Utiliser le calcul littéral

1 Utiliser le calcul litt ral Objectifs Au cycle 3, l l ve a fait fonctionner de mani re implicite les propri t s des op rations dans le champ des nombres, mais sans les avoir formalis es en tant que propri t s g n rales. Il a rencontr des formules litt rales dans le cadre des apprentissages li s aux mesures de grandeurs ; la lettre y avait essentiellement valeur d abr viation ; ainsi, la formule = , est une abr viation de l expression aire du rectangle = longueur fois largeur utilis e par l l ve pour effectuer directement le produit des nombres donn s pour la longueur et la largeur, sans identification explicite du processus de substitution des lettres par des valeurs num riques. L l ve a aussi appris compl ter des galit s trou, notamment l occasion du travail sur les notions de diff rence et de quotient. Il a r solu des probl mes du premier degr sans avoir recours la r solution d quations, mais en agissant par t tonnements, en ayant recours des tapes interm diaires avec ou sans l aide d outils num riques (tableur, calculatrice).

2 Au titre de l entr e dans l alg bre, l enseignement du calcul litt ral au cycle 4 vise les objectifs suivants: traduire le r sultat de la suite des op rations d un programme de calcul sous la forme d une expression litt rale et tablir le lien entre l aspect proc dural et l aspect structural de cette expression : ainsi, le r sultat du programme de calcul multiplier un nombre par 2 et ajouter 3 au r sultat se traduit par l expression 2 +3 dont la structure est celle de la somme de 3 et du double de ; d crire une propri t g n rale de nombres (par exemple tre la somme de deux entiers cons cutifs ou tre un multiple de 3 ) ; d montrer qu une propri t est vraie dans un cadre g n ral (par exemple les r gles du calcul fractionnaire) ; mod liser et r soudre des probl mes l aide d quations ou d in quations du premier degr ; introduire les concepts de variable et de fonction.

3 Liens avec les domaines du socle Le langage alg brique permet de formuler des propri t s math matiques et de r soudre des probl mes. travers la pratique du calcul litt ral, son apprentissage contribue donc de fa on essentielle l objectif comprendre, s exprimer en utilisant les langages math matiques, scientifiques et informatiques du domaine 1 du socle. Les outils alg briques (lettres, fonctions) sont galement utilis s pour repr senter des syst mes naturels et techniques et fournir des preuves aux probl mes qu ils engagent. Leur utilisation participe la mise en uvre de la d marche scientifique, en compl ment de l observation, la manipulation et l exp rimentation. Le calcul litt ral contribue donc fortement l atteinte des objectifs du domaine 4 du socle. Progressivit des apprentissages Ces rep res de progressivit sont explicit s ci-dessous selon les principaux enjeux d apprentissage du calcul litt ral au cycle 4.

4 Formules et expressions litt rales pour g n raliser, mod liser ou d montrer Le travail initi au cycle 3 sur la production et l utilisation de formules devient, en classe de 5e, un objectif de formation. Une formule (expression d une relation entre des variables) ou une expression litt rale (r sultat d un programme de calcul ) permettent de d crire une situation g n rale, le recours la lettre tant un moyen de s abstraire de valeurs num riques particuli res. La r solution de probl mes issus de contextes vari s permet de motiver la production de formules. On pourra se r f rer avec profit aux exemples figurant dans le document Du num rique au litt ral publi sur duscol : carr s bord s, somme de multiples de 7, etc. Parall lement la production et l utilisation de formules, la familiarisation pr coce avec la notion de fonction (sans faire appel son formalisme) permet de mod liser la d pendance d une grandeur en fonction d une autre.

5 La notation symbolique d une fonction n est introduite qu en 3e. Elle est accompagn e de la pr sentation des diff rents registres de repr sentation (symbolique, num rique, graphique) et des passages de l un l autre. Transformation d expressions litt rales D s le d but du cycle 4, la distributivit de la multiplication par rapport l addition est implicitement mobilis e lors de calculs sur des nombres, en particulier en calcul mental, par exemple pour calculer 29 21. L int r t, apparu travers la r solution de probl mes, de transformer une expression num rique pour la simplifier ou l crire sous une forme adapt e motive d institutionnaliser la distributivit simple sous forme litt rale. Celle-ci peut s appuyer sur l image mentale de l aire d un rectangle de longueur + et de largeur d compos en deux rectangles de largeur et de longueurs respectives et.

