Fonctions de deux variables - math.unice.fr

1 Fonctions de deux variablesD edouMai 2011D une `a deux variablesLes Fonctions mod`elisent de l information d ependant d unparam` a aussi besoin de mod eliser de l information d ependant deplusieurs param`etres, et c est ce que font les Fonctions de qu on sait faire pour les Fonctions d une variable s etend dansune certaine mesure aux Fonctions de plusieurs variables comme onva le de Fonctions de deux variablesComme les Fonctions d une variable, celles de deux variabless ecrivent avec 7 .En voici une :d:= (x,y)7 |x y|. Je l appelledparce qued(x,y) est la distance voici une autre :p:= (R,R )7 RR R+R . C est la fonction quidonne la r esistance d un montage en parall`ele de deux r est pour ca que j ai appel e les variablesRetR , mais j auraisaussi bien pu ecrire la m eme fonction (x,y)7 xyx+ 1 Donnez votre exemple favori de fonction de deux de d efinitionCertaines Fonctions sont d efinies pour toutes les valeurs des (deux) variables mais d autres non.

2 On va dire que les Fonctions de deuxvariables sont les applications deR2dansR , ce qui permet ded efinir le domaine de d efinition par la formule :DDf:={(x,y) R2|f(x,y)6= }.ExemplePosonsf:= (x,y)7 ln(x y2) 2 y aDDf={(x,y) R2|x2 yetx>y2}.C est une partie du plan et ca se 2 Dessinez le domaine de d efinition def:= (x,y)7 xln(x+y) y y grapheGrfd une fonctionfde deux variables , c est une partiedeR3, `a savoir :Grf:={(x,y,z) R3|z=f(x,y)}.Exemplea) Le graphe de (x,y)7 x+y+ 1 est le plan passant par(0,0,1),(1,0,2) et (0,1,2).b) Le graphe de (x,y)7 1 x2 y2est l h emisph`ere nord de la sph`ere unit se dessine ou se eriv ees partiellesPour une fonction de deux variables , il y a deux d eriv ees, une parrapport `ax et l autre par rapport `ay .Les formules sont (`a gauche la premi`ere, `a droite la seconde) :(a,b)7 (x7 f(x,b)) (a)(a,b)7 (x7 f(a,x)) (b).

3 La premi`ere est not eef xou parfois f xet la seconde est not eef you parfois f y. On a doncf x(a,b) = (x7 f(x,b)) (a)f y(a,b) = (x7 f(a,x)) (b).Calcul de la premi`ere d eriv ee partiellePour calculer la premi`ere d eriv ee partielle, on consid`ereycommeun param`etre et on d erive comme d := (x,y)7 xy+y2+ af x(x,y) =y 3 Calculezf x(x,y) pourf:= (x,y)7 xy2 y+ de la seconde d eriv ee partiellePour calculer la seconde d eriv ee partielle, on consid`erexcommeun param`etre et on d erive eny .ExemplePosonsf:= (x,y)7 xy+y2+ af y(x,y) =x+ 2y 4 Calculezf y(x,y) pourf:= (x,y)7 xy2 y+ gradientSi on met les deux d eriv ees partielles ensemble, on obtient legradientdef, qu on note f, ce qui se lit aussi nablaf : f:R27 R2 (x,y)7 (f x(x,y),f y(x,y))ExemplePosonsf:= (x,y)7 xy+ af x(x,y) =yetf y(x,y) =x+ 2y. Le gradient defau point (3,10) est donc(10,23).

4 Exo 5 Calculez le gradient def:= (x,y)7 xey 3yx2en (1,1).Le dessin du gradientLe gradient f(M) defau pointMest un el ement deR2qu onvoit comme un vecteur. Et ce vecteur, on est libre de le voir o`u onveut : alors on fait le choix des physiciens qui consiste `a voirl origine de ce gradient enM. Ainsi, quandMvarie, on a ungradient en chaque point. Les physiciens disent que le gradientd une fonction est un champ de := (x,y)7 x2+ 2y2, on a f(2,1) = (4,4) et ca 6 Pourf:= (x,y)7 xy y2, dessinez f(1,1).Le sens du gradientA une variable, la d eriv ee dit dans quel sens varie la fonction et `aquelle vitesse : plus la d eriv ee est grande, plus la fonctionaugmente ( en premi`ere approximation ).A deux variables , le gradient pointe dans la direction o`u la fonctionaugmente le plus, et plus il est long, plus la fonction augmente( en premi`ere approximation ).

5 Points critiquesOn a compris qu une fonction d erivable d une variable atteint sesbornes l`a o`u sa d eriv ee s annule (ou au bord de son DD).A deux variables c est pareil, sauf que la d eriv ee est remplac ee parle efinitionLes points critiques d une fonctionfde deux variables sont lespoints o`u son gradient s critiques : exemplesExempleLes points critiques def:= (x,y)7 x3 3x+y2sont ceux quiv erifient les deux equations 3x2 3 = 0 et 2y= trouve deux points critiques : (1,0) et ( 1,0).Exo 7 Trouver les points critiques def:= (x,y)7 x2 4x+y3 de niveauLes courbes de niveau d une fonctionfde deux variables sont leslieux o`ufest constante, il y en a une par valeur prise :Nivc:={M R2|f(M) =c}.ExemplePourf:= (x,y)7 x2+y2, etcpositif, la courbe de niveaucestle cercle de rayon ccentr e en l de niveau par un pointSiAest un point du domaine de d efinition def, il y passe unecourbe de niveau def, celle de niveauf(A).

