Formulario matematica - Zanichelli

1 1 FORMULARIOM atematicaLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADOUn equazione di secondo grado riconducibile alla forma normale: ax2 bx c 0, a 0se ac 0: impossibile b 0, c 0 (equazione pura) ax2 c 0 x2 ac se ac 0 x1,2 a c c 0, b 0 (equazione spuria) ax2 bx 0 x(ax b) 0 x1 0, x2 ab b c 0 (equazione monomia) ax2 0 x1 x2 0 b 0, c 0 (equazione completa). Il discriminante b2 4ac. Formula ridotta: bpari x1,2 .LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADOPer risolvere le disequazioni ax2 bx c 0e ax2 bx c 0(con a 0), si considera l equazione associataax2 bx c 0, la disequazione: ax2 bx c 0 verificata dai valori esterni all intervallo individuato dalle radici dell equazione associata; ax2 bx c 0 verificata dai valori 0, la disequazione: ax2 bx c 0 sempre verificata tranne che per il valore della radice doppia dell equazione associata; ax2 bx c 0 non mai 0, la disequazione: ax2 bx c 0 sempre verificata.

2 Ax2 bx c 0 non mai + bx + c > 0x2ax2 + bx + c < 0 > 0 = 0 < 0a > 0ax2 + bx + c > 0x1 = x2ax2 + bx + c > 0 b2 4 a > 0 = 0 < 0 = b2 4acnon esistonosoluzioni realidue soluzioni reali coincidentidue soluzioni reali distintex1 = x2 = 0x1,2 = b 2aRICHIAMI DI ALGEBRA2 MatematicaUNITUTOR MEDICINA 2015LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI CON IL VALORE ASSOLUTOse k 0: non ha soluzione A(x) kse k 0: A(x) kse k 0: k A(x) k A(x) kse k 0: non ha soluzionese k 0: A(x) k A(x) k A(x) kse k 0: A(x) 0se k 0: sempre verificataLE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI IRRAZIONALIse n dispari:A(x) [B(x)]n nA (x ) B(x)se n pari: se n dispari:A(x) [B(x)]n nA (x ) B(x)se n pari: se n dispari:A(x) [B(x)]n nA (x ) B(x)se n pari: B(x) 0A(x) [B(x)]nB(x) 0A(x) 0A(x) 0B(x) 0A(x) [B(x)]nA(x) 0B(x) 0A(x) [B(x)]nA(x) kA(x) kLE PROPRIET DELLE POTENZE am an am n am an am ncon a 0 (am)n am n am bm (a b)m am bm (a b)mconb 0 a n a1n cona 0I PRODOTTI NOTEVOLI ELA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI (A B)(A B) A2 B2 (A B)2 A2 2AB B2 (A B C)2 A2 B2 C2 2AB 2AC 2BC (A B)3 A3 3A2B 3AB2 B3 A3 B3 (A B)(A2 AB B2)3 MatematicaUNITUTOR MEDICINA 2015La funzione esponenzialeLa funzione logaritmoa.

3 : ; codominio: +; funzione crescente in ; corrispondenza biunivoca; ax 0 per x ; ax + per x + .b. : ; codominio: +; funzione decrescente in ; corrispondenza biunivoca; ax 0 per x + ; ax + per x .y = ax(a > 1)y = ax(0 < a < 1)1y = ax(a = 1)yxOyxOyxO11c. : ; codominio: {1}; funzione costante; funzione non : +; codominio: ; funzione crescente in +; corrispondenza biunivoca; loga x per x 0; loga x + per x + .b. : +; codominio: ; funzione decrescente in +; corrispondenza biunivoca; loga x + per x 0; loga x per x + .y = logax(a > 1)y = logax(0 < a < 1)Logaritmo di un prodottologa (b c) logab logac, (b 0, c 0)Logaritmo di un quozienteloga bc logab logac,(b 0, c 0)Cambiamento di base nei logaritmilogab llooggccab a 0, b 0, c 0a 1, c 1 Logaritmo di una potenzaloga bn n logab, (b 0)LA FUNZIONE ESPONENZIALE E LA FUNZIONE LOGARITMOa 10 a 1a 10 a 1 Disequazioni esponenzialiDisequazioni logaritmicheyxatazzOy = ax(a > 1)tat az t zyxatazzOy = ax(0 < a < 1)tat az t zlogab logac b clogab logac b cyOxy = loga x(a > 1)bclogablogacyOy = logaxlogabclogac(0 < a < 1)

