exercice 13 NSoitG={x7 ax+b|(a,b) R2}.

7 Montrer queGest un suppl mentaire pour l exercice 14 NPour une suite(un)qui converge vers`regarder la suite(un `).5 Correction de l exercice 1 NPour qu un ensembleE, muni d une additionx+y E(pour toutx,y E) et d une multiplication par unscalaire x E(pour tout K,x E), soit unK-espace vectoriel il faut qu il v rifie les huit points +(y+z) = (x+y)+z(pour toutx,y,z E)2. il existe un vecteur nul 0 Etel quex+0=x(pour toutx E)3. il existe un oppos xtel quex+( x) =0 (pour toutx E) +y=y+x(pour toutx,y E)Ces quatre premi res propri t s font de(E,+)un groupe ab 1 x=x(pour toutx E)6. (x+y) = x+ y(pour tout K=, pour toutx,y E)7.( + ) x= x+ x(pour tout , K, pour toutx E)8.( ) x= ( x)(pour tout , K, pour toutx E)Il faut donc v rifier ces huit points pour chacun des ensembles (iciK=R).

8 Commen ons +(g+h) = (f+g)+h; en effet on bien pour toutt [0,1]:f(t)+(g(t)+h(t))=(f(t)+g(t))+h(t)d o l galit des fonctionsf+(g+h)et(f+g)+h. Ceci est vrai pour toutf,g,h le vecteur nul est ici la fonction constante gale 0, que l on note encore 0, on a bienf+0=f(c est- -dire pour toutx [0,1],(f+0)(t) =f(t), ceci pour toute fonctionf).3. il existe un oppos fd finie par f(t) = (f(t))tel quef+( f) = +g=g+f(carf(t)+g(t) =g(t)+f(t)pour toutt [0,1]).5. 1 f=f; en effet pour toutt [0,1],(1 f)(t) =1 f(t) =f(t). Et une fois que l on compris que fv rifie par d finition( f)(t) = f(t)les autres points se v rifient sans (f+g) = f+ g7.( + ) f= f+ f8.( ) f= ( f); en effet pour toutt [0,1],( )f(t) = ( f(t))Voici les huit points v rifier pourE2en notantula suite(un)n +(v+w) = (u+v)+w2.

9 Le vecteur nul est la suite dont tous les termes sont La suite uest d finie par( un)n +v=v+u5. 1 u=u6. (u+v) = u+ v: montrons celui-ci en d tails par d finitionu+vest la suite(un+vn)n Net pard finition de la multiplication par un scalaire (u+v)est la suite( (un+vn))n Nqui est bien lasuite( un+ vn))n Nqui est exactement la suite u+ ( + ) u= u+ v8.( ) u= ( u)Voici ce qu il faut v rifier pourE3, apr s avoir remarqu que la somme de deux polyn mes de degr 6nestencore un polyn me de degr 6n(m me chose pour P), on v rifie +(Q+R) = (P+Q)+R2. il existe un vecteur nul 0 E3: c est le polyn me nul3. il existe un oppos Ptel queP+( P) = +Q=Q+P5. 1 P=P66. (P+Q) = P+ Q7.( + ) P= P+ P8.( ) P= ( P)Correction de l exercice 2N1. (a)(0,0,0) E1.

10 (b) Soient(x,y,z)et(x ,y ,z )deux l ments deE1. On a donc 3x 7y=zet 3x 7y =z . Donc3(x+x ) 7(y+y ) = (z+z ), d o (x+x ,y+y ,z+z )appartient E1.(c) Soit Ret(x,y,z) E1. Alors la relation 3x 7y=zimplique que 3( x) 7( y) = zdonc que (x,y,z) = ( x, y, z)appartient {(x,y,z) R3|x2 z2=0}c est- -direE2={(x,y,z) R3|x=zoux= z}. Donc(1,0, 1)et(1,0,1)appartiennent E2mais(1,0, 1) + (1,0,1) = (2,0,0)n appartient pas E2qui n est encons quence pas un sous-espace vectoriel un sous-espace vectoriel deR3. En effet :(a)(0,0,0) E3.(b) Soient(x,y,z)et(x ,y ,z )deux l ments deE3. On a doncx+y z=x+y+z=0 etx +y z =x +y +z =0. Donc(x+x ) + (y+y ) (z+z ) = (x+x ) + (y+y ) + (z+z ) =0 et(x,y,z) +(x ,y ,z ) = (x+x ,y+y ,z+z )appartient E3.(c) Soit Ret(x,y,z) E3.