Fonctions de deux variables - math.unice.fr

1 Fonctions de deux variablesD edouMai 2011D une `a deux variablesLes Fonctions mod`elisent de l information d ependant d unparam` a aussi besoin de mod eliser de l information d ependant deplusieurs param`etres, et c est ce que font les Fonctions de qu on sait faire pour les Fonctions d une variable s etend dansune certaine mesure aux Fonctions de plusieurs variables comme onva le de Fonctions de deux variablesComme les Fonctions d une variable, celles de deux variabless ecrivent avec 7 .En voici une :d:= (x,y)7 |x y|. Je l appelledparce qued(x,y) est la distance voici une autre :p:= (R,R )7 RR R+R . C est la fonction quidonne la r esistance d un montage en parall`ele de deux r est pour ca que j ai appel e les variablesRetR , mais j auraisaussi bien pu ecrire la m eme fonction (x,y)7 xyx+ 1 Donnez votre exemple favori de fonction de deux de d efinitionCertaines Fonctions sont d efinies pour toutes les valeurs des (deux) variables mais d autres non.

2 On va dire que les Fonctions de deuxvariables sont les applications deR2dansR , ce qui permet ded efinir le domaine de d efinition par la formule :DDf:={(x,y) R2|f(x,y)6= }.ExemplePosonsf:= (x,y)7 ln(x y2) 2 y aDDf={(x,y) R2|x2 yetx>y2}.C est une partie du plan et ca se 2 Dessinez le domaine de d efinition def:= (x,y)7 xln(x+y) y y grapheGrfd une fonctionfde deux variables , c est une partiedeR3, `a savoir :Grf:={(x,y,z) R3|z=f(x,y)}.Exemplea) Le graphe de (x,y)7 x+y+ 1 est le plan passant par(0,0,1),(1,0,2) et (0,1,2).b) Le graphe de (x,y)7 1 x2 y2est l h emisph`ere nord de la sph`ere unit se dessine ou se eriv ees partiellesPour une fonction de deux variables , il y a deux d eriv ees, une parrapport `ax et l autre par rapport `ay .Les formules sont (`a gauche la premi`ere, `a droite la seconde) :(a,b)7 (x7 f(x,b)) (a)(a,b)7 (x7 f(a,x)) (b).La premi`ere est not eef xou parfois f xet la seconde est not eef you parfois f y.

3 On a doncf x(a,b) = (x7 f(x,b)) (a)f y(a,b) = (x7 f(a,x)) (b).Calcul de la premi`ere d eriv ee partiellePour calculer la premi`ere d eriv ee partielle, on consid`ereycommeun param`etre et on d erive comme d := (x,y)7 xy+y2+ af x(x,y) =y 3 Calculezf x(x,y) pourf:= (x,y)7 xy2 y+ de la seconde d eriv ee partiellePour calculer la seconde d eriv ee partielle, on consid`erexcommeun param`etre et on d erive eny .ExemplePosonsf:= (x,y)7 xy+y2+ af y(x,y) =x+ 2y 4 Calculezf y(x,y) pourf:= (x,y)7 xy2 y+ gradientSi on met les deux d eriv ees partielles ensemble, on obtient legradientdef, qu on note f, ce qui se lit aussi nablaf : f:R27 R2 (x,y)7 (f x(x,y),f y(x,y))ExemplePosonsf:= (x,y)7 xy+ af x(x,y) =yetf y(x,y) =x+ 2y. Le gradient defau point (3,10) est donc(10,23).Exo 5 Calculez le gradient def:= (x,y)7 xey 3yx2en (1,1).Le dessin du gradientLe gradient f(M) defau pointMest un el ement deR2qu onvoit comme un vecteur.

4 Et ce vecteur, on est libre de le voir o`u onveut : alors on fait le choix des physiciens qui consiste `a voirl origine de ce gradient enM. Ainsi, quandMvarie, on a ungradient en chaque point. Les physiciens disent que le gradientd une fonction est un champ de := (x,y)7 x2+ 2y2, on a f(2,1) = (4,4) et ca 6 Pourf:= (x,y)7 xy y2, dessinez f(1,1).Le sens du gradientA une variable, la d eriv ee dit dans quel sens varie la fonction et `aquelle vitesse : plus la d eriv ee est grande, plus la fonctionaugmente ( en premi`ere approximation ).A deux variables , le gradient pointe dans la direction o`u la fonctionaugmente le plus, et plus il est long, plus la fonction augmente( en premi`ere approximation ).Points critiquesOn a compris qu une fonction d erivable d une variable atteint sesbornes l`a o`u sa d eriv ee s annule (ou au bord de son DD).A deux variables c est pareil, sauf que la d eriv ee est remplac ee parle efinitionLes points critiques d une fonctionfde deux variables sont lespoints o`u son gradient s critiques : exemplesExempleLes points critiques def:= (x,y)7 x3 3x+y2sont ceux quiv erifient les deux equations 3x2 3 = 0 et 2y= trouve deux points critiques : (1,0) et ( 1,0).

