Yves Debard - IUT Le Mans

1 Elasticit eYves DebardInstitut Universitaire de Technologie du MansD epartement G enie M ecanique et mars 2006 { 31 mai 2011 Table des mati`eres1 Contraintes autour d un Coupure, facette et vecteur contrainte.. Contrainte normale et contrainte tangentielle.. Formule de Cauchy : tenseur des contraintes.. Equations d equilibre.. Equilibre en translation.. Equilibre en rotation : r eciprocit e des contraintes tangentielles.. Directions et contraintes principales.. Cercles de Mohr des contraintes.. Cercle de Mohr des contraintes.. Cercles de Mohr des contraintes.. Etats de contrainte particuliers.. Etat de contrainte uniaxial : traction ou compression simple.. Etat de cisaillement simple.. Etat de contrainte isotrope.. Etat de contrainte plan.}

2 122 D Configuration, vecteur d eplacement.. Transformation des vecteurs : tenseur gradient de la transformation.. Tenseur des dilatations.. Tenseur des d eformations de Green-Lagrange.. Transformation des longueurs et des angles.. Dilatation.. D eformation de Green-Lagrange.. Allongement unitaire (d eformation de l ing enieur).. Transformation des angles : glissement de deux directions orthogonales.. Transformation des volumes et des surfaces.. Rep`ere principal, dilatations et d eformations principales.. D ecomposition polaire.. Petits d eplacements et petites d eformations : elasticit e lin eaire.. Tenseur des d eformations lin earis e.. Transformation des longueurs et des angles.. Directions et valeurs principales.

3 D ecomposition polaire.. Cercle de Mohr des d eformations.. 273 Loi de comportement ou loi constitutive284 Crit`eres de limite Probl`eme.. Crit`ere de Rankine ou de la contrainte normale maximale.. Enonc e.. Validit e.. Etat plan de contraintes ( 3= 0).. Crit`ere de Tresca ou du cisaillement maximal.. Enonc e.. Validit e.. Etat plan de contraintes ( 3= 0).. Crit`ere de Von Mises.. 32II Elasticit Enonc e.. Validit e.. Etat plan de contraintes ( 3= 0).. 325 Probl`emes particuliers d elasticit Contraintes planes.. D eformations planes.. Probl`eme axisym etrique.. Flexion des plaques.. D efinitions.. Champ de d eplacements : mod`ele de Reissner/Mindlin.. D eformations et contraintes.. Forces et moments r esultants.

4 Energie de d eformation et energie cin etique.. Equations d equilibre.. Mod`ele de Kirchhoff.. Torsion d une poutre cylindrique : th eorie de Saint-Venant.. Contraintes dans une poutre.. 426 D epouillement des rosettes d extensom Principe.. Rosette `a 45 degr es.. Rosette `a 120 degr es.. Remarque : utilisation du cercle de Mohr des d eformations.. 46A Produit scalaire, produit vectoriel et produit Produit scalaire.. Produit vectoriel.. Produit mixte.. 49B Valeurs propres et vecteurs propres d une matrice sym etrique `a coefficients r D efinitions.. Propri et es.. D ecomposition spectrale.. Valeurs et vecteurs propres d une matrice sym etrique de dimension deux.. 52C D epouillement des rosettes d extensom etrie : programme Scilab ef erences56 Elasticit e1Pr esentationLath eorie de l elasticit e etudie lesd eplacements, lesd eformationset lescontraintesdans unsolide soumis `a des forces ext adopterons les hypoth`eses suivantes : Lemat eriauesthomog`ene(il a les m emes propri et es en tout point) etisotrope(en un pointdonn e, il a les m emes propri et es dans toutes les directions).

