Introducci´on a la teor´ıa del riesgo - UNAM

1 introducci on a lateor a del riesgoLuis Rinc onDepartamento de Matem aticasFacultad de Ciencias UNAMC ircuito Exterior de CU04510 M exico DFEnero 2012Pr ologoEl presente texto contiene los temas del curso semestral de teor a del riesgoque el autor ha impartido a estudiantes de ultimo semestre de la carrera deactuar a en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Contiene el material b asicopara un curso introductorio a ciertos temas de la teor a delriesgo aplicadaa seguros , e incluye una colecci on de ejercicios. La mayor parte del materialque se presenta aqu fue compilado de las fuentes que aparecen al final deltexto.

2 Espero que este material sea de alguna ayuda para los numerososalumnos de las distintas escuelas de actuar a y de matem aticas aplicadas depa ses de habla hispana, y contribuya tambi en a apoyar el trabajo docentede sus profesores. El texto fue escrito en el sistema LATEX, las ilustracionesfueron elaboradas usando el paquetepstricks. La ultima versi on disponiblede este texto en su formato digital puede encontrarse en la p agina sinceramente los comentarios, correcciones y sugerencias que herecibido por parte de alumnos y profesores para mejorar estematerial.

3 Yagradezco tambi en el apoyo del proyecto PAPIME PE103111 a trav es delcual pudo ser posible el desarrollo y la edici on de este texto. Toda comuni-caci on puede enviarse a la cuenta de correo que aparece Rinc onEnero 2012 Ciudad Universitaria Modelo individual vs modelo introducci on .. Modelo individual .. F ormula de De Pril .. Modelo colectivo .. Modelo colectivo Poisson .. Ejercicios .. 302. F ormula de Panjer y m etodos de aproximaci F ormula de Panjer .. Aproximaci on normal .. Aproximaci on gamma trasladada.

4 Aproximaci on de Edgeworth .. Ejercicios .. 553. Principios para el c alculo de Principios generales .. Propiedades .. Primas y funciones de utilidad .. Ejercicios .. 724. Reaseguro proporcional .. Reaseguro no proporcional .. Ejercicios .. 87iiiivContenido5. Teor a de la Credibilidad cl asica .. Credibilidad Bayesiana .. Ejercicios .. 1066. Procesos estoc Filtraciones y tiempos de paro .. Cadenas de Markov .. Proceso de Poisson .. Martingalas .. Ejercicios .. 1137. Teor a de la Un proceso de riesgo a tiempo discreto.

5 Modelo cl asico de Cram er-Lundberg .. Probabilidad de ruina .. Severidad de la ruina .. El coeficiente de ajuste .. Aproximaci on de De Vylder .. F ormula de Pollaczek-Khinchin .. Ejercicios .. 154A. Formulario y resultados varios157 Bibliograf a179 Indice anal tico181 Cap tulo 1 Modelo individual vsmodelo colectivoEn este cap tulo se presenta una introducci on al esquema del seguro y alconcepto general de riesgo . Se presentan adem as las perspectivas individualy colectiva para modelar el riesgo correspondiente al conjunto de reclama-ciones que afronta una compa n a aseguradora.

6 Se estudiantambi en algunaspropiedades y relaciones entre estas dos perspectivas. En el resto del textose adopta el modelo colectivo como modelo introducci onEl t erminoriesgotiene muchas acepciones dependiendo del area de estudioque se trate, y en t erminos imprecisos puede definirse como la posibilidadde experimentar ciertos eventos de inter es y las consecuencias derivadas dedichos eventos. Los riesgos pueden tener un sentido positivo o negativo, peroen general tienen una connotaci on de p erdida. El objetivoes identificar losriesgos, ponderarlos con base en sus consecuencias, decidir la aceptaci on ono de los mismos, y tomar provecho de su existencia.

7 Por lo tanto no setrata necesariamente de evitarlos o de protegerse contra ellos. El quehacercotidiano del hombre, ya sea en el ambito personal o profesional, impli-ca necesariamente y a cada momento hacer frente a ciertos riesgos , y ellopuede tener consecuencias no deseadas pero tambi en puede ofrecer oportu-nidades. Por ejemplo, el comprar un boleto de loter a conlleva el riesgo de121. Modelo individual vs modelo colectivoperder el importe pagado por el boleto, pero al mismo tiempo la posibili-dad de ganar una gran cantidad de dinero. Cada uno de nosotrosponderaestas dos posibilidades de manera distinta y toma una decisi on al ejemplo en donde es evidente la evaluaci on (a veces inconsciente) delos riesgos es cuando una persona decide viajar en avi on, eneste caso seconsidera primordial la rapidez y comodidad del viaje, y se desde na conve-nientemente cualquier posibilidad de accidente.

8 Como hemos mencionado,el t ermino riesgo se define de manera distinta dependiendo de la disciplinade estudio. En ingenier a, por ejemplo, puede definirse el riesgo como elproducto de la probabilidad de que un evento no deseable ocurra y el da noesperado debido a la ocurrencia del evento, es decir, riesgo =(Probabilidadde un accidente) (Da nos como consecuencia del accidente). En finanzas,puede definirse el riesgo en t erminos de la variaci on o volatilidad de una in-versi on, o tambi en como la posible p erdida en una inversi on; en general, seconsidera que una inversi on en la bolsa de valores (tasa de inter es variable)es m as riesgosa comparada con una inversi on en un banco (tasa de inter esfija).

9 Finalmente, en seguros , el riesgo puede definirse comoel monto de lasreclamaciones totales de los asegurados. Veremos a continuaci on con m asdetalle este ultimo caso pues es al que est an dirigidos principalmente losmodelos matem aticos que grandes rasgos, la forma en la que opera un seguro es la siguiente: un grupode personas reconocen que est an expuestas a sufrir alg un tipo de siniestroen sus bienes o en sus personas, y que dichos siniestros pueden causar-les consecuencias irreparables como la p erdida de sus vidas, o bien p erdidasecon omicas considerables.

10 Al contratar un seguro (es decir, firmar unap olizade seguro), cada una de estas personas paga por adelantado una cantidad dedinero (generalmente peque na) llamadaprimaa una compa n a aseguradora,quien se compromete a resarcir monetariamente a todas aquellas personasaseguradas que sufrieron alg un siniestro durante el tiempo de vigencia delseguro y seg un lo pactado en la p oliza del seguro. De esta manera, aunque nose conozca de manera individual exactamente a las personas que sufrir an unsiniestro, el capital obtenido de manera colectiva debe sersuficiente para sol-ventar los gastos de los siniestros individuales que se presentan.