Métodos de Contagem e Probabilidade

1 M todos de Contageme ProbabilidadePaulo Cezar Pinto Carvalho3 Sobre o AutorPaulo Cezar Pinto Carvalho formado em Engenharia pelo Insti-tuto Militar de Engenharia, Mestre em Estat stica pelo IMPAe PhDem Pesquisa Operacional pela Universidade Cornell. Atualmente pesquisador do IMPA, na rea de Vis o Computacional e Compu-ta o Gr fica. Divide o tempo devotado pesquisa com atividadesligadas melhoria do ensino em todos os n veis. Desde 1991 profes-sor do Programa de Aperfei oamento de Professores, promovido peloIMPA. autor de diversos livros da Cole o do Professor de Matem -tica, publicada pela SBM.

2 Tamb m tem se dedicado s Olimp adas deMatem tica, participando da organiza o da Olimp ada Brasileira deMatem tica, desempenhando a fun o de l der em v rias olimp adasinternacionais e, mais recentemente, servindo no Comit Executivoda de come arEste livro dedicado a um tema que, paradoxalmente, extre-mamente simples, mas muitas vezes considerado dif cil poralunose professores. Talvez isto se deva ao fato de que, diferentemente doque ocorre com outros assuntos da matem tica secund ria, cujo en-sino muitas vezes fortemente baseado na aplica o de f rmulas erepeti o de problemas-modelo, preciso pensar para resolver pro-blemas, mesmo os mais simples, de Contagem .

3 Isto faz com que otema seja especialmente apropriado para este est gio, contribuindopara desenvolver a imagina o dos alunos e a sua confian a para re-solver muitos anos, o estudo de problemas de Contagem (e maisrecentemente de Probabilidade ) fez parte, exclusivamente, do EnsinoM dio. Entretanto, o tema perfeitamente acess vel aos alunos doEnsino Fundamental, o que tem sido reconhecido, por exemplo, pelosPar metros Curriculares editados pelo apostila possui 5 cap tulos. O primeiro destinado a ambosos grupos. desej vel que os alunos, principalmente os do grupo 1,resolvam todos os problemas propostos e que os instrutores encora-jem a exposi o de solu es diferentes e, principalmente, de solu eserradas.

4 Como em outras reas da Matem tica, muitas vezes apren-demos mais com os erros do que com os acertos ao resolver problemasde Contagem . Os Cap tulos 2 e 3 cont m essencialmente o mesmomaterial (uma introdu o no o de Probabilidade ), escritos paraiiidiferentes n veis de maturidade, sendo, em princ pio, indicados paraos grupos 1 e 2, respectivamente. Os Cap tulos 4 e 5 foram escritoscom os alunos do grupo 2 em mente, mas tamb m s o acess veis aosdo grupo 1, caso haja es para todos os problemas podem ser encontradas no claro que s devem ser consultadas ap s uma tentativa s riade resolu o dos de terminar com dois agradecimentos.

5 O primeiro paraa Profa. Maria L cia Villela, pela revis o extremamente benfeita domaterial, tendo contribu do com diversas sugest es que foram incor-poradas ao texto. Mas o agradecimento mais especial vai parao C sar Morgado. Se os leitores acharem que estas notas s oparecidas com os seus escritos e suas aulas, isto n o mera coinci-d ncia. Tive a sorte de ter sido aluno do Prof. Morgado no 3oanodo Ensino M dio, quando tive ocasi o de aprender sobre contagemdo modo exposto nesta apostila . At hoje continuo aprendendo comele, como colega e coautor. Espero que cada um de voc s, alunos, te-nha a oportunidade de ter um professor de Matem tica t o inspiradorquanto autorSum rio1 M todos de Contagem12 Probabilidade (grupo 1)163 Probabilidade (grupo 2)214 Mais Permuta es e Combina es (grupo 2)305 Probabilidade Condicional (grupo 2)396 Exerc cios Adicionais457 Solu es dos Exerc cios53iiiCap tulo 1M todos de ContagemProblemas de Contagem s o, muitas vezes, considerados dif ceisentre alunos e professores, apesar de as t cnicas matem ticas neces-s rias serem bastante elementares.

6 Essencialmente, o conhecimentodas opera es aritm ticas de soma, subtra o, multiplica o e divi-s o. O objetivo deste material habituar o aluno a trabalharcomproblemas de Contagem e a ver que, afinal de contas, tais problemaspodem ser resolvidos com racioc nios simples na grande maioria doscasos, sem exigir o uso de f rmulas complicadas. isto o que procu-ramos mostrar nos exemplos a bandeira com a forma abaixo vai ser pintadautilizando duas das cores dadas. 12 CAP. 1: M TODOS DE Contagem (a)Liste todas as poss veis bandeiras. Quantas s o elas?Solu o: importante ter um procedimento sistem tico para listartodas as poss veis bandeiras, sem repeti-las.

7 Para tal, devemos iden-tificar as diferentes decis es a serem tomadas e examinar todas aspossibilidades para cada uma delas. No caso deste problema,umaforma natural para planejar o preenchimento da bandeira : escolher a cor a ser utilizada para a parte externa; a seguir, escolher a cor para o c rculo primeira decis o pode ser feita de3modos diferentes, j que a corexterna pode ser qualquer uma das dispon veis. Uma vez tomada estadecis o, a cor escolhida n o pode mais ser usada para o c rculo exemplo, se a cor preta for escolhida para a parte externa, a corinterna dever ser cinza ou , ent o, listar todas as poss veis bandeiras, que s o6, deacordo com a figura abaixo.

8 Com a cor externa preta: Cor a cor externa cinza: Cor a cor externa branca: Um fato importante, que pode ser explorado na Contagem eficiente do3n mero poss vel de bandeiras, o seguinte: as cores dispon veis parapintar o c rculo mudam de acordo com a escolha da parte externa,mas a sua quantidade sempre a mesma, j que, qualquer que seja acor externa escolhida, h sempre duas cores restantes para oc , poder amos ter empregado o seguinte racioc nio para contaro n mero de poss veis bandeiras, sem list -las:A cor externa pode ser escolhida de tr s modos diferentes.

9 Qualquerque seja essa escolha, a cor do c rculo pode ser escolhida de dois mo-dos. Logo, o n mero total de possibilidades 2 + 2 + 2 = 3 2 = procedimento acima ilustra oPrinc pio MultiplicativoouPrinc pioFundamental da Contagem :Se uma decis oD1pode ser tomada depmodos e, qualquer que sejaessa escolha, a decis oD2pode ser tomada deqmodos, ent o o n -mero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decis esD1eD2 igual Princ pio Multiplicativo pode ser ilustrado com o aux liode uma rvore de enumera o como a da figura a doc rculo4 CAP. 1: M TODOS DE Contagem (b)Quantas s o as poss veis bandeiras no caso em que4cores est odispon veis?

10 Solu o:As decis es a serem tomadas s o exatamente as mesmas docaso anterior, tendo mudado apenas o n mero de possibilidades deescolha. Para a cor externa, temos agora4possibilidades. Uma vezescolhida a cor externa, a cor do c rculo pode ser qualquer uma dasoutras3. Logo, pelo Princ pio Multiplicativo, o n mero de modosdiferentes para pintar a bandeira 4 3 = s o as formas de pintar a bandeira a seguirutilizando3cores diferentes dentre4dadas? Solu o:Agora, temos3decis es consecutivas a tomar: a cor externa,a do ret ngulo e a do c rculo. A cor externa pode ser qualquer umadas4cores; uma vez escolhida a cor externa, o ret ngulo pode serpintado de tr s modos distintos.