FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK …

1 1(8) Skolverket FORMLER till NATIONELLT prov I MATEMATIK kurs E ALGEBRA Regler + = ++=+2222222)(2)(babababababa (kvadreringsregler) 22))((bababa = + (konjugatregeln) 3223333)(babbaaba+++=+ 3223333)(babbaaba + = ))((2233babababa+ +=+ ))((2233babababa++ = Andragrads-ekvationer Ekvationen har r tterna =xpxq20++=x1qpp + 222 och =x2qpp 222 d r och xx12+= pxx q12 = ARITMETIK Prefix T G M k h d c m n p tera giga megakilo hektodeci centimilli mikro nanopiko 101210910610310210-110-210-310-610-910-1 2 Potenser F r reella tal x och y och positiva tal a och b g ller aaaxyxy=+ aaaxyxy= ()aaxyxy= ababxxx=()

2 Ababxxx= aann1= aaxx =1 a01= Logaritmer F r positiva tal y g ller: yxyxlg10= = yxyxlne= = F r positiva tal x och y g ller: lglglgxyxy=+ lglglgxyxy= lglgxpp= x Geometrisk summa 1d r 1)1( .. 12 =++++ kkkaakakakann 2(8) Skolverket DIFFERENTIAL- OCH INTEGRALKALKYL Derivatans definition axafxfhafhafafaxh = += )()(lim)()(lim)(0 Deriveringsregler Funktion Derivata xa d r a r ett reellt tal axa 1 xa () a>0aaxln xln () 0>xx1 xe xe kxe kxke x1 12x xsin xcos xcos xsin xtan xx22cos1tan1=+ fx gx()()+ + fx gx()() )()(xgxf )()()()(xgxfxgxf + )()(xgxf )0)(( xg()2)()()()()(xgxgxfxgxf Kedjeregeln Om )(och )

3 (xgzzfy== r tv deriverbara funktioner s g ller f r den sammansatta funktionen ))((xgfy= att )())((xgxgfy = eller xzzyxydddddd = N gra primitiva funktioner )(xf )(xF (C r en reell konstant) k Ckx+ )1( nxn Cnxn+++11 )0(1 xx Cx+ln xe Cx+e )1,0( >aaax Caax+ln xsin Cx+ cos xcos Cx+sin 3(8) Skolverket DIFFERENTIALEKVATIONER Homogena ekvationer Av 1:a ordningen: 0=+ ayy L sningarna kan skrivas axCey = Av 2:a ordningen: 0=+ + byyay Den karakteristiska ekvationen har r tterna Om r reella tal och 02=++barr21och rr21och rr21rr= s kan l sningarna skrivas xrCxCy1e)(21+=Om r reella tal och 21och rr21rr s kan l sningarna skrivas xrxrCCy21ee21+=Om tsrtsrioch i21 =+= kan l sningarna skrivas )sincos(e21txCtxCysx+= Inhomogena ekvationer Generellt best ms den allm nna l sningen som phyyy+=, d r r en partikul rl sning till den inhomogena ekvationen och den allm nna l sningen till motsvarande homogena ekvation.)

4 Pyhy Separabla differentialekvationer: )()(xfyyg= L ses enligt =dxxfdyyg)()( FUNKTIONSL RA R ta linjen kyyxx= 2121 Riktningskoefficient f r linje genom punkterna och d r (, )xy11(, )xy22x1x2 ykxm=+ Linje genom punkten (0, m) med riktningskoefficienten k yy kxx = 11() Linje genom punkten med riktningskoefficienten k (, )xy11 kk121 = Villkor f r vinkelr ta linjer Exponential-funktioner xaCy = C och a r konstanter och 0>a1 a Potensfunktioner axCy = C och a r konstanter 4(8) Skolverket 2 GEOMETRI Pythagoras sats ab c22+= acb Triangel area=bh2 bh Parallellogram area=bh bh Parallelltrapets area =ha b()+2 bha Cirkel 4=area22dr = dr =2=omkrets rd Cirkelsektor b gen br= 3602 area = 36022 =rbr rb Prisma volym = Bh Bh Cylinder Rak cirkul r cylinder volym = rh2mantelarea =2 rh hr 5(8)

