ETUDE DES SYSTEMES NON LINEAIRES COURS MASTER-2 …

1 ETUDE DES SYSTEMES NON LINEAIRESCOURS MASTER-2 Commande Robuste et Syst mes Non Lin airesLaunay Fr d ric1I)Introduction Syst me Non lin aire - chaotiqueObjectif du COURS :L id e de ce COURS est de vulgariser la notion de syst mes non lin aires et d analyser leur mise en uvre en appliquant ceux-ci la th orie du chaos. La difficult majeure d un syst me chaotique (un syst me chaotique est par nature impr visible) est d tre capable de synth tiser une loi de commande permettant un syst me tierce de reproduire la m me rappelle que le d veloppement de la strat gie de commande passe par 3 tapes : Identification/Mod lisation du mod le chaotique Synth se d une loi de commande Analyse de la robustesse (validation de la loi de commande par rapport au bruit et par rapport l approximation du mod le)D coupage du COURS Dans un premier temps, nous allons pr senter l apport d analyse des syst mes non lin aires par rapport aux syst mes lin aires, mettant ainsi en d faut certaines mod lisations actuelles.

2 Mod liser est un premier pas, l objectif de toute mod lisation est de fournir un syst me param trable et d optimiser les performances de ce syst me (en vue d applications pr cises) gr ce une r gulation ou un asservissement par la mise en place de lois de commande. A ce titre, nous allons d finir les propri t s des syst mes non lin aires, les outils d tudes de tels syst mes pour v rifier la stabilit de l asservissement et les m thodes de commandes robustes pour garantir les performances souhait es lors d un asservissement malgr les caract res non lin aires du mod le. Avant toute mod lisation, il est aussi n cessaire de d finir l environnement du syst me.

3 L environnement du syst me revient d limiter celui-ci par un certain nombre de variables ind pendantes d entr es (entr es exog nes : excitations et perturbations) qui conditionnent l tat du syst me, et par des variables de sortie qui permettent de rendre compte, tout instant, de la r ponse (c est dire de l volution) du syst me vis- -vis des excitations. On rajoute ensuite des entr es de commande issues de l asservissement. Plus le syst me est complexe, plus il est n cessaire d tablir un r seau d quations simultan es pour d crire le syst me. En r gle g n ral, le mod le que l on souhaite tablir est issu d un compromis entre fid lit vis vis du comportement r el du syst me diverses excitations et simplicit.

4 La simplicit est obtenue par des hypoth ses de travail et des approximations qui rendent le mod le math matiquement physique, lorsque l'on tudie un ph nom ne, on s'int resse g n ralement aux effets pr pond rants de celui-ci. Ceci revient souvent lin ariser les ph nom nes caract ristiques du syst me tudi (on dit qu'il y a proportionnalit entre la cause et l'effet).Gr ce la lin arisation du syst me autour d un point de repos (point r gulier ou point singulier), ou sous certaines hypoth ses (approximation de faibles d viations), on peut d crire le syst me par un mod le math matique lin aire. Dans ce cadre d tude, les m thodes fr quentielles (Transform e de Laplace) constituent les outils les plus performants pour l analyse (Nyquist, 2 Black Nichols, Bode, Lieu des racines) et la synth se des asservissements lin aires (Correcteur PID, avance/retard de phase).

5 Toutefois, aucun syst me physique n est rigoureusement lin aire et en dehors du domaine de lin arit , il est n cessaire d utiliser d autres m thodes que celles cit es ci-avant pour v rifier la stabilit et la robustesse aux perturbations d un syst me en boucle ferm .De plus, la m thode par lin arisation est une m thode valide que localement autour d un point de fonctionnement (en r gle g n ral d un point r gulier) et par cons quent, cette m thode ne peut pas tre utilis e pour d finir un comportement global. De plus, lors de la lin arisation les effets non lin aires sont alors consid r s comme perturbateurs et de ce fait n glig s. Or, la dynamique apport e par ces effets non lin aires est plus riche que les syst mes lin aires.

