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1 Tests non-param etriquesMicha el GeninUniversit e de Lille 2EA 2694 - Sant e Publique : Epid emiologie et Qualit e des deK= 2 echantillons ind deK= 2 echantillons appari elation de deK>2 echantillons ind ependantsMicha el Genin (Universit e de Lille 2)Tests non-param etriquesVersion - 25 mars 20151 / 66 IntroductionMotivationsMotivations - ITests param etriquesn ecessitent desconditions de validit e:Hypoth eses sur la distribution des observations (ex :X N( ; ))Distributions caract eris ees par des param etres (moyenne, variance.)

2 Ces param etres sont estim :Que faire lorsque les conditions de validit e ne sont pas respect ees ?)Tests non-param etriquesDistribution free: pas d'hypoth ese sur la distribution des observationsTests adapt es aux variables quantitatives et qualitatives (nominales etordinales)La plupart du temps : tests bas es sur la notion de rangsValeur 4 7 8 1 3 5 Rang 3 5 6 1 2 4 Micha el Genin (Universit e de Lille 2)Tests non-param etriquesVersion - 25 mars 20154 / 66 IntroductionMotivationsMotivations - IIAVANTAGESPas d'hypoth ese sur la distribution)champ d'applicationa prioriplus largeTests adapt es aux variables ordinales (ex : degr e de satisfaction)Robustesse par rapport aux donn ees atypiquesExemple:4 5 8 7 3 38 x1= 10:84 5 8 7 3 6 x2= 5.

3 5 Diff erence due a une seule observation !! La transformation en rangs permet de"gommer" cette diff erenceTests adapt es aux petits echantillons (n<30)Si pas d'hypoth ese sur la loi, les tests param etriques deviennent inop erants !INCONVENIENTSL orsque les conditions d'applications sont v eri ees :Tests NP moins puissants que les tests param etriquesDiffcult es d'interpr etation : on ne compare plus des param etres (moyenne,proportion, variance, .. ) Micha el Genin (Universit e de Lille 2)Tests non-param etriquesVersion - 25 mars 20155 / 66 IntroductionNotion de rangsD e nitionConsid erons 2 groupesG1etG2de taillen1etn2sur lesquels est mesur e uncaract ereX{G1:fx11;x12;:::;x1n1gG2:fx21;x22;:: :;x2n2gPrincipe du rang: substituer aux valeurs leur num ero d'ordre (rangr) dansl'ensemble des donn ees(G1[G2)Exemple :{G1:f10;14;22;8;5gG2:f6;9;4;23.]}}

4 7gGroupe 1 Groupe 2 Valeur10142285694237ri78952361104 Micha el Genin (Universit e de Lille 2)Tests non-param etriquesVersion - 25 mars 20158 / 66 IntroductionNotion de rangsCons equences de la transformation en rangsLa distribution des rangs est sym etriqueR^ole des valeurs atypiques amoindriMicha el Genin (Universit e de Lille 2)Tests non-param etriquesVersion - 25 mars 20159 / 66 IntroductionNotion de rangsTraitement des ex-aequo!M ethode des rangs moyensId ee :les observations pr esentant des valeurs identiques se voient attribuer lamoyenne de leur rangs!

5 Fr equent avec des variables ordinales (Peu de modalit es)Exemple{G1:f11;12;12;9;13;4;17;19gG2: f12;4;5;15;22;18;25gValeurs445 9 1112 12 1213 15 17 18 19 22 25 Rangs bruts123 4 56789 10 11 12 13 14 15 Rangs 4 57779 10 11 12 13 14 15 Calculs(1 + 2)=2-(6 + 7 + 8)=3-Remarque :Impact sur la variance des statistiques de test!Correction (Logiciels) Micha el Genin (Universit e de Lille 2)Tests non-param etriquesVersion - 25 mars 201511 / 66 Comparaison deK= 2 echantillons ind ependantsObjectif du testTest de Mann-Whitney-Wilcoxon - ObjectifObjectif :comparaison deK= 2 echantillons ind ependants par rapport a unevariableXde nature :QuantitativeQualitative ordinaleCe test regroupe 2 tests equivalents :TestUde Mann-WhitneyTestWde Wilcoxon!}

