Exercices et Controˆles Corrig´es de M´ecanique du Point ...

1 Universite Cadi Ayyad Faculte des Sciences Semlalia De partement de Physique Exercices et Contro les Corrige s de Me canique du Point Mate riel Pr. M. EL KACIMI. Septembre 2015. Contact: De partement de Physique - FSSM 2015/2016. CHAPITRE 1. Rappels et compl ments math matiques Exercices Op rations sur les vecteurs . ~ 2 2, 3), B(2, On donne trois vecteurs A(3, ~ ~ 2, 2). 3, 2) et C(1, 1. Calculer les normes kAk,~ kBk~ et kCk. ~ En de duire les vecteurs unitaires ~uA , ~uB. ~ B. et ~uC des directions, respectivement, de A, ~ et C. ~. 2. Calculer cos(~uAd, ~uB ), cos(~uBd , ~uC ) et cos(~uCd , ~uA ), sachant que les angles sont com- pris entre 0 et . 3. Calculer les composantes des vecteurs ~e1 = ~uB ~uC , ~e2 = ~uC ~uA et ~e3 = ~uA ~uB.

2 4. En de duire sin(~uAd , ~uB ), sin(~uBd , ~uC ) et sin(~uAd , ~uC ). Ve rifier ces re sultats en utili- sant la question 2. 5. Montrer que ~e1 , ~e2 , ~e3 peuvent constituer une base. Cette base est-elle orthogo- nale, norme e ? Diff rentielle et d riv e d'un vecteur unitaire Soit R(O,~i, ~j, ~k) un repe re carte sien et conside rons la base sphe rique (~er , ~e , ~e ). 1. Exprimer les vecteurs de la base sphe rique dans la base carte sienne. 2. Calculer ~er ~er ~e ~e ~e ~e . , , , , et .. 3. Rappels et comple ments mathe matiques 3. En de duire d~er , d~e et d~e dans la base sphe rique. 4. Montrer que les diffe rentielles des vecteurs de la base sphe rique peuvent se mettre sous la forme ~ ~er d~e = dt . d~er = dt ~ ~e d~e = dt . ~ ~e.

3 En pre cisant l'expression du vecteur rotation ~ des vecteurs de la base sphe rique par rapport a R. De duire les de rive es par rapport au temps des vecteurs de la base sphe rique par rapport a R. 5. On conside re la base cylindrique (~e , ~e , ~k) . Quel est son vecteur rotation par rapport a R ? En utilisant les re sultats pre ce dents, calculer la de rive e par rapport au temps des vecteurs de la base cylindrique par rapport a R. 6. Conside rons un vecteur V ~ = Vr ~er + V ~e + V ~e . En utilisant les re sultats pre ce - dents, calculer la de rive e par rapport au temps de V ~ par rapport a R. D placement l mentaire On se propose de traiter dans cet exercice le de placement e le mentaire dans les trois syste mes de coordonne es, carte siennes, cylindriques et sphe riques et ce en utilisant les re sultats de l'exercice 2.

4 Conside rons un repe re carte sien R(O,~i, ~j, ~k). Soient (~e , ~e , ~k) et (~er , ~e , ~e ) respective- . ment les bases cylindrique et sphe rique. Soit M un Point repe re par OM par rapport a . R. On conside re un de placement infinite simal de M en M tel que M est tre s proche de . M . On note alors le de placement e le mentaire par OM OM = dM M = dOM.. 1. Dans le repe re carte sien, OM = x~i + y~j + z~k. Calculer le de placement dOM par rapport a R dans la base carte sienne. 2. Rappeler le vecteur rotation de la base cylindrique par rapport a R. Partant de . OM = ~e + z~k, calculer le de placement dOM par rapport a R dans la base cylindrique. 3. Rappeler le vecteur rotation de la base sphe rique par rapport a R. Dans la base . sphe rique OM = r~er , calculer le de placement dOM par rapport a R et ce dans cette base.

5 Tube cathodique On e tudie le mouvement des e lectrons dans le tube cathodique d'un osilloscope. Les e lectrons arrivent en O avec une vitesse ~v0 = v0~i et traversent les plaques de de viation P1 et P2 de longueur l. Les e lectrons sont soumis entre les plaques de de viation a une acce le ration uniforme ~ 0 = 0~j et sont de vie s, figure ci-dessous. L'e cran est a la distance D = 5l de la sortie des plaques. On exprime dans le reste de l'exercice les grandeurs vectorielles dans la base carte sienne. la vitesse de la particule a la sortie des plaques est ~vA et fait un angle avec ~i. L'acce le ration des e lectrons entre les points A et E est nulle. Contact: De partement de Physique - FSSM 2015/2016. Exercices 5. 1. Etablir les e quations horaires du mouvement des e lectrons entre les plaques de de viation, y x(t) et y(t).

6 En de duire l'e quation de la tra- E. jectoire y = f (x). 2. Calculer la vitesse des e lectrons au Point A, P1 . ~vA , en fonction de v0 , l et 0 . En de duire j A. d l'angle = (~i, ~vA ). O i x 3. Quelle est la nature de la trajectoire des e lec- P2. trons entre A et E ? En de duire les e quations horaires x(t) et y(t). De terminer la de viation l D=5l en fonction de v0 , l et 0 . Exercice Un ve hicule, que l'on peut conside rer comme un Point mate riel M , se de place par rapport a un re fe rentiel R(O