6 A titre d exemple, la diff rence des syst mes lin aires qui ne poss dent qu un seul point d quilibre, les syst mes non lin aires peuvent poss der plusieurs points d quilibre. De plus, de tels syst mes peuvent tre le si ge d oscillations (cycles limites) caract ris es par leur amplitude et leur fr quence quelques soient les conditions initiales et sans l apport d excitation ext rieure alors qu un syst me lin aire, pour osciller, doit pr senter une paire de p le sur l axe imaginaire, condition tr s fragile vis- -vis des perturbations et des erreurs de mod lisation. On peut aussi constater d autres ph nom nes dans les syst mes non lin aires (bifurcations), ph nom nes qui repr sentent une variation de l volution du syst me en terme du nombre de points d quilibre, de la stabilit lorsqu un ou plusieurs param tres (non autonome) du mod le varient.

7 Nous allons introduire ces notions sur des exemples concrets au COURS du premier le chapitre 1, nous analyserons de mani re globale l volution d un syst me et nous nous d finirons des points locaux particuliers par lin arisation. Nous tudierons ainsi les avantages et les limitations d un syst me lin aris par secteur d le deuxi me chapitre, nous pr senterons des mod les un peu plus complexe, puisque nous prendrons en compte une non lin arit et nous pr senterons des outils d analyse du syst le troisi me chapitre, nous aborderons le probl me d identification d un syst me et nous laborerons les premiers outils d analyse de la robustesse du syst dans le 4 me chapitre, nous focaliserons notre tude sur les syst mes )Quelques comportements non lin aires: Points d quilibre multiplesSoit le syst me mod lis par l quation diff rentielle suivante.

8 ()()(2txtxtx+ = 1 Calculez le point d quilibre du syst me lin aris pour de faibles perturbations32 Trouvez la solution analytique de l volution de la trajectoire autour de chaque point d Calculez les points d quilibre du syst me Non Lin aire4 Trouvez la solution analytique de l volution de la trajectoire autour de chaque point d du syst me lin aris Solution du syst me non lin aireConclusions : Dans le cas lin aire, le point d quilibre est stable et les trajectoires d tat pour diff rentes conditions initiales x(0) d croissent vers l tat d quilibre. Dans le cas non lin aire, le point d quilibre 0 est stable localement puisque partir de toutes conditions initiales proche de 0 (appartenant une boucle ferm e dans l espace topologique autour de 0) la solution converge vers 0, mais le syst me est instable autour de 1 puisque la trajectoire tend vers 0 sauf pour x0=1.)

9 Quelques comportements non lin aires: Cycles limitesEquation de Van Der PolSoit le syst me suivant :0)(.)().1(2)(.2=+ +txktxxctxm , c>0La simulation de cette quation sous Matlab, nous donne le r sultat suivant. On repr sente en ordonn e la variation de la d riv e en fonction de x 4 Solution l quation de Van Der Pol pour diff rentes CIConclusion : Cette courbe ferm e traduit un cycle limite, on retourne sur le m me cycle, quelque soit la condition initiale )Quelques comportements non lin aires: BifurcationsSoit un syst me non lin aire d fini par l quation non lin aire suivante (Equation non amortie de Duffing).0)()(.)(3=++txtxtx 1-Ecrire l quation donnant le point d quilibre2-Selon les valeurs du param tre , le nombre de points d quilibre , lorsque =0 0+, on passe d un syst me avec un point d quilibre un syst me avec 3 point d quilibre.

10 On a ainsi une bifurcation. Lors d une bifurcation, la trajectoire peut voluer en faisant appara tre -d autres points d quilibre-une p riode multiple la p riode du signal avant bifurcation-une multiplicit de la p riode du signal (signal quasi-p riodique)-un signal )Comportement des points singuliers lin aires : Stabilit localeQue le syst me soit lin aire ou lin aris , on s int resse souvent l volution LOCALE de la trajectoire au point de repos. Il s agit de pr voir l volution (asymptotique) de la trajectoire autour du point de le syst me pr c dent d crit par : 0)()(.)(3=++txtxtx Posons xx =1 et 12xx = et crivons le nouveau syst me d quation ==321xxxxx , ce syst me s crit sous forme Matricielle : )(.