4 Xb4 MatematicaUNITUTOR MEDICINA 2015 RICHIAMI DI GEOMETRIA baricentromedianeassicircocentro ortocentroaltezze o loroprolungamenti bisettriciincentroL incentro il centrodella circocentro il centrodella baricentro divide ognimediana in due parti di cuiquella contenente il vertice doppia dell altraI punti notevoli di un triangoloI criteri di congruenza dei triangoliIl teorema di TaleteBCAA'B'C'ABC A'B'C'AB A'B'BC B'C'B B' CABB'C'A'ABC A'B'C'AC A'C'A A'C C' CABB'C'A'ABC A'B'C'AB A'B'BC B'C'AC A'C'1 criterio2 criterio3 criterioTeorema di TaleteTeorema della bisettricedi un angolo interno di un triangoloConseguenza del teorema di Taleter // s // t AB : BC = A'B' : B'C'C'A'CAB'BrstABECBE : CE = AB : ACABCMNCN NBAM MBMN ACMN AC125 MatematicaUNITUTOR MEDICINA 2015a + b + c 2con p = bacBAC = p (p a) (p b) (p c)L equivalenza e la similitudineIl teorema di PitagoraI teoremi di Euclidec1c2ic1 + c2 = i222iSecondo teorema di Euclidep1 : h = h : p2c1c2p2p1 Primo teorema di Euclidei : c1 = c1 : p1i : c2 = c2 : p2p2p1hRelazioni fra i lati di triangoli notevoliFormula di Erone 45 45 2 2 3 60 30 2 Criteri di similitudine dei triangoliPrimo criterio B' B A' A ABC A'B'C'ABCC'A'B'ABCC'A'B'Secondo criterioABCC'A'B'Terzo criterioAB : A'B' = AC : A'C' = BC : B'C' ABC A'B'C'AB : A'B' = AC.

5 A'C' A' A ABC A'B'C'La similitudine nella circonferenzaAE : CE = ED : EBTeorema delle corde secantiCABDT eorema delle secantiTeorema della secantee della tangenteEPF : PE = PA : PCPACEFPACFPF : PA = PA : PC6 MatematicaUNITUTOR MEDICINA 2015I teoremi sulle cordeAngoli alla circonferenzae angoli al centroTangente a una circonferenzada un punto esternoOH OKAB CDOCABDHKOCABD OABHCDOABHCDO DCDC ABAOC COB OABHCDOABHCD AC CBAH HBVABOAVBOOgni angolo alla circonferenza lamet dell angolo al centro Misure della circonferenza (c) e dell arcodi angolo al centro ( ).b. Misure dell area del cerchio (C) e dell area del settorecircolare di angolo al centro (S). S rO=c2 r= r 180rO=C r2= r2= 360 21 rabca.

6 Raggio del cerchio inscritto nel Raggio del cerchio circoscritto al =R abcr=rR p OOLa circonferenzaLa lunghezza della circonferenza e l area del cerchioSe da un punto esterno a una circonferenzasi conducono le rette tangenti, i segmentidi tangente risultano congruenti7 MatematicaUNITUTOR MEDICINA 2015 Formule di geometria solidaPIRAMIDE RETTATRONCO DI PIRAMIDE RETTAAb = r2A = 2 r hAt = 2 r (h + r)V = r2 h1313A = (p + p') aAt = A + Ab + A'bV = h (Ab + A'b + + Ab A'b)CILINDRO haharhA = p aAt = A + AbV = Ab hrAb = r2A = raAt = r (a + r)V = r2 h13Ab = r2A'b = r'2A = a (r + r')At = A + Ab + A'bV = h (r2 + r'2 + r r')13 CONO TRONCO DI CONOA = 4 r2V = r3rhahaSFERA43calottazonaRhhhS = 2 Rh322Rr2r1rRCALOTTA E ZONA SFERICASEGMENTO SFERICO A DUE BASISEGMENTO SFERICO A UNA BASE43h2h23R h13V = 3+ r2 = h2 43h2h2h2V = + r1 + r2 16V =a a 2h23 270 V =s R3 radR3= R RahFUSO SFERICOSPICCHIO SFERICOANELLO SFERICO2 90 S = R rad R2 f2= rad:ampiezza del diedro in radianti :ampiezza del diedro in gradiadbcPRISMA RETTOPARALLELEPIPEDO RETTANGOLOCUBOhdsAb = abA = 2 (ac + bc)At = 2(ac + ab + bc)V = a b cd = a2 + b2 + c2Ab = s2At = 6 s2V = s3d = s 3A = 2p hAt = A + 2 AbV = Ab h8 MatematicaUNITUTOR MEDICINA 2015 GEOMETRIA ANALITICALa distanza fra due puntiA(xA.)

