I sistemi lineari 10 - Zanichelli

1 sistemi di due equazioniin due incognite Le equazioni lineari in due incogniteConsideriamo l equazione 3x 5y 4 tratta di un equazione di primo grado in due incognite, ovvero diun equazione linearein due soluzionedell equazione una coppiadi valori (x; y) che rende ilprimo membro uguale al esempio, la coppia ordinata 0; 45 una soluzione; per verificarlobasta sostituire, nell equazione, a xil valore 0, a yil valore 45 e control-lare che l uguaglianza risulti trovare altre soluzioni sufficiente assegnare un qualsiasi valore a xepoi risolvere rispetto a yl equazione cos ottenuta.

2 Per esempio, se ponia-mo x 13, l equazione diventa:39 5y 4 5y 4 39 5y 35 y 355 sistemi lineariInternetPi della met delle famiglie in Italia dispone diuna connessione ADSL e il numero in continuacrescita. L offerta di tariffe e tecnologie dei gestoritelefonici sempre pi scegliere il contratto pi conveniente? La risposta a pag. 71910 CAPITOLOC opyright 2010 Zanichelli editore , Bologna704 CAPITOLO sistemi LINEARITEORIA Dire che le soluzionisono infinite non significadire che qualunque coppiadi numeri soluzionedell equazione. Per esem-pio, la coppia (1; 1) non soluzione di3x 5y 4 di equazioniUn sistema di equazioni un insieme di equazioni in cui compaiono lestesse incognite, per le quali ci chiediamo quali sono le soluzioni di un sistemaIl grado di un sistema di equazioni algebriche intere il prodotto dei gra-di delle singole equazioni che lo y, abbiamo ottenuto y coppia ordinata (13; 7) soluzione dell trovare altre soluzioni allo stesso modo, attribuendo diversi va-lori a xe ricavando i rispettivi valori di le coppie (x.)

3 Y) che soddisfano l equazione sono infinite, ogniequazione lineare in due incognite indeterminata. I sistemi di due equazioni lineari in due incogniteConsideriamo, oltre all equazione 3x 5y 4 0, la seguente:x 2y delle due equazioni considerate ha infinite soluzioni. Ma esisto-no soluzioni comuni a entrambe? Cio , esistono coppie ordinate (x; y) divalori che soddisfano contemporaneamentele due equazioni? Mettere a sistema le due equazioni significa chiedersi esattamente indicare un sistema, si scrivono le equazioni in colonna, racchiuse dauna parentesi graffa: 3x 5y 4 0x 2y 1Le soluzioni comuni a tutte le equazioni sono le soluzioni del dice che un sistema impossibilese non ha soluzioni, che determina-tose ha un numero finito di soluzioni, che indeterminatose ha un nu-mero infinito di soluzioni.

4 Cos come un equazione di primo grado anche detta lineare , un siste-ma formato soltanto da equazioni di primo grado detto sistema il momento ci occupiamo solo di sistemi lineari di due equazioni in dueincognite. Il grado di un sistema Se una coppia di numerireali soluzione di un siste-ma, allora sostituendo i duenumeri al posto delle inco-gnite in entrambe le equa-zioni del sistema si otten-gono due uguaglianze esempio, il sistema 3x y 04x y 1 0ha come soluzione la cop-pia di numeri (1; 3), per-ch per x 1 e y 3 sonosoddisfatte tutte e due coppia (0.)

5 0) non so-luzione del sistema, perch soddisfa la prima equazio-ne ma non la 2010 Zanichelli editore , Bologna705 Paragrafo metodo di sostituzioneTEORIAESEMPIOIl sistema di primo grado, perch formato da due equazioni di primo grado; ilprodotto dei gradi dunque 1 1 uso dei princ pi di equivalenza delle equazioni, possiamo sem-pre scrivere un sistema lineare, equivalente a quello dato, informa nor-male, cio nella forma: ax by ca1x b1y c1dove i valori a, a1e b, b1indicano, rispettivamente, i coefficientidelle in-cognite xe y, e dove ce c1indicano i termini notidelle due metodo di sostituzioneDopo averlo ridotto in forma normale applicando i princ pi di equiva-lenza delle equazioni, per risolvere un sistema si possono utilizzare di-versi esaminando il metodo di il sistema La coppia ( 2; 1) la soluzione del 5y 32x 4y 83x 2y 1 04x 5y 2 Due sistemi sono equi-valenti se hanno lo stessoinsieme di soluzioni.