5 Exo 7 Trouver les points critiques def:= (x,y)7 x2 4x+y3 de niveauLes courbes de niveau d une fonctionfde deux variables sont leslieux o`ufest constante, il y en a une par valeur prise :Nivc:={M R2|f(M) =c}.ExemplePourf:= (x,y)7 x2+y2, etcpositif, la courbe de niveaucestle cercle de rayon ccentr e en l de niveau par un pointSiAest un point du domaine de d efinition def, il y passe unecourbe de niveau def, celle de niveauf(A).L equation de la courbe de niveau defpassant parAestf(M) =f(A).ExemplePourf:= (x,y)7 x2+y2, etA:= (3,4), l equation de la courbede niveau passant parAestx2+y2= 25 , c est donc le cercle derayon 5 centr e en l 8 Pour la m eme fonction, quelle est la courbe de niveau passant par(1,2) ?Courbe de niveau et gradientL`a o`u le gradient est non nul, il est perpendiculaire `a la courbe deniveau. Autrement dit, la tangente `a la courbe de niveau estperpendiculaire au gradient.

6 Pour monter (ou descendre) le plus vite, il faut partirperpendiculairement `a la courbe de niveau .ExemplePourf:= (x,y)7 x2+y2, etA:= (3,4), la courbe de niveaupassant parAest le cercle de rayon 5 centr e en l origine. Et on a f(3,4) = (6,8), qui est bien proportionnel au tangent au graphePour une fonction d erivablefd une variable, on se rappelle quel equation de la tangente au graphe au point (a,f(a)) esty=f(a) + (x a)f (a).Sifest `a deux variables , c est presque pareil, l equation du plantangent au point (a,b,f(a,b)) estz=f(a,b) + (x a)f x(a,b) + (y b)f y(a,b).ExemplePourf:= (x,y)7 x2+y2, etA:= (3,4), l equation du plantangent estz= 25 + 6(x 3) + 8(y 4).Approximation lin eairePour une fonction d erivablefd une variable, on se rappelle quel approximation lin eaire au pointaest la fonction dont le grapheest la tangente, `a savoir :x7 f(a) + (x a)f (a).Sifest `a deux variables , c est presque pareil, l approximationlin eaire au point (a,b) est la fonction dont le graphe est le plantangent, `a savoir :(x,y)7 f(a,b) + (x a)f x(a,b) + (y b)f y(a,b).

7 Exo 9 Calculez l approximation lin eaire def:= (x,y)7 x2+y2enA:= (3,4).D eriv ees partielles sup erieuresPour faire des approximations quadratiques et autres, il faut desd eriv ees sup erieures. Bien entendu, on peut par exemple d eriverdeux fois, et ce de quatre fa quatre d eriv ees sont not eesf x2,f xy,f yx,f y2sauf que les deuxdu milieu sont toujours egales, donc on n ecrit jamaisf 10 Calculezf xyetf yxpourf:= (x,y)7 exy+ fonction d erivable sur un rectangle ;alorsfatteint son maximum et son minimum soit sur le bord durectangle, soit en des points consid`ere la fonctionf:= (x,y)7 x2+y2 2x 4ysur lerectangle d efini par les deux conditions 0 x 3 et 1 y af(x,y) = (x 1)2+ (y 2)2 5. On voit qu elle atteint sonmaximum en (3,5) qui est sur le bord du rectangle, et sonminimum ( 5) en (1,2) qui est un point 11 Trouver le maximum et le minimum de la fonctionf:= (x,y)7 x2+y2 3x 3ysur le rectangle d efini par les deuxconditions 0 x 2 et 1 y `ede : mauvaise foiOn a dit :Sifest une fonction d erivable sur un rectangle, alorsfatteint sonmaximum et son minimum soit sur le bord du rectangle, soit endes points 12 Donner une interpr etation fausse (et de mauvaise foi !)

8 De cet enonc sur le bordSoitfune fonction d erivable sur un trouve les extrema defsur le bord du rectangle en examinantles quatre c ot es, et en gardant le meilleur de ce qu on consid`ere la fonctionf:= (x,y)7 xy2 xy+x3ysur lerectangle d efini par les deux conditions 0 x 1 et 0 y fonction est nulle sur deux des quatre c ot es du le bord d en haut, on a la fonctionx7 2x+ 2x3qui estcroissante et varie de 0 `a 4. Sur le bord de droite, on a la fonctiony7 y2qui est croissante et varie de 0 `a 4. Donc, sur le bord leminimum de la fonction est 0 et son maximum est tout court : exempleExempleOn consid`ere encore la fonctionf:= (x,y)7 xy2 xy+x3ysurle rectangle d efini par les deux conditions 0 x 1 et 0 y le bord le minimum de la fonction est 0 et son maximum est trouver le minimum de cette fonction sur tout le rectangle,on calcule ses points critiques, qui sont d efinis pary2 y+ 3x2y= 2xy x+x3= dehors des axes, on trouvey+ 3x2= 1 et 2y+x2= 1 En r esolvant ce syst`eme, on trouve,dans notre rectangle, le point critique (25,1 5).

9 En ce point,fprend la valeur n egative10 5 42125 5qui est donc tout court : exerciceExo 13 Calculer le maximum et le minimum def:= (x,y)7 2xy2 xy+x3ysur le m eme rectangle d efini par lesdeux conditions 0 x 1 et 0 y 2.