6 Se d eduisent l'un de l'autreMicha el Genin (Universit e de Lille 2)Tests non-param etriquesVersion - 25 mars 201514 / 66 Comparaison deK= 2 echantillons ind ependantsHypoth esesTest de Mann-Whitney-Wilcoxon - Hypoth esesSoientF1(X) la fonction de r epartition deXdans la population 1F2(X) la fonction de r epartition deXdans la population 2 Les hypoth eses de test sont :..{H0:F1(X) =F2(X+ ) ; = 0 Distributions identiquesH1:F1(X) =F2(X+ ) ; = 0 Distributions diff erentes param etre de translation.}

7 D ecalage entre les fonctions de r epartitionMicha el Genin (Universit e de Lille 2)Tests non-param etriquesVersion - 25 mars 201516 / 66 Comparaison deK= 2 echantillons ind ependantsHypoth esesTest de Mann-Whitney-Wilcoxon - Hypoth esesExemple de d ecalage = 0 4 4 el Genin (Universit e de Lille 2)Tests non-param etriquesVersion - 25 mars 201517 / 66 Comparaison deK= 2 echantillons ind ependantsHypoth esesTest de Mann-Whitney-Wilcoxon - Hypoth esesId ee :G1:fx11;x12;:::;x1n1gG2:fx21;x22;:::;x2 n2g}= Transformation en rangs (G1[G2)SoientR(X1) =xles rangs des valeurs du groupe 1R(X2) =oles rangs des valeurs du groupe 22 con gurations extr^emes :x o x o x o x o x o x o x o !]

8 Rangs(1)!H0vraie (m elange total)x x x x x x x o o o o o o o !rangs(2)!H0"totalement" fausseEcart par rapport a la con guration (1)!Rejet deH0 Micha el Genin (Universit e de Lille 2)Tests non-param etriquesVersion - 25 mars 201518 / 66 Comparaison deK= 2 echantillons ind ependantsStatistique de testTest de Mann-Whitney-Wilcoxon - Statistique de testRappel :Somme denpremiers entiers1 + 2 +:::+n=n(n+ 1)2 PosonsS1la somme des rangs des observations du groupe 1 PosonsU1le nombre de couplesf(x1i;x2j)=x1i>x2jgU1=S1 n1(n1+ 1)2 PosonsS2la somme des rangs des observations du groupe 2 PosonsU2le nombre de couplesf(x1i.)

9 X2j)=x1i<x2jgU2=S2 n2(n2+ 1)2 Statistique de test :..U= min (U1;U2) Micha el Genin (Universit e de Lille 2)Tests non-param etriquesVersion - 25 mars 201520 / 66 Comparaison deK= 2 echantillons ind ependantsStatistique de testTest de Mann-Whitney-Wilcoxon - Statistique de testInterpr etation de la statistique de test!H0"totalement fausse" :x x x x x x x o o o o o o o !rangs8<:U1=n1(n1+1)2 n1(n1+1)2= 0U2= n1+n2i=n1+1ri n2(n2+1)2=n1n29=;U=U1= 0o o o o o o o x x x x x x x !rangs8<:U1= n1+n2i=n2+1ri n1(n1+1)2=n1n2U2=n2(n2+1)2 n2(n2+1)2= 09=;U=U2= 0 Micha el Genin (Universit e de Lille 2)Tests non-param etriquesVersion - 25 mars 201521 / 66 Comparaison deK= 2 echantillons ind ependantsStatistique de testTest de Mann-Whitney-Wilcoxon - Statistique de testInterpr etation de la statistique de test!

10 H0"Vraie" (m elange total) :Sp(n) = Somme desnpremiers entiers pairsSi(n) = Somme desnpremiers entiers impairs(1)x o x o x o x o x o x o x o !rangs{U1=Si(n1) n1(n1+1)2U2=Sp(n2) n2(n2+1)2(2)o x o x o x o x o x o x o x !rangs{U1=Sp(n1) n1(n1+1)2U2=Sp(n2) n2(n2+1)2On peut en d eduire que!Propri et e:U n1n22 SousH0, on montre [U] =n1n22V[U] =n1n2n1+n2+112 Micha el Genin (Universit e de Lille 2)Tests non-param etriquesVersion - 25 mars 201522 / 66 Comparaison deK= 2 echantillons ind ependantsStatistique de testTest de Mann-Whitney-Wilcoxon - Statistique de testDistribution sousH0de la statistique de testDistribution non connue maistabul ee(probabilit es exactes et quantiles).}}