Exo7 - Exercices de mathématiques

1 Exo7. Topologie Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur * tr s facile ** facile ** difficult moyenne ** difficile ** tr s difficile I : Incontournable Exercice 1 **. Montrer que la boule unit d'un espace vectoriel norm est un convexe de cet espace. Correction H [005839]. Exercice 2 ** I. 1. 1. In galit s de H LDER et de M INKOWSKI. Soit (p, q) ]0, + [2 tel que p + 1q = 1. xp q (a) Montrer que pour (x, y) [0, + [2 , xy 6 p + xq . (b) En d duire que ((a1 , .., an ), (b1 , .., bn )) (Rn )2 , | nk=1 ak bk | 6 ( nk=1 |ak | p )1/p ( nk=1 |bk |q )1/q . (c) En d duire que ((a1.))]]

2 , an ), (b1 , .., bn )) (Rn )2 , ( nk=1 |ak + bk | p )1/p 6 ( nk=1 |ak | p )1/p +( nk=1 |bk | p )1/p . 2. Soit un r el strictement positif. Pour x = (x1 , .., xn ) Rn , on d finit N (x) = ( nk=1 |xk | )1/ . (a) Montrer que > 1, N est une norme sur Rn . 2 3. (b) Dessiner les boules unit s de R2 dans le cas o 3 , 1, 2 , 2, + . (c) Montrer que, pour x = (xk )16k6n fix , lim + N (x) = Max{|xk |, 1 6 k 6 n} = N (x). (d) Montrer que si 0 < < 1, N n'est pas une norme sur Rn (si n > 2). Correction H [005840]. Exercice 3 ** I. Soit E = C2 ([0, 1], R). Pour f l ment de E, on pose N( f ) = 01 | f (t)| dt, N 0 ( f ) = | f (0)| + 01 | f 0 (t)| dt et R R.

3 N 00 ( f ) = | f (0)| + | f 0 (0)| + 01 | f 00 (t)| dt. Montrer que N, N 0 et N 00 sont des normes et les comparer. R. Correction H [005841]. Exercice 4 ** I Topologie dans Mn (K). 1. Montrer que GLn (R) est un ouvert de Mn (R), dense dans Mn (R). 2. Montrer que Mn (R) \ GLn (R) est ferm mais non compact (pour n > 2). 3. Montrer que On (R) est compact. On (R) est-il convexe ? 4. Montrer que Sn (R) est ferm . 5. Soit p [[0, n]]. Montrer que l'ensemble des matrices de rang inf rieur ou gal p est un ferm de Mn (R). 6. Montrer que l'ensemble des matrices diagonalisables dans Mn (C) est dense dans Mn (C).

4 Peut-on remplacer Mn (C) par Mn (R) ? 7. Propri t s topologiques de l'ensemble des triplets de r els (a, b, c) tels que la forme quadratique (x, y) 7 . ax2 + 2bxy + cy2 soit d finie positive ? 8. Montrer que l'ensemble des matrices stochastiques (matrices (ai, j )16i, j6n Mn (R) telles que (i, j) . [[1, n]]2 , ai, j > 0 et i [[1, n]], nj=1 ai, j = 1) est un compact convexe de Mn (R). 1. 9. Montrer que l'ensemble des matrices diagonalisables de Mn (R) est connexe par arcs. Correction H [005842]. Exercice 5 **. Montrer qu'entre deux r els distincts, il existe un rationnel (ou encore montrer que Q est dense dans R).

5 Correction H [005843]. Exercice 6 **. Soient A et B des parties d'un espace vectoriel norm E. Montrer que .. 1. (A) = A et A = A.. 2. A B A B etA B A B.. 3. A B = A B et A B = A B.. 4. A B A B et A B A B. Trouver un exemple o l'inclusion est stricte.. 5. A \ B = A \ B.. 6. A = A et A = A. Correction H [005844]. Exercice 7 **.. Trouver une partie A de R telle que les sept ensembles A, A, A, A, A, A et A soient deux deux distincts. Correction H [005845]. Exercice 8 **. Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continues sur [0, 1] valeurs dans R. On munit E de k k . D est la partie de E constitu e des applications d rivables et P est la partie de E constitu e des fonctions polynomiales.