6 L equation de la courbe de niveau defpassant parAestf(M) =f(A).ExemplePourf:= (x,y)7 x2+y2, etA:= (3,4), l equation de la courbede niveau passant parAestx2+y2= 25 , c est donc le cercle derayon 5 centr e en l 8 Pour la m eme fonction , quelle est la courbe de niveau passant par(1,2) ?Courbe de niveau et gradientL`a o`u le gradient est non nul, il est perpendiculaire `a la courbe deniveau. Autrement dit, la tangente `a la courbe de niveau estperpendiculaire au gradient. Pour monter (ou descendre) le plus vite, il faut partirperpendiculairement `a la courbe de niveau .ExemplePourf:= (x,y)7 x2+y2, etA:= (3,4), la courbe de niveaupassant parAest le cercle de rayon 5 centr e en l origine. Et on a f(3,4) = (6,8), qui est bien proportionnel au tangent au graphePour une fonction d erivablefd une variable, on se rappelle quel equation de la tangente au graphe au point (a,f(a)) esty=f(a) + (x a)f (a).

7 Sifest `a deux variables , c est presque pareil, l equation du plantangent au point (a,b,f(a,b)) estz=f(a,b) + (x a)f x(a,b) + (y b)f y(a,b).ExemplePourf:= (x,y)7 x2+y2, etA:= (3,4), l equation du plantangent estz= 25 + 6(x 3) + 8(y 4).Approximation lin eairePour une fonction d erivablefd une variable, on se rappelle quel approximation lin eaire au pointaest la fonction dont le grapheest la tangente, `a savoir :x7 f(a) + (x a)f (a).Sifest `a deux variables , c est presque pareil, l approximationlin eaire au point (a,b) est la fonction dont le graphe est le plantangent, `a savoir :(x,y)7 f(a,b) + (x a)f x(a,b) + (y b)f y(a,b).Exo 9 Calculez l approximation lin eaire def:= (x,y)7 x2+y2enA:= (3,4).D eriv ees partielles sup erieuresPour faire des approximations quadratiques et autres, il faut desd eriv ees sup erieures. Bien entendu, on peut par exemple d eriverdeux fois, et ce de quatre fa quatre d eriv ees sont not eesf x2,f xy,f yx,f y2sauf que les deuxdu milieu sont toujours egales, donc on n ecrit jamaisf 10 Calculezf xyetf yxpourf:= (x,y)7 exy+ fonction d erivable sur un rectangle ;alorsfatteint son maximum et son minimum soit sur le bord durectangle, soit en des points consid`ere la fonctionf:= (x,y)7 x2+y2 2x 4ysur lerectangle d efini par les deux conditions 0 x 3 et 1 y af(x,y) = (x 1)2+ (y 2)2 5.

8 On voit qu elle atteint sonmaximum en (3,5) qui est sur le bord du rectangle, et sonminimum ( 5) en (1,2) qui est un point 11 Trouver le maximum et le minimum de la fonctionf:= (x,y)7 x2+y2 3x 3ysur le rectangle d efini par les deuxconditions 0 x 2 et 1 y `ede : mauvaise foiOn a dit :Sifest une fonction d erivable sur un rectangle, alorsfatteint sonmaximum et son minimum soit sur le bord du rectangle, soit endes points 12 Donner une interpr etation fausse (et de mauvaise foi !) de cet enonc sur le bordSoitfune fonction d erivable sur un trouve les extrema defsur le bord du rectangle en examinantles quatre c ot es, et en gardant le meilleur de ce qu on consid`ere la fonctionf:= (x,y)7 xy2 xy+x3ysur lerectangle d efini par les deux conditions 0 x 1 et 0 y fonction est nulle sur deux des quatre c ot es du le bord d en haut, on a la fonctionx7 2x+ 2x3qui estcroissante et varie de 0 `a 4.

9 Sur le bord de droite, on a la fonctiony7 y2qui est croissante et varie de 0 `a 4. Donc, sur le bord leminimum de la fonction est 0 et son maximum est tout court : exempleExempleOn consid`ere encore la fonctionf:= (x,y)7 xy2 xy+x3ysurle rectangle d efini par les deux conditions 0 x 1 et 0 y le bord le minimum de la fonction est 0 et son maximum est trouver le minimum de cette fonction sur tout le rectangle,on calcule ses points critiques, qui sont d efinis pary2 y+ 3x2y= 2xy x+x3= dehors des axes, on trouvey+ 3x2= 1 et 2y+x2= 1 En r esolvant ce syst`eme, on trouve,dans notre rectangle, le point critique (25,1 5).En ce point,fprend la valeur n egative10 5 42125 5qui est donc tout court : exerciceExo 13 Calculer le maximum et le minimum def:= (x,y)7 2xy2 xy+x3ysur le m eme rectangle d efini par lesdeux conditions 0 x 1 et 0 y 2.