Yves Debard - IUT Le Mans

1 Elasticit eYves DebardInstitut Universitaire de Technologie du MansD epartement G enie M ecanique et mars 2006 { 31 mai 2011 Table des mati`eres1 Contraintes autour d un Coupure, facette et vecteur contrainte.. Contrainte normale et contrainte tangentielle.. Formule de Cauchy : tenseur des contraintes.. Equations d equilibre.. Equilibre en translation.. Equilibre en rotation : r eciprocit e des contraintes tangentielles.. Directions et contraintes principales.. Cercles de Mohr des contraintes.. Cercle de Mohr des contraintes.. Cercles de Mohr des contraintes.. Etats de contrainte particuliers.}

2 Etat de contrainte uniaxial : traction ou compression simple.. Etat de cisaillement simple.. Etat de contrainte isotrope.. Etat de contrainte plan.. 122 D Configuration, vecteur d eplacement.. Transformation des vecteurs : tenseur gradient de la transformation.. Tenseur des dilatations.. Tenseur des d eformations de Green-Lagrange.. Transformation des longueurs et des angles.. Dilatation.. D eformation de Green-Lagrange.. Allongement unitaire (d eformation de l ing enieur).. Transformation des angles : glissement de deux directions orthogonales.. Transformation des volumes et des surfaces.

3 Rep`ere principal, dilatations et d eformations principales.. D ecomposition polaire.. Petits d eplacements et petites d eformations : elasticit e lin eaire.. Tenseur des d eformations lin earis e.. Transformation des longueurs et des angles.. Directions et valeurs principales.. D ecomposition polaire.. Cercle de Mohr des d eformations.. 273 Loi de comportement ou loi constitutive284 Crit`eres de limite Probl`eme.. Crit`ere de Rankine ou de la contrainte normale maximale.. Enonc e.. Validit e.. Etat plan de contraintes ( 3= 0).. Crit`ere de Tresca ou du cisaillement maximal.

4 Enonc e.. Validit e.. Etat plan de contraintes ( 3= 0).. Crit`ere de Von Mises.. 32II Elasticit Enonc e.. Validit e.. Etat plan de contraintes ( 3= 0).. 325 Probl`emes particuliers d elasticit Contraintes planes.. D eformations planes.. Probl`eme axisym etrique.. Flexion des plaques.. D efinitions.. Champ de d eplacements : mod`ele de Reissner/Mindlin.. D eformations et contraintes.. Forces et moments r esultants.. Energie de d eformation et energie cin etique.. Equations d equilibre.. Mod`ele de Kirchhoff.. Torsion d une poutre cylindrique : th eorie de Saint-Venant.

5 Contraintes dans une poutre.. 426 D epouillement des rosettes d extensom Principe.. Rosette `a 45 degr es.. Rosette `a 120 degr es.. Remarque : utilisation du cercle de Mohr des d eformations.. 46A Produit scalaire, produit vectoriel et produit Produit scalaire.. Produit vectoriel.. Produit mixte.. 49B Valeurs propres et vecteurs propres d une matrice sym etrique `a coefficients r D efinitions.. Propri et es.. D ecomposition spectrale.. Valeurs et vecteurs propres d une matrice sym etrique de dimension deux.. 52C D epouillement des rosettes d extensom etrie : programme Scilab ef erences56 Elasticit e1Pr esentationLath eorie de l elasticit e etudie lesd eplacements, lesd eformationset lescontraintesdans unsolide soumis `a des forces ext adopterons les hypoth`eses suivantes : Lemat eriauesthomog`ene(il a les m emes propri et es en tout point) etisotrope(en un pointdonn e, il a les m emes propri et es dans toutes les directions).

6 Le comportement du mat eriau estlin eaire(les relations entre les contraintes et les d eformationssont lin eaires) et elastique(le solide reprend sa forme initiale d`es que les forces appliqu ees sontsupprim ees).Le rep`ere{O;x, y, z}est un rep`ere orthonorm e direct ; , et ksont les vecteurs unitaires des axes(figure1).Figure 1 Rep`ere orthonorm e{O;x, y, z}et vecteurs unitaires{ , , k}1 Contraintes autour d un Coupure, facette et vecteur contrainteEn chaque pointMd un solide, il existe des forces int erieures que l on met en evidence en effectuantunecoupuredu solide, par une surfaceS, en deux partiesAetB(figure2).Figure 2 Coupure et facette nenMLa partieA, par exemple, est en equilibre sous l action des forces ext erieures qui lui sont directementappliqu ees et des forces int erieures r eparties sur la Elasticit eConsid erons un pointMdeS.