6 Il grado del sistema 3x2 2xy 3 07x xy 0 ? a, a1, b, b1, c, c1sono nu-meri reali. Figura 1 14y = 14 y = 1a. Ricaviamo x dalla prima Sostituiamo a x nella seconda equazione l Ricaviamo il valore di y dalla seconda Sostituiamo a y nella prima equazione il valoretrovato e calcoliamo + 5y =32x 4y = 8x + 5y = 32 (3 5y) 4y = 8x + 5y = 36 10y 4y = 8x + 5 1 = 3y = 1x = 3 5yx = 3 5 = 2 BRAVI SI DIVENTAV ideolezione V29aCopyright 2010 Zanichelli editore , Bologna706 CAPITOLO sistemi sistemi determinati, impossibili,indeterminati I sistemi determinatiUn sistema si dice determinatoquando ha un numero finito di particolare, si pu dimostrare che un sistema lineare e determinato hauna sola sistema precedente determinato e la sua soluzione la coppia di numeri reali ( 2; 1).

7 Osserviamo che il rapporto fra i coefficienti di x, cio 12 , diverso dalrapporto fra i coefficienti di y, che vale 54 .Consideriamo un generico sistema scritto in forma normale: ax by ca1x b1y c1con a, a1, b, b1 determinatoquando il rapporto fra i coefficienti di x, aa1 , di-verso dal rapporto fra i coefficienti di y, bb1 , ossia quando:Interpretazione graficaNel piano cartesiano, ogni equazione lineare in due incognite individuauna retta. quindi possibile dare un interpretazione grafica anche dei si-stemi lineari di due equazioni in due incognite xe il sistema: y x 1 x 1y 2x 2y 0 Ciascuna equazione del sistema haper soluzioni le coordinate (x;y) dei punti della retta che la rappre-senta.

8 ( 1; 0), unica soluzione del siste-ma, l unico punto in comune alledue rette. aa1 bb1 .x 5y 32x 4y 8 1x 5y 32x 4y 8y = 2x 2y = x + 1xyOy = x + 1 11P 2y = 2x 2 SISTEMA DETERMINATO( 1; 0) Figura 2Le rette diequazioni y x 1 ey 2x 2 si intersecanonel punto P( 1; 0): ilsistema determinato e lasua soluzione la coppia( 1; 0) delle coordinate di P. Questa affermazionepu essere dimostrata; noiqui diamo solo una giusti-ficazione grafica. Ogni coppia (x; y) solu-zione di un equazione li-neare corrisponde a unpunto e tali punti sono tut-ti e solo i punti di una SI DIVENTAV ideolezione V30aCopyright 2010 Zanichelli editore , Bologna707 Paragrafo sistemi determinati, impossibili, indeterminatiTEORIAIn generale, consideriamo le rette re sdi equazioni ax by c 0retta ra1x b1y c1 0retta sEsplicitiamo le due equazioni, supponendo che a, a1, b, b1siano non nulli.

9 By ax c y ab x bc b1y a1x c1y ab11 x bc11 Le rette re ssi intersecano se non sono parallele, cio se hanno coeffi-cienti angolari diversi, ovvero se ab ab11 .Moltiplichiamo entrambi i membri per ab1 : ab ab1 ab11 ab1 aa1 bb1 .Tale condizione si pu anche scrivere ab1 a1bo anche ab1 a1b 0. I sistemi impossibiliUn sistema impossibilequando non ammette il seguente sistema con il metodo di sostituzione: 2x 3y 1 x 1 23y 2x 3y 72 1 23y 3y 7x 1 23y x 1 23y 1 3y 3y 7 0 y 6 Poich siamo giunti a un equazione impossibile, il sistema non ha solu-zione; quindi che nel sistema considerato il rapporto fra i coefficienti di x, 22 , uguale al rapporto fra i coefficienti di y, 33 , mentre tale rapporto diverso da quello fra i termini noti, 17.

10 Le rette re ssono scrittecos in forma esplicita. Quest ultima formula-zione ha senso anche nelcaso in cui qualcuno deicoefficienti a, b1, a1, bsianullo. 2x 3y 12x 3y 7 Copyright 2010 Zanichelli editore , Bologna708 CAPITOLO sistemi LINEARITEORIAC onsideriamo un generico sistema scritto in forma normale: ax by ca1x b1y c1con a, a1, b, b1 impossibilequando il rapporto fra i coefficienti di x, aa1 , ugua-le al rapporto fra i coefficienti di y, bb1 , e tale rapporto diverso dal rap-porto fra i termini noti, cc1 , ossia:Questa condizione si pu anche scrivere come ab1 a1b 0eb1c bc1 0, e tale formulazione pu essere utilizzata anche quandoqualcuno dei coefficienti a, b, a1, b1, c, c1 caso particolare dell esempio, potevamo giungere allaconclusione che il sistema dato impossibile senza effettuare calcoli.