5 Le comportement du mat eriau estlin eaire(les relations entre les contraintes et les d eformationssont lin eaires) et elastique(le solide reprend sa forme initiale d`es que les forces appliqu ees sontsupprim ees).Le rep`ere{O;x, y, z}est un rep`ere orthonorm e direct ; , et ksont les vecteurs unitaires des axes(figure1).Figure 1 Rep`ere orthonorm e{O;x, y, z}et vecteurs unitaires{ , , k}1 Contraintes autour d un Coupure, facette et vecteur contrainteEn chaque pointMd un solide, il existe des forces int erieures que l on met en evidence en effectuantunecoupuredu solide, par une surfaceS, en deux partiesAetB(figure2).Figure 2 Coupure et facette nenMLa partieA, par exemple, est en equilibre sous l action des forces ext erieures qui lui sont directementappliqu ees et des forces int erieures r eparties sur la Elasticit eConsid erons un pointMdeS.

6 SoitdSun el ement infinit esimal de la surfaceSentourantMet nlevecteur unitaire, perpendiculaire enM`aSet dirig e vers l ext erieur de la partieA. Nous appelleronscet ensemblefacette Fla force qui s exerce sur cette facette. On appellevecteur contrainte sur la facette nenM, la quantit e : T(M, n) =d FdS( )Remarque : une contrainte s exprime en pascal (1 Pa = 1 N/m2) ; dans la pratique, on utilisesouvent le m egapascal (1 MPa = 106Pa = 1 N/mm2)Consid erons, en un pointM, le cylindre infiniment petit d axe n, de hauteurhet de sectiondS(figure3).Figure 3 Efforts sur les facettes net nQuandhtend vers 0, le cylindre est en equilibre sous l action des forcesdS T(M, n) etdS T(M, n)d o`u : T(M, n) = T(M, n) Contrainte normale et contrainte tangentielleLe vecteur contrainte peut etre d ecompos e en sa composante suivant net sa projection sur la fa-cette (figure4) : T(M, n) = n n+ n( )avec n= n T(M, n)( ) nest lacontrainte normaleet nest levecteur cisaillementoucontrainte tangentielle.

7 Nestune valeur alg ebrique positive (traction) ou n egative (compression).Figure 4 Vecteur contrainte sur la facette nenMRemarque: on a la relation (th eor`eme de Pythagore) : T 2= 2n+ n 2( ) Elasticit Formule de Cauchy : tenseur des contraintesConsid erons le t etra`edre infiniment petitMABC construit sur les axesx,yetz(figure5). Soient ndecomposantes (nx, ny, nz) la normale unitaire au planABCdirig ee vers l ext erieur du t etra`edre etdSl aire du 5 Equilibre du t etra`edre (Cauchy)On a ( ) : AB AC= 2dS n= 2dS nx + 2dS ny + 2dS nz k=( M B M A) ( M C M A)= M B M C M A M C M B M A+ M A M A= M B M C+ M C M A+ M A M B+ 0= 2 aire (MBC) + 2 aire (MAC) + 2 aire (MAB) k( )On en d eduit par identification :aire (MBC) =nxdS ,aire (MAC) =nydS ,aire (MAB) =nzdS( )Le t etra`edre est en equilibre sous l action des forces appliqu ees sur ses faces (les forces de volume sontdes infiniment petits d ordre sup erieur) :dS T(M, n) +nxdS T(M, ) +nydS T(M, ) +nzdS T(M, k) = 0( )Il vient apr`es simplification.