7 YA) e B(xB; yB) data da: A B (x B x A) 2 ( y B y A) 2 .Il punto mediodel segmento AB M(xM; yM) con: xM xA 2xB ,yM yA 2yB .Il baricentro di un triangolodi vertici A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC) G(xG;yG) con:xG xA x3B xC ,yG yA y3B yC .La distanza di un puntoP(x0; y0) da una rettardi equazione ax by c 0 uguale a: d . ax0 by0 c a 2 b 2 xyQ(x2;y2)P(x1;y1)y2 y1x2 x1y2 y1x2 x1m = OxyOy = mx + qy = mx + q'y = mx + qy = x + q' 1mxyOCoefficiente angolareRette paralleleRette perpendicolariL equazione di una rettay y1 x x1y2 y1 x2 x1 = y=ky=0x=hx=0P1P2y1y2x1x2xyA(0;k)a. Retta parallela all asse Retta parallela all asse Retta non parallela agli assi passanteper i punti P1(x1; y1) e P2(x2; y2).

8 XyA(h;0)xyOOOIl piano cartesiano e la rettaI fasci di retteb. Fascio improprio di rette parallele a una retta Fascio proprio di rette per un punto P: insieme di tuttele rette del piano passanti per P. P detto centro del MEDICINA 2015La parabola con asse parallelo all asse yLa parabola con asse parallelo all asse xLa circonferenzaL ellisseyOse a 0 la concavit rivolta verso il bassoF ( ; )1 4ab2ay = ax2 + bx + c (a 0)asse: x = b2adirettrice: y = 1+ 4aV ( ; ) 4ab2a 4a b2ax = ay2 + by + casse: y = b2aVF ( ; )1 4ab2ayxOdirettrice: x = 1+ 4ase a 0 la concavit rivolta nel verso opposto(a 0)PC = rxyOC( ; )P(x )2 + (y )2 = r2 OxyF1( c ; 0)F2(c ; 0)PA1( a ; 0)A2(a ; 0)B1(0 ; b)B2(0 ; b) + = 1, a > ba2x2b2y2L iperboleLa funzione omograficaOxyF1( c ; 0)F2(c ; 0)PA1( a ; 0)A2(a ; 0)B1(0 ; b)B2(0.)

9 B)y = xbay = xba = 1, a < ca2x2b2y2Oy = acx = dcxyy = ax + bcx + dIL SEGMENTO PARABOLICOT racciamo la retta parallela ad ABe tangente alla parabola, e consideriamo su diessa le proiezioni A e B di Ae B. L area del segmento parabolico uguale a 23 dell area del rettangolo AA B = AAA'B'B23 OxyBA'B'SALe coniche10 MatematicaUNITUTOR MEDICINA 2015LA SIMMETRIA ASSIALEF issata nel piano una retta r, la simmetria assiale rispetto alla retta r quella iso-metria che a ogni punto del piano Pfa corrispondere il punto P del semipiano op-posto rispetto a r, in modo che rsia l asse del segmento PP , ossia: rpassa per il punto medio di PP ; PP perpendicolare alla retta retta r detta asse di piano cartesiano prendiamo in esame le seguenti simmetrie assiali, fornendo le relative Simmetria con asse x a(asse parallelo all asse y) x 2a xy yb.

10 Simmetria con asse y b(asse parallelo all asse x) x xy 2b yc. Simmetria con asse y x(bisettrice del primo e terzo quadrante) x yy xd. Simmetria con asse y x(bisettrice del secondo e quarto quadrante) x yy xe. Simmetria con asse x 0 (asse y) x xy yDue punti simmetrici rispetto all asse yhanno ascisse opposte e la stessa Simmetria con asse y 0 (asse x) x xy yDue punti simmetrici rispetto all asse xhanno la stessa ascissa e ordinate 'PryxOxy = y'Px'P'ax = ayxOyPP'by = bx = x'y'yxOyPP'y = xxy'x'Oy= x yxxx y yPP yxOPP'x = 0xx'yxOPP'y = 0yy'11 MatematicaUNITUTOR MEDICINA 2015 GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIALe funzioni goniometricheyOLA TANGENTOIDEy = tg x 3 2 2 2yxOLA COTANGENTOIDEy = cotg x 2 5 2La prima relazione fondamentalesen2 cos2 1La seconda relazione fondamentaletg sceons cos = xBtg = yBxBAyxOxByBBsen = yB 1x2 + y2 = 1cotg = yBxBI grafici delle funzioni goniometricheSeno, coseno e tangente su un triangolo rettangoloO LA SINUSOIDEyxOLA COSINUSOIDE2 2 1 11 1y = sen xy = cos x3 2 2xyPeriodicit.