R´esistance des mat´eriaux : ´elasticit´e, m´ethodes ...

1 R esistance des mat eriaux : elasticit e,m ethodes energ etiques,m ethode des el ements finisRappels de courset exercices avec solutionsYves DebardInstitut Universitaire de Technologie du MansD epartement G enie M ecanique et juin 2011 Table des mati`eres1 Elasticit Rappels.. D eplacements et d eformations.. Contraintes.. Loi de comportement ou loi constitutive.. Cas particulier : etat de contraintes planes.. Formules math ematiques.. Exercices.. 62 M ethode des el ements finis : approche r esistance des mat Rappels : r esolution d un probl`eme stationnaire.. Partition des degr es de libert e.. Calcul des d eplacements inconnus.. Calcul des r eactions d appui.. Poutre soumise `a un effort normal.. Rappels.

2 Exercices.. Treillis plans `a n uds articul es.. Rappels.. Exercices.. Poutre soumise `a un moment de torsion.. Rappels.. Exercices.. Flexion des poutres `a plan moyen : mod`ele de Bernoulli.. Rappels : flexion dans le plan{xy}.. Exercices.. 603 M ethodes energ etiques : Rappels.. Expression de l energie de d eformation en fonction des forces appliqu ees : for-mule de Clapeyron.. Th eor`eme de r eciprocit e de Maxwell-Betti.. Th eor`eme de Castigliano.. Th eor`eme de M enabr ea.. Energie de d eformation d une poutre.. Formules math ematiques utiles.. Exercices.. 85 IIExercices de r esistance des mat eriaux4 M ethode des el ements Rappels.. Energie de d eformation.. Energie cin etique.

3 Energie potentielle et el ements finis.. Modes propres.. Exercices.. Assemblage.. El ement de poutre droite soumis `a un effort normal.. Exercice : mise en equation.. Exercice : mise en equation.. Exercice : contraintes et energie de d eformation.. Exercice : contraintes et energie de d eformation.. El ement de poutre droite soumis `a un effort normal.. Exercice : modes propres.. El ement fini de torsion.. El ement fini de flexion : mod`ele de Bernoulli.. Exercice : elasticit e plane.. 148 Chapitre 1 Elasticit RappelsLes d eplacements et les d eformations sont D eplacements et d eformations Vecteur d eplacement : u= M0M ,{u}= u(x, y, z)v(x, y, z)w(x, y, z) ( ) Tenseur des d eformations :[ ] = xx12 xy12 xz12 xy yy12 yz12 xz12 yz zz ,[ ]T= [ ]( ) xx= u x, yy= v y, zz= w z( ) xy= u y+ v x, xz= u z+ w x, yz= w y+ v z( ) Allongement unitaire enMdans la direction{n}= nxnynz : (M, n) ={n}T[ (M)]{n}=n2x xx+n2y yy+n2z zz+nxny xy+nxnz xz+nynz yz( ) Glissement enMdans les directions orthogonales naet nb: (M, na, nb) = 2{nb}T[ (M)]{na},{nb}T{na}= 0( ) Variation relative de volume : V(M) = tr [ ] = xx+ yy+ zz( )2 Exercices de r esistance des mat Contraintes Vecteur contrainte sur la facette nenM.

4 T(M, n) = n n+ n( ) n= n T(M, n), T(M, n) 2= 2n+ n 2( )Soit{n}= nxnynz un vecteur unitaire enM. Le vecteur contrainte sur la facette nenMestdonn e par la formule de Cauchy : TxTyTz = xx yx zx xy yy zy xz yz zz nxnynz ,{T}= [ (M)]{n}( )o`u [ (M)] est le tenseur des contraintes tenseur des contraintes est sym etrique :[ ] = [ ]Tsoit xy= yx, xz= zx, yz= zy( )La contrainte normale sur la facette nest : n={n}T[ ]{n}=n2x xx+n2y yy+n2z zz+ 2nxny xy+ 2nxnz xz+ 2nynz yz( ) Soient 1, 2et 3les trois contraintes principales en un pointMd un solide. Les crit`eres deRankine, Von Mises et de Tresca s ecrivent : R= max(| 1|,| 2|,| 3|) E( ) VM= 12(( 1 2)2+ ( 1 3)2+ ( 3 2)2) E( ) T= 2 max= max ( 1, 2, 3) min ( 1, 2, 3) E( ) Loi de comportement ou loi constitutiveSi le mat eriau est isotrope, la loi de comportement s ecrit : xx=1E( xx ( yy+ zz)) yy=1E( yy ( xx+ zz)) zz=1E( zz ( xx+ yy))( ) xy= xyG, xz= xzG, yz= yzG, G=E2 (1 + )( )o`uEet sont respectivement le module de Young et le coefficient de Poisson du mat eriau.

