RDM { Ossatures Manuel d’exercices - IUT Le Mans

1 RDM OssaturesManuel d exercicesYves DebardInstitut Universitaire de Technologie du MansD epartement G enie M ecanique et juin 2006 29 mars 2011 Table des mati`eres1 Exemples1 Exemple 1 : Portique plan.. 1 Exemple 2 : Treillis plan `a n uds articul es.. 3 Exemple 3 : Anneau plan.. 5 Exemple 4 : Plancher.. 8 Exemple 5 : Ossature spatiale.. 10 Exemple 6 : Modes propres d un anneau plan.. 12 Exemple 7 : Ossature plane.. 142 Analyse statique16E1 : Treillis plan `a noeuds articul es.. 16E2 : Ossature plane.. 18E3 : Ossature plane.. 19E4 : Ossature plane.. 20E5 : Ossature plane.. 21E6 : Poutre droite.. 23E7 : Poutre courbe.. 24E8 : Ossature plane.. 25E9 : Poutre `a section droite variable soumise `a son poids propre.. 26E10 : Treillis spatial `a n uds articul es.. 27E11 : Portique plan poutre soumise `a une variation de temp erature.

2 29E12 : Treillis plan poutre soumise `a une variation de temp erature.. 30E13 : Ossature plane appui inclin e.. 313 Sections droites : caract eristiques et contraintes32S1 : Caract eristiques d une section droite.. 32S2 : Torsion d une poutre rectangulaire.. 34S3 : Caract eristiques d une section droite.. 35S4 : Caract eristiques d une section droite.. 37S5 : Caract eristiques d une section droite.. 39S6 : Caract eristiques d une section droite.. 40S7 : Caract eristiques d une section droite.. 41S8 : Caract eristiques d une section droite.. 42S9 : Caract eristiques d une section droite.. 43S10 : Contrainte normale dans une section droite : flexion d evi ee.. 45S11 : Contraintes dans une section droite : flexion-torsion.. 46S12 : Cisaillement du `a l effort tranchant.. 48S13 : Contrainte normale dans une poutre `a section droite variable.

3 49S14 : Contrainte normale dans une section droite : flexion d evi ee.. 50S15 : Section droite `a parois minces.. 51S16 : Contraintes tangentielles dans un caisson multicellulaire.. 533S17 : Cisaillement dans un profil mince ferm e et simplement cloisonn e.. 55S18 : Flexion - torsion.. 57S19 : Contraintes normales dans une poutre `a section droite variable.. 594 Flambement eul erien60F1 : Ossature plane.. 60F2 : Poutre droite.. 62F3 : Poutre droite `a section variable.. 63F4 : Poutre console flexion-torsion.. 64F5 : Lame equerre flexion-torsion.. 66F6 : Lame equerre flexion-torsion.. 68F7 : Flambement d un m at vertical sous son poids propre.. 71F8 : Flambement d une poutre droite.. 72F9 : Flambement d un cadre.. 735 Modes propres75D1 : Treillis plan `a n uds articul es.. 75D2 : Poutre droite `a section variable.

4 76D3 : Vibrations transversales d une poutre droite bi-encastr ee.. 77D4 : Portique plan.. 78D5 : Ossature spatiale.. 79D6 : Ossature plancher.. 80D7 : Vibrations transversales d une poutre droite libre.. 81D8 : Premier mode propre d une poutre console avec masses.. 82R ef erences83 Chapitre 1 ExemplesExemple 1 : Portique planR ef erence:A. Giet, L. G eminard,R esistance des mat eriaux, tome 2, 1968, pages ees:La structure plane repr esent ee sur la figure est constitu ee de deux poutres de m eme section aire des sections droites etIZleur moment quadratique par rapport `a l axeZ. L ossatureest encastr ee en 1 et articul ee en 4. Les poutres sont en acier de module de n ud 2 porte une force de composantes(P,0,0).L energie de d eformation due `a l effort tranchant est n eglig ee (mod`ele deBernoulli).On donne :L= 2mA= 16cm2,IZ= 135cm4E= 200000 MPaP= 10000N2 RDM OssaturesMod elisation et calcul:Les etapes de la mod elisation sont :FichierNouvelle etudeD efinir le type de l ossatureOssature planeEntrer les coordonn ees des 4 n uds : (0,0) (0,1) (0,2) (2,2)PoutresCr eer des poutres d efinies par leurs n uds extr emit es :1 2,2 3,3 4 Sections droitesSection droite quelconqueA= 16cm2,IZ= 135cm4 LiaisonsL ossature est encastr ee en 1 et articul ee en 4 Cas de chargesLe n ud 2 porte une charge de composantes (10000, 0, 0) eriauxD efinirModule de Young = 200000 MPaCalculerParam`etresMod`ele de BernoulliCalculerAnalyse statiqueEnregistrer les donn ees et lancer le calculR esultatsExploiter les r esultats du calculR esultats: D eplacements nodaux.