6 Le recours la distributivit permet ensuite de valider la r duction d une expression litt rale. Avant d tre automatis es, les strat gies de transformation sont explicit es (par exemple =1 ; = ( 1) ), pour aboutir progressivement des calculs du type : 2,7 =1 +( 2,7) =(1+( 2,7)) =( 1,7) = 1,7 . La transformation d expressions litt rales (d une somme en produit ou vice versa) s effectue dans le m me esprit, partir de la distributivit simple de la multiplication par rapport l addition. Le travail technique de d veloppement ou de factorisation est accompagn d une r flexion sur le choix de la forme de l expression (somme ou produit) la mieux appropri e au probl me r soudre. De mani re g n rale, les t ches d ex cution (d veloppement, factorisation, r duction) sont articul es avec des activit s qui d veloppent l intelligence des strat gies de calcul comme l anticipation, l organisation, le contr le.

7 Les strat gies de contr le peuvent s appuyer sur des arguments de signe, d homog n it , des tests sur des valeurs num riques ad quates, etc. R solution d un probl me du premier degr Pour anticiper la notion d quation, l l ve apprend, d s le d but du cycle 4, tester une galit la main ou l aide d un outil num rique (tableur, calculatrice), en attribuant des valeurs num riques au nombre d sign par une lettre qui figure dans l galit . Il apprend compl ter des op rations trou. Il est initi aux programmes de calcul partir de programmes dont les op rations sont r versibles et permettent de remonter le programme en commen ant par la derni re op ration. C est le cas dans l exemple suivant, extrait du document Du num rique au litt ral publi sur duscol : Je pense un nombre, je le multiplie par 3. Si je retranche 12 au r sultat obtenu, j obtiens 7,5.

8 A quel nombre ai-je pens ? Progressivement, la recherche d efficacit face des probl mes plus r sistants (correspondant par exemple des programmes de calcul non r versibles), l insuffisance de la d marche num rique face des probl mes du type + = + , avec non nul et des valeurs des param tres , , , conduisant des solutions non enti res, ou encore la n cessit d obtenir les valeurs exactes des solutions de certaines quations motivent l introduction de la lettre et la mod lisation d une situation par une quation ou une in quation. On pourra se r f rer la situation Alice et Bertrand emprunt e G rard Combier, Jean-Claude Guillaume et Andr Pressiat, ( Les d buts de l alg bre au coll ge publication de l INRP) et propos e comme t che interm diaire. La m thode alg brique de r solution des quations et in quations du premier degr est explicit e en classe de 3e, en s appuyant sur les propri t s de l galit ou de l in galit , par exemple l invariance des solutions d une quation par l ajout d une m me expression chacun de ses membres.

9 L utilisation du tableur et la programmation d algorithmes permettent la r solution, au moins approch e, d quations d autres types. calcul litt ral pour d montrer D s le d but du cycle, le travail men sur les nombres conduit mettre des conjectures, notamment sur les propri t s des op rations entre nombres rationnels. Celles-ci peuvent tre d montr es d s la classe de 5e partir d exemples g n riques, dans des situations simples. On rappelle qu un exemple est dit g n rique lorsqu une propri t qu il permet de mettre en vidence peut tre tendue au cas g n ral ; ainsi, on passe de l exemple g n rique 23+53= 73 trait d s le cycle 3 sa g n ralisation litt rale + = + qui consiste substituer une lettre une valeur num rique. Dans le cadre de la diff renciation, la d monstration de l identit + = + , qui mobilise la notion de quotient, pourra tre pr sent e aux l ves les plus l aise (ou en demande de justification).

10 Pour l approche et la d monstration d autres propri t s des op rations, on consultera avec profit les pages 10 20 du document Le calcul num rique au coll ge publi sur duscol. Progressivement, l l ve per oit les limites du calcul num rique et la n cessit de passer au calcul litt ral pour prouver qu une propri t est vraie pour toutes les valeurs de la variable (par exemple, que la somme de trois entiers cons cutifs est toujours un multiple de 3). Strat gies d enseignement Le passage du num rique au litt ral constitue pour l l ve une rupture importante : d une part les symboles du calcul litt ral (lettres, signe gal et ses diff rents statuts, signes op ratoires, etc.) diff rent de ceux du langage des nombres ; d autre part, les types de probl mes que l alg bre permet de r soudre sont diff rents de ceux r solus jusque-l . Pour r soudre un probl me de ce type, l l ve avait l habitude de progresser pas pas depuis les donn es connues jusqu la quantit trouver.