5 Elasticit Cas particulier : etat de contraintes planesLe tenseur des contraintes se r eduit `a :[ ] = xx xy0 xy yy00 0 0 ( )d o`u l expression du tenseur des d eformations :[ ] = xx12 xy012 xy yy000 zz ( )et de la loi de comportement : xx=E1 2( xx+ yy), yy=E1 2( yy+ xx) zz= E( xx+ yy), xy=G xy, G=E2 (1 + )( )Les contraintes et les d eformations principales sont : 1 2}= xx+ yy2 12 ( xx yy)2+ 4 2xy, 3= 0( ) 1 2}= xx+ yy2 12 ( xx yy)2+ 2xy, 3= zz( )Les directions principales sont :{n1}= cos 1sin 10 ,{n2}= sin 1cos 10 ,{n3}= 001 avec tan 1= 1 xx xy( )Les crit`eres de Rankine, Von Mises et de Tresca se r eduisent `a : R= max(| 1|,| 2|) E( ) VM= 21+ 22 1 2 E( ) T= 2 max= max(| 1 2|,| 1|,| 2|) E( )L allongement unitaire enMdans la direction{n}= nxny0 se r eduit `a : (M, n) ={n}T[ (M)]{n}=n2x xx+n2y yy+nxny xy( )4 Exercices de r esistance des mat Formules math ematiques Valeurs et vecteurs propres d une matrice sym etrique de dimension deux `a coefficients r eels :Consid erons la matrice sym etrique [S] :[S] =[SxxSxySxySyy],( [S]T= [S] )( )Les valeurs propresSn=1,2et les vecteurs propres{n}sont les solutions de l equation :[S]{n}=Sn{n},[SxxSxySxySyy]{nxny}=Sn{nx ny}avecn2x+n2y= 1( )soit :[Sxx SnSxySxySyy Sn]{nxny}={00}( )Cette equation n a de solution autre que la solution trivialenx=ny= 0 que si et seulement si :det[Sxx SnSxySxySyy Sn]= 0( )d o`u l equation caract eristique.

6 S2n (Sxx+Syy)|{z}tr [S]=S1+S2Sn+SxxSyy S2xy|{z}det[S]=S1S2= 0( )et les valeurs propres :S1S2}=Sxx+Syy2 12 (Sxx Syy)2+ 4S2xy( )Les vecteurs propres associ es sont :{n1}={cos 1sin 1},{n2}={cos 2sin 2}={ sin 1cos 1}( )avec :tan 1=S1 SxxSxy,tan 2=S2 SxxSxy( )Remarque: les deux directions principales sont orthogonales :| 1 2|= 2,tan 2 1= tan 2 2=2 SxySxx Syy,tan 1tan 2= 1( ) D eterminant d une matrice carr ee sym etrique de dimension 3 :det S11S12S13S21S22S23S31S32S33 =S11det[S22S23S32S33] S21det[S12S13S32S33]+S31det[S12S13S22S23 ]=S11S22S33 S11S223 S33S212 S22S213+ 2S12S13S23( ) Elasticit e5 Formules trigonom etriques :tan =sin cos ,cos( ) = cos ,sin( ) = sin ( )cos( 1+ 2) = cos( 1) cos( 2) sin( 1) sin( 2)( )sin( 1+ 2) = sin 1cos 2+ cos 1sin 2( )cos2 =1 + cos 2 2,sin2 =1 cos 2 2,sin cos =sin 2 2( )cos( 2 )= sin ( )cos 45 = sin 45 =1 2= 22,cos 60 =12,sin 60 = 32( )cos 120 = 12,sin 120 = 32( ) Sixetysont petits devant l unit e :|x| 1,|y| 1( )on a les relations : 1 +x 1 +x2,11 +x 1 x ,(1 +x)(1 +y) 1 +x+y( )sinx x ,cosx 1 x22,tanx x( )6 Exercices de r esistance des mat ExercicesELA1 : vecteur contrainte sur une facetteEn un pointMd un solide, dans le rep`ere orthonorm e{ , , k}, le tenseur des contraintes a pourvaleur :[ (M)] = 100 40 20 40 60 5020 50 40 un dessin qui montre la signification physique des composantes du tenseur des le vecteur unitaire nde composantes.