5 Skolverket Pyramid volym =Bh3 hB Kon Rak cirkul r kon volym = rh23 mantelarea = rs rhs Klot volym =433 r area = 42 rr Likformighet F r likformiga geometriska figurer g ller att motsvarande vinklar r lika stora och att f rh llandet mellan motsvarande sidor r lika. Trianglarna ABC och DEF r likformiga. D g ller fceb= ABCDEF acbfde Skala Areaskalan = (L ngdskalan)2 Volymskalan = (L ngdskalan)3 Vinklar N r tv r ta linjer sk r var-andra r sidovinklarnas summa 180 ( u + v =180 ) och vertikalvinklar lika stora ( w = v).

6 Uvw N r en linje L1 sk r tv andra inb rdes parallella linjer L2 och L3 s r likbel gna vinklar lika stora ( v = w) och alternatvinklar lika stora ( wu=) uvwL1L2L3 Omv nt g ller att om alternatvinklar eller likbel gna vinklar r lika stora s r linjerna L2 och L3 parallella. 6(8) Skolverket Topptriangel- och transversalsatsen Om DE r parallell med AB g ller BCCEACCDABDE== och BECEADCD= ABCDE Bisektrissatsen BCACBDAD= ABCD Kordasatsen cdab= cadb Randvinkelsatsen Medelpunktsvinkeln till en cirkelb ge r dubbelt s stor som randvinkeln till samma cirkelb ge )2(vu=uv KOMPLEXA TAL Representation )sini(coseii +==+=rryxzd r x, y, r och r reella tal samt 1i2 = Argument =zarg xy= tan Absolutbeloppet 22yxrz+== Konjugat Talen yxzyxziochi =+= kallas konjugerade tal R knelagar ())

7 (i212121212121e)sin(i)cos( +=+++=rrrrzz ())(i212121212121e)sin(i)cos( = + =rrrrzz de Moivres formel ())sini(cos)sini(cos nnrrznnn+=+= Eulers FORMLER yyysinicosei+= i2eesin2eecosiiiiyyyyyy =+= 7(8) Skolverket NUMERISKA METODER Ekvationsl sning Newton-Raphsons iterationsformel: )()(1nnnnxfxfxx =+ Integraler Intervallet delas in i n delintervall. naxa 0 Mittpunkten i varje delintervall betecknas nxxx,..,,21 Rektangelmetoden: ())(..)()(d)(2100nnaaxfxfxfnaaxxfn+++ = Trapetsmetoden: ())()( )(2)(2)(2d)(121000nnnaaafafafafafnaaxxfn +++++ = Differential-ekvationer ),(yxfy= , stegl ngd h Eulers metod (tangentmetoden): ),(1nnnnyxfhyy +=+ Mittpunktsmetoden: ++ +=+khyhxfhyynnnn2,21 d r ),(nnyxfk= TRIGONOMETRI Definitioner ABC r en r tvinklig triangel.)

8 = = =kateten rliggandkatetmotst endecaAnhypotenusakateten rliggandbcAnhypotenusakatetmotst endebaAtancossin ACBacb OP r radie i en enhetscirkel. Koordinaterna f r P r ),(11yx1111tancossinxyvxvyv=== xyvoP(x1,y1) 8(8) Skolverket Sinussatsen cCbBaAsinsinsin== Cosinussatsen Abccbacos2222 += Areasatsen 2sinareanCab= ACBacb Trigonometriska FORMLER 1cossin22=+aa sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(sincos cossin)sin(sincoscossin)sin(+= =+ = +=+ tantan1tantan)tan( +=+ 2222sin211cos2sincos2coscossin22sin = = ==2cos12cos2cos12sin22 += = )sin(cossinvxcxbxa+=+ d r 22bac+= och abv=tan Vinkel v (grader)

9 0 30 45 60 90 120 135 150 180 Exakta v rden (radianer)0 6 4 3 2 32 43 65 vsin 0 21 22231 23 22 21 0 vcos 1 232221 0 21 22 23 -1 vtan 0 331 3 Ej -1 33 0