Lagrange-Ansatz - matp.de

1 Lagrange-Ansatz 1 Motivation Die Pr ferenzen von Otto Optimal bez glich Gut1 (Aktien von BMW) und Gut2 (Aktien von VW). lassen sich mit Hilfe folgender Nutzenfunktion beschreiben: u(x1 , x2 ) = 400x1 x22. Otto Optimal verdient 3000 Euro im Monat. Jede Einheit von Gut1 kostete 70 Euro, jede Einheit von Gut2 50 Euro. Wie lautet das optimale Konsumb ndel aus Gut1 und Gut2 f r Otto Optimal? 2 L sung mit Hilfe des lagrange -Ansatzes Bei obiger Aufgabe handelt es sich um ein Optimierungsproblem, die Nutzenfunktion u(x1 , x2 ). muss unter gegebener Nebenbedingung optimiert werden. Dazu benutzen wir die lagrange -Funktion L(x1 , x2 , ), welche sich aus der Di erenz der Nut- zenfunktion und dem Produkt des neu eingef hrten Parameters mit der Nebenbedingung er- gibt. Die Nebenbedingung k nnen wir oftmals wie folgt ausdr cken: Gesamtkosten(Produkt1 ) +.

2 Gesamtkosten(Produkt1 ) = Budget . Anschlie end m ssen wir sie auf die Form Term = 0 bringen, sodass wir sie mit multiplizieren k nnen. Allgemein lautet die lagrange -Funktion also: L = u(x1 , x2 ) (p1 x1 + p2 x2 m). u: Gibt den Nutzen an, den ein Individuum aus dem Konsum von Gut1 und Gut2 bezieht. x1 : Menge von Gut1. x1 : Menge von Gut2. p1 : Preis f r Gut1. p2 : Preis f r Gut2. m: Einkommen des Individuums : lagrange -Multiplikator Um eine L sung ermitteln zu k nnen, m ssen folgende drei Optimalit tsbedingungen gleichzeitig erf llt sein: L ! 1. Optimalit tsbedingung: x1 =0. 1. L ! 2. Optimalit tsbedingung: x2 =0. L ! 3. Optimalit tsbedingung: = 0. Schritt 1: Aufstellen der Nutzenfunktion und Budgetbeschr nkung Nutzenfunktion:u(x1 , x2 ) = 400x1 x22. Budgetbeschr nkung: 70x1 + 50x2 = 3000. Schritt 2: Gegebene Gr en in die lagrange -Funktion einsetzen L = u(x1 , x2 ) (p1 x1 + p2 x2 m).

3 L = 400x1 x22 (70x1 + 50x2 3000). Schritt 3: lagrange -Funktion nach x1 ableiten und gleich Null setzen 400x22 70 = 0 | +70 . 400x22 = 70 |: 70. = 5, 71x22. Schritt 4: lagrange -Funktion nach x2 ableiten und gleich Null setzen 800x1 x2 50 = 0 | +50 . 800x1 x2 = 50 |: 50. = 16x1 x2. Schritt 5: Gleichsetzen der beiden -Ausdr cke 5, 71x22 = 16x1 x2 |: x2. 5, 71x2 = 16x1 |: 5, 71. x2 = 2, 80x1. Schritt 6: Einsetzen von x2 in die Budgetbeschr nkung 70x1 + 50x2 3000 = 0. 70x1 + 50 2, 8x1 3000 = 0. 70x1 + 140x1 3000 = 0 | +3000; zusammenfassen 210x1 = 3000 |: 210. x1 = 14, 29. Schritt 7: Einsetzen von x1 in die Budgetbeschr nkung 70x1 + 50x2 = 3000. 70 14, 29 + 50x2 = 3000. 1000, 3 + 50x2 = 3000 | 1000, 3. 50x2 = 1999, 7 |: 50. x2 = 39, 99. 2. Daraus folgt also die L sung f r unser Ausgangsproblem: Otto Optimal maximiert seinen Nutzen, wenn er 14 Aktien von BMW und 40 Aktien von VW.

4 Erwirbt. 3 bungsaufgaben Die Pr ferenzen von Katja Kau reudig bez glich Gut1 (Schuhe von Louboutin) und Gut2 (Schuhe von Prada) lassen sich durch folgende Nutzenfunktion beschreiben: u(x1 , x2 ) = 250x1 x22. Katja Kau reudig verdient 1400 Euro im Monat. Jede Einheit von Gut1 kostet 180 Euro und jede Einheit von Gut2 150 Euro. Wie lautet das optimale Kostenb ndel aus Gut1 und Gut2 ? L sung: Schritt 1: Aufstellen der Nutzenfunktion und Budgetbeschr nkung Nutzenfunktion:u(x1 , x2 ) = 250x1 x22. Budgetbeschr nkung: 180x1 + 150x2 = 1400. Schritt 2: Gegebene Gr en in die lagrange -Funktion einsetzen L = u(x1 , x2 ) (p1 x1 + p2 x2 m). L = 250x1 x22 (180x1 + 150x2 1400). Schritt 3: lagrange -Funktion nach x1 ableiten und gleich Null setzen 250x22 180 = 0 | +180 . 250x22 = 180 |: 180. = 1, 39x22. Schritt 4: lagrange -Funktion nach x2 ableiten und gleich Null setzen 500x1 x2 150 = 0 | +150.

5 500x1 x2 = 150 |: 500. = 3, 33x1 x2. Schritt 5: Gleichsetzen der beiden -Ausdr cke 1, 39x22 = 3, 33x1 x2 |: x2. 1, 39x2 = 3, 33x1 |: 1, 39. x2 = 2, 4x1. 3. Schritt 6: Einsetzen von x2 in die Budgetbeschr nkung 180x1 + 150x2 14000 = 0. 180x1 + 150 (2, 4x1 ) 1400 = 0. 180x1 + 360x1 1400 = 0 | +1400; zusammenfassen 540x1 = 1400 |: 540. x1 = 2, 59. Schritt 7: Einsetzen von x1 in die Budgetbeschr nkung 180x1 + 150x2 = 1400. 180 2, 59 + 150x2 = 1400. 466, 67 + 150x2 = 1400 | 466, 67. 150x2 = 933, 33 |: 150. x2 = 6, 22. Damit ergibt sich f r Katja folgende L sung: Sie maximiert ihren Nutzen, wenn sie sich 2 Paar Schuhe der Marke Louboutin und 6 Paar Schuhe der Marke Prada kauft. 4.