7 {n}=13 122 Sur la facette n:(a)Calculer les composantes du vecteur contrainte T(M, n).(b)Calculer la contrainte normale n.(c)Calculer les composantes du vecteur cisaillement n, puis le module ndu esentation graphique des composantes du tenseur des contraintesLes composantes en MPa du tenseur des contraintes dans le rep`ere{ , , k}: T(M, ) T(M, ) T(M, k)composantes sur k 100 4020 40 6050205040 sont repr esent ees sur la figure nLes composantes du vecteur contrainte sont (formule de Cauchy :{T(M, n)}= [ (M)]{n}) : TxTyTz = 100 40 20 40 60 5020 50 40 13 122 =13 60 60200 = 20 MPa Elasticit e7On en d eduit la contrainte normale ( n= n T(M, n)) : n=19(60 120 + 400) =3409= MPales composantes du vecteur cisaillement ( n= T(M, n) n n) : nx ny nz =13 60 60200 340913 122 = MPaet le module du cisaillement.

8 N= n = + ( )2+ MPaProgramme Scilab vecteur contrainte sur une f a c e t t e// tenseur des contraintes dans l e rep ere{xyz}sigma =[100 , 40 ,20; 40 , 60 ,50;20 ,50 ,40]// f a c e t t e{n}n =[1/3;2/3;2/3]T=sigma n// vecteur contrainte : formule de Cauchysigman=n T// contrainte normaletaun=T sigman n// vecteur c i s a i l l e m e n tnorm( taun )// module du c i s a i l l e m e n tELA2 : etat de contrainte en un pointEn un pointMd un solide, dans le rep`ere orthonorm e{ , , k}, le tenseur des contraintes a pourvaleur :[ (M)] = 100 40 0 40 80 000 0 un dessin qui montre la signification physique des composantes du tenseur des le vecteur unitaire nde composantes :{n}=1 5 120 Sur la facette n:(a)Calculer les composantes du vecteur contrainte T(M, n).

9 (b)Calculer la contrainte normale n.(c)Calculer les composantes du vecteur cisaillement n, puis le module ndu cisaillement.(d)Faire un dessin qui montre la facette, le vecteur contrainte, la contrainte normale et levecteur de r esistance des mat les contraintes et les directions un dessin qui montre la signification physique des contraintes et des directions les contraintes equivalentes de Von Mises et composantes en MPa du tenseur des contraintes dans le rep`ere{ , , k}: T(M, ) T(M, ) T(M, k)composantes sur k 100 400 40800000 sont repr esent ees sur la figure nLes composantes du vecteur contrainte sont (formule de Cauchy :{T(M, n)}= [ (M)]{n}) : TxTyTz = 100 40 0 40 80 000 0 1 5 120 =1 5 201200 = MPaOn en d eduit la contrainte normale ( n= n T(M, n)) : n=1 5{1 2 0}1 5 201200 = MPale vecteur cisaillement ( n= T(M, n) n n).

10 Nx ny nz =1 5 201200 521 5 120 =1 5 32160 = MPaet le module du cisaillement : n=|| n||= 15(322+ 162) = MPaLe vecteur contrainte T(M, n), la contrainte normale net le cisaillement nsont repr sent ees sur lafigure ci-dessous. Elasticit e9 Contraintes et directions principalesL axe kest direction principale : n3= k , 3= 0 Les contraintes principales 1et 2sont les solutions de l equation (det([ ] n[ I ]) = 0) :det[100 n 40 40 80 n]= (100 n) (80 n) ( 40)2= 2n 180 n+ 6400 = 0d o`u : 1 2}=1802 12 1802 4 6400 1= MPa, 2= MPaLa position angulaire des directions principales n1et n2est d efinie par :tan 1= 100 40,tan 2= 100 40d o`u : 1= , 2= Les contraintes et directions principales sont repr esent ees sur la figure le rep`ere principal, le tenseur des contraintes s ecrit :[ (M)]{ n1, n2, n3}= 0 000 0 MPaLes contraintes de Tresca et de Von Mises sont.