6 D terminer l'int rieur de D et l'int rieur de P. Correction H [005846]. Exercice 9 ** I Distance d'un point une partie Soit A une partie non vide d'un espace vectoriel norm (E, k k). Pour x E, on pose dA (x) = d(x, A) o d(x, A) = Inf {kx ak, a A}. 1. Justifier l'existence de dA (x) pour chaque x de E. 2. (a) Montrer que si A est ferm e, x E, dA (x) = 0 x A. (b) Montrer que si A est ferm e et E est de dimension finie, x E, a A/ dA (x) = kx ak. 3. Si A est quelconque, comparer dA (x) et dA (x). 4. Montrer dA est continue sur E. 5. A chaque partie ferm e non vide A, on associe l'application dA d finie ci-dessus.

7 Montrer que l'appli- cation A 7 dA est injective. n continues sur [0, 1] R valeurs dansoR muni de la norme de la convergence 6. Dans l'espace des applications uniforme, on consid re A = f E/ f (0) = 0 et 01 f (t) dt > 1 . Calculer dA (0). Correction H [005847]. Exercice 10 **. 2. 1. Soient (E, NE ) et (F, NF ) deux espaces vectoriels norm s. Soient f et g deux applications continues sur E valeurs dans F. Soit D une partie de E dense dans E. Montrer que si f/D = g/D alors f = g. 2. D terminer tous les morphismes continus de (R, +) dans lui-m me. Correction H [005848]. Exercice 11 **. Soit u une suite born e d'un espace vectoriel norm de dimension finie ayant une unique valeur d'adh rence.

8 Montrer que la suite u converge. Correction H [005849]. Exercice 12 **.. Calculer Inf Sup| sin(n )| . ]0, [ n Z. Correction H [005850]. Exercice 13 ** I. Soit f : R R une application uniform ment continue sur R. Montrer qu'il existe deux r els a et b tels que x R, | f (x)| 6 a|x| + b. Correction H [005851]. Exercice 14 ** I. 1. Donner un d veloppement la pr cision n2. de la n-i me racine positive xn de l' quation tan x = x. Correction H [005852]. Exercice 15 ** I. n Soit z un nombre complexe. D terminer limn + 1 + nz . Correction H [005853]. 3. Correction de l'exercice 1 N. Cas de la boule ferm e.

9 Soit B = {u E/ kuk 6 1}. Soient (x, y) B2 et [0, 1]. k x + (1 )yk 6 kxk + (1 )kyk 6 + 1 = 1. Ainsi, (x, y) B2 , [0, 1], x + (1 )y B et donc B est convexe. Cas de la boule ouverte. Soit B = {u E/ kuk < 1}. Soient (x, y) B2 et [0, 1]. Puisque 0 6 6 1 et 0 6 kxk < 1, on en d duit que kxk < 1. Comme (1 )kyk 6 1 (et m me < 1) et donc k x + (1 )yk 6 kxk + (1 )kyk < 1. La boule unit ferm e (ou ouverte) de l'espace vectoriel norm (E, k k) est un convexe de l'espace vectoriel E. Correction de l'exercice 2 N. p 1. Puisque p > 0 et q > 0, 1 = 1p + 1q > 1. p et donc p > 1. De m me, q > 1. D'autre part, q = p 1.

10 (a) L'in galit est imm diate quand y = 0. Soit y > 0 fix . p q Pour x > 0, on pose f (x) = xp + yq xy. Puisque p > 1, la fonction f est d rivable sur [0, + [ et x > 0, f 0 (x) = x p 1 y. f admet donc un minimum en x0 = y1/(p 1) gal . p(p 1) p/(p 1).. f y1/(p 1) = y p + y q y1/(p 1) y = y p/(p 1 1p + q1 1 = 0.. Finalement, f est positive sur [0, + [ et donc q xp x > 0, y > 0, xy 6 p + yq . (b) Posons A = nk=1 |ak | p et B = nk=1 |bk |q . Si A (ou B) est nul, tous les ak (ou tous les bk ) sont nuls et l'in galit est vraie. On suppose dor navant que A > 0 et B > 0. D'apr s la question a), p q.]]]]