5 U2= , v2= , 2z= u3= , v3= , 3z= 4z= Actions de liaison:R1x= , R1y= , M1z= , R4y= : dans la r ef erence, l energie de d eformation due `a l effort normal est n eglig d exercices3 Exemple 2 : Treillis plan `a n uds articul esR ef erence:A. Giet, L. G eminard,Probl`emes de r esistance des mat eriaux, tome 1, 1973, page `eme:La structure repr esent ee sur la figure est compos ee de trois barres articul ees entre elles. L ensembleest reli e `a l ext erieur par trois rotules en 2, 3 et trois barres ont la m eme section droite : carr e plein de c ot e 10 poutres1 2et1 4sont en acier :module de Young = 200000 MPacoefficient de dilatation = 11 10 6K 1La poutre1 3est en laiton :module de Young = 100000 MPacoefficient de dilatation = 18 10 6K 1Le n ud 1 porte une charge~Pde composantes(0, 10000,0) ossature subit une augmentation de temp erature de 50 elisation:Les etapes de la mod elisation sont :Nouvelle etudeD efinir le type de l ossature :PlaneD efinir l unit e de longueur : mEntrer les coordonn ees des n uds.

6 (0, ),( ,0),(0,0),( ,0)4 RDM OssaturesPoutresCr eer des poutres d efinies par leur n ud origine et leur n ud extr emit eRelaxationsLes trois poutres sont du typerotule-rotule(liaisons int erieures)Sections droitesSection droite param etr eeCarr e plein de c ot e 10 mmMat eriauxModifier la couleur couranteAttribuer la couleur courante `a la poutre1 3(bouton El ement)Entrer les caract eristiques de la poutre en laiton (boutonD efinir)module de Young = 100000 MPa , coefficient de dilatation = 18E 6K 1 Entrer les caract eristiques des poutres en acier ( boutonD efinir)module de Young = 200000 MPa , coefficient de dilatation = 11E 6K 1 LiaisonsL ossature est articul ee en 2 , 3 et 4 Cas de chargesLe n ud 1 porte une force de composantes(0, 10000,0)NVariation de temp erature = 50 KCalculerAnalyse statiqueEnregistrer les donn ees et lancer le calculR esultats: D eplacement du n ud 1:u1= 0, v1= Allongement des poutres: 1 2= 1 4= , 1 3= Efforts normaux:N1 2=N1 4= 4370N, N1 3= 3008 NRemarque: pour extraire ces r esultats, utiliser le bouton droit de la d exercices5 Exemple 3 : Anneau planR ef erence:solution ees:L anneau de plan moyen{O, xy}et de section droite constante (carr e plein de cot ec) repr esent e surla figure est r ealis e en acier de module de YoungEet de coefficient de Poisson.

7 Le tron con6 2porte une force uniform ement r epartie d intensit e lin eique(0, p,0).Le tron con5 4porte une force uniform ement r epartie d intensit e lin eique(0, p,0).L energie de d eformation due `a l effort tranchant est prise en compte (mod`ele deTimoshenko).On donne :E= 200000 MPa , = 10mm ,L=R= 50mmp= 10N/mmMod elisation:Le probl`eme pr esente une sym etrie par rapport aux plansx= 0ety= 0. Il suffit de mod eliser lequart de l etapes de la mod elisation sont :FichierBiblioth`equeLa g eom etrie existe dans la biblioth`eque d Ossatures param etr eesOssature planeNum ero 31 :R= 50mm ,L= 50mm , l arc est discr etis e en 20 el ements6 RDM OssaturesMat eriauD efinirE= 200000 MPa , = droitesSection droite param etr eeCarr e plein de c ot ec= 10mmLiaisons/Sym etriesLa structure est sym etrique par rapport au planx= 0: d esigner le n ud 1La structure est sym etrique par rapport au plany= 0: d esigner le n ud 3 Cas de chargesLa poutre1 2une force uniform ement r epartie d intensit e(0, 10,0)N/mmCalculerParam`etresMod`ele de TimoshenkoCalculerAnalyse statiqueEnregistrer les donn ees et lancer le calculR esultats:R ef erence: D eplacements.