7 SoitdSun el ement infinit esimal de la surfaceSentourantMet nlevecteur unitaire, perpendiculaire enM`aSet dirig e vers l ext erieur de la partieA. Nous appelleronscet ensemblefacette Fla force qui s exerce sur cette facette. On appellevecteur contrainte sur la facette nenM, la quantit e : T(M, n) =d FdS( )Remarque : une contrainte s exprime en pascal (1 Pa = 1 N/m2) ; dans la pratique, on utilisesouvent le m egapascal (1 MPa = 106Pa = 1 N/mm2)Consid erons, en un pointM, le cylindre infiniment petit d axe n, de hauteurhet de sectiondS(figure3).Figure 3 Efforts sur les facettes net nQuandhtend vers 0, le cylindre est en equilibre sous l action des forcesdS T(M, n) etdS T(M, n)d o`u : T(M, n) = T(M, n) Contrainte normale et contrainte tangentielleLe vecteur contrainte peut etre d ecompos e en sa composante suivant net sa projection sur la fa-cette (figure4) : T(M, n) = n n+ n( )avec n= n T(M, n)( ) nest lacontrainte normaleet nest levecteur cisaillementoucontrainte tangentielle.

8 Nestune valeur alg ebrique positive (traction) ou n egative (compression).Figure 4 Vecteur contrainte sur la facette nenMRemarque: on a la relation (th eor`eme de Pythagore) : T 2= 2n+ n 2( ) Elasticit Formule de Cauchy : tenseur des contraintesConsid erons le t etra`edre infiniment petitMABC construit sur les axesx,yetz(figure5). Soient ndecomposantes (nx, ny, nz) la normale unitaire au planABCdirig ee vers l ext erieur du t etra`edre etdSl aire du 5 Equilibre du t etra`edre (Cauchy)On a ( ) : AB AC= 2dS n= 2dS nx + 2dS ny + 2dS nz k=( M B M A) ( M C M A)= M B M C M A M C M B M A+ M A M A= M B M C+ M C M A+ M A M B+ 0= 2 aire (MBC) + 2 aire (MAC) + 2 aire (MAB) k( )On en d eduit par identification.

9 Aire (MBC) =nxdS ,aire (MAC) =nydS ,aire (MAB) =nzdS( )Le t etra`edre est en equilibre sous l action des forces appliqu ees sur ses faces (les forces de volume sontdes infiniment petits d ordre sup erieur) :dS T(M, n) +nxdS T(M, ) +nydS T(M, ) +nzdS T(M, k) = 0( )Il vient apr`es simplification : T(M, n) =nx T(M, ) +ny T(M, ) +nz T(M, k)( )Cette equation s ecrit sous forme matricielle :{T(M, n)}=[{T(M, )} {T(M, )} {T(M, k)}]{n}( )soit :{T(M, n)}= [ (M)]{n}(formule de Cauchy)( )o`u [ (M)] est letenseur des contraintes1de Cauchy2enM. Les composantes du tenseur descontraintes (figure6) dans le rep`ere{ , , k}sont : T(M, ) T(M, ) T(M, k)composantes sur k xx xy xz yx yy yz zx zy zz ( ) fait, [ (M)] est larepr esentation matricielledans le rep`eref , , kgdu tenseur des contraintes Cauchy (1789-1857).

10 4 Elasticit eFigure 6 Vecteur contrainte sur les facettes , et kenMLa contrainte normale sur la facette nenMest egale `a : n= n T(M, n) ={n}T[ (M)]{n}( )Remarque: sur la facette (figure7), le vecteur contrainte est : T(M, ) = xx + yx + zx k( )d o`u la contrainte normale et le vecteur cisaillement : i= T(M, ) = xx, i= yx + zx k( )Figure 7 Vecteur contrainte sur la facette enMChangement de rep`ere: consid erons le rep`ere orthonorm e{ , , k }avec :[ k ]=[ k] k k k k k k |{z}[R]( )et[ k]=[ k ][R] 1avec [R] 1= [R]T,det[R] = 1( )Soit Vun vecteur de composantes :{V}= VxVyVz dans le rep`ere{ , , k}( )et :{V }= V xV yV z dans le rep`ere{ , , k }( ) Elasticit e5On a les relations : V=V x +V y +V z k =[ k ]{V }=[ k][R]{V }=[ k]{V}( )On en d eduit :{V}= [R]{V },{V }= [R] 1{V}= [R]T{V}( )De la formule de Cauchy ( ) et des relations :{T}= [R]{T },{n}= [R]{n }( )on d eduit :[R]{T }= [ ] [R]{n }( )d o`u.