8 T(M, n) =nx T(M, ) +ny T(M, ) +nz T(M, k)( )Cette equation s ecrit sous forme matricielle :{T(M, n)}=[{T(M, )} {T(M, )} {T(M, k)}]{n}( )soit :{T(M, n)}= [ (M)]{n}(formule de Cauchy)( )o`u [ (M)] est letenseur des contraintes1de Cauchy2enM. Les composantes du tenseur descontraintes (figure6) dans le rep`ere{ , , k}sont : T(M, ) T(M, ) T(M, k)composantes sur k xx xy xz yx yy yz zx zy zz ( ) fait, [ (M)] est larepr esentation matricielledans le rep`eref , , kgdu tenseur des contraintes Cauchy (1789-1857).4 Elasticit eFigure 6 Vecteur contrainte sur les facettes , et kenMLa contrainte normale sur la facette nenMest egale `a : n= n T(M, n) ={n}T[ (M)]{n}( )Remarque: sur la facette (figure7), le vecteur contrainte est : T(M, ) = xx + yx + zx k( )d o`u la contrainte normale et le vecteur cisaillement : i= T(M, ) = xx, i= yx + zx k( )Figure 7 Vecteur contrainte sur la facette enMChangement de rep`ere: consid erons le rep`ere orthonorm e{ , , k }avec :[ k ]=[ k] k k k k k k |{z}[R]( )et[ k]=[ k ][R] 1avec [R] 1= [R]T,det[R] = 1( )Soit Vun vecteur de composantes :{V}= VxVyVz dans le rep`ere{ , , k}( )et :{V }= V xV yV z dans le rep`ere{ , , k }( ) Elasticit e5On a les relations.

9 V=V x +V y +V z k =[ k ]{V }=[ k][R]{V }=[ k]{V}( )On en d eduit :{V}= [R]{V },{V }= [R] 1{V}= [R]T{V}( )De la formule de Cauchy ( ) et des relations :{T}= [R]{T },{n}= [R]{n }( )on d eduit :[R]{T }= [ ] [R]{n }( )d o`u :{T }= [R]T[ ] [R]{n }( )et la formule de transformation pour la matrice des contraintes :[ ] = [R]T[ ] [R]( ) Equations d equilibreSoit fla force par unit e de volume appliqu ee au point de coordonn ees (x, y, z) du l acc el eration du point de coordon ees (x, y, z) et la masse volumique du mat Equilibre en translation Ecrivons que la projection surxde la somme des forces appliqu ees au parall el epip`ede rectangleinfiniment petit, de centreMet de c ot esdx,dyetdz, est nulle (les contraintes qui interviennent sontrepr esent ees sur la figure (8)) : xx(x, y, z)dy dz+ xx(x+dx, y, z)dy dz xy(x, y, z)dx dz+ xy(x, y+dy, z)dx dz xz(x, y, z)dx dy+ xz(x, y, z+dz)dx dy+fxdx dy dz= xx xdV+ xy ydV+ xz zdV+fxdV= dV x( )o`udV=dx dy dz.

10 Il vient apr`es simplification : xx x+ xy y+ xz z+fx= x( )Figure 8 Equilibre du parall el epip`ede suivantx6 Elasticit eDe m eme : yx x+ yy y+ yz z+fy= y( )et zx x+ zy y+ zz z+fz= z( ) Equilibre en rotation : r eciprocit e des contraintes tangentiellesFigure 9 Equilibre du parall el epip`ede en rotation suivantz Ecrivons que la projection surM zde la somme des moments des forces appliqu ees au parall el epip`edeest nulle (les contraintes qui interviennent sont repr esent ees sur la figure (9). Il vient, en n egligeantles infiniments petits d ordre sup erieurs `a 3 :dx(dy dz yx) dy(dx dz xy) = 0( )soit (r eciprocit e des contraintes tangentielles) : xy= yx( )Figure 10 R eciprocit e des contraintes tangentiellesDe m eme : xz= zx, yz= zy( )Le tenseur des contraintes est donc sym etrique :[ ] = [ ]T( )Remarques: Si net n sont deux facettes enM, on d eduit de l equation ( ) : n T(M, n ) ={n}T[ (M)]{n }={n }T[ (M)]{n}= n T(M, n) n , n ( ) La contrainte normale sur la facette nest : n={n}T[ ]{n}=n2x xx+n2y yy+n2z zz+ 2nxny xy+ 2nxnz xz+ 2nynz yz( ) Elasticit Directions et contraintes principalesExiste t-il enMune facette ntelle que le vecteur contrainte soit colin eaire avec n(figure11) ?)