8 V1=(6 2+ 17 6)pR424 (2 + )EIz+ pR24EA+(2 + )pR24 GAky= = ( 14)pR46 (2 + )EIz+pR22EA pR22 GAky= + = Actions de liaisons:F1x= 0, M1z=(14 + 3 )pR26 (2 + )= pR= 500N, M3z=(2 + 3 )pR23 (2 + )= Moment fl echissant dans la section 2:Mfz2= 4pR23 (2 + )= Contraintes normales: a b}= (14 + 3 )pR2(2 + )c3= c d}=pRc2 2 (2 + 3 )pR2(2 + )c3={ d exercices7 Solution el ements finis: D eplacements:v1= , u3= Actions de liaison:F1x= 0N, M1z= , F3y= 500N, M3z= Moment fl echissant dans la section 2:Mfz2= Contraintes normales: a= , b= , c= , d= :Avec le module RDM El ements finis (hypoth`ese contraintes planes, 600 triangles `a 6 n uds), onobtient :v1= a= , b= , c= , d= th eorie des poutres courbes [3] donne : c= , d= OssaturesExemple 4 : PlancherR ef erence:W. Weawer, J. Gere,Matrix analysis of framed structures, Van Nostrand Reihnold,1990, pages `eme:L ossature plancher repr esent ee sur la figure est constitu ee de cinq poutres de m eme section sections 1 , 3 , 5 et 6 sont encastr n ud 2 porte une force de composantes(0,0,50)kN et un couple de comosantes(0,100,0) poutre1 2porte en son milieu une force ponctuelle de composantes(0,0, 150) poutre (5 4) porte sur toute sa longueur une charge uniform ement r epartie d intensit e lin eique(0,0, 75) energie de d eformation due `a l effort tranchant est n eglig ee (mod`ele deBernoulli).

9 On donne :L= 2mmodule de Young = 200000 MPa , coefficient de Poisson = = 102cm2, constante de torsion de Saint VenantJ= 2105cm4,IZ= 105cm4P= 5000daNMod elisation et calcul:Les etapes de la mod elisation sont :Nouvelle etudeManuel d exercices9D efinir le type de l ossature : PlancherEntrer les coordonn ees des n udsPoutresCr eer des poutres d efinies par leur n ud origine et leur n ud extr emit eSections droitesSection quelconqueAire = 100 cm2 Constante de torsion de Saint Venant :J= 2E5 cm4 Moment quadratique :IZ= 1E5 cm4 LiaisonsL ossature est encastr ee en 1 , 3 , 5 et 6 Cas de chargesLe n ud 2 porte une forceFz= 50kNLe n ud 2 porte un coupleMy= poutre1 2porte une force ponctuelleFz= 150kN situ ee `a 3 m du n ud origineLa poutre5 4porte une force uniform ement r epartiefz= 75kN/mMat eriauD efinirModule de Young = 200000 MPa , coefficient de Poisson = statiqueEnregistrer les donn ees et lancer le calculR esultats: D eplacements nodaux:w2= , 2x= 10 3rad, 2y= 10 3radw4= , 4x= 10 3rad, 4y= 10 3rad Actions de liaison:F1z= , M1x= , M1y= , M3x= , M3y= , M5x= , M5y= , M6x= , M6y= OssaturesExemple 5 : Ossature spatialeR ef Barrau, S.

10 Laroze,Calcul de structures par el ements finis, ENSAE, `eme:L ossature spatiale repr esent ee sur la figure est constitu ee de poutres dont les sections droites sontdes rectangles coordonn ees nodales sont :n udx(m)y(m)z(m)1000200430844011453846380 Les caract eristiques elastiques du mat eriau sont :E= 100000 MPa et = energie de d eformation due `a l effort tranchant est prise en compte (mod`ele deTimoshenko).Les sections 1 et 6 sont encastr n ud 4 porte une force~Fde composantes(0,0, 1000)daN .Mod elisation et calcul:Les etapes de la mod elisation sont :Nouvelle etudeD efinir le type de l ossature :SpatialeD efinir l unit e de longueur : mEntrer les coordonn ees des n udsManuel d exercices11 PoutresLes poutres sont d efinies par leur n ud origine et leur n ud extr emit eMat eriauxModule de Young = 100000 MPa , coefficient de Poisson = droitesChanger les poutres3 5et5 6de groupeParam etr eeD esigner la poutre2 3 Rectangle plein :600 300mmParam etr eeD esigner la poutre3 5 Rectangle plein :500 300mmParam etr eeD esigner la poutre5 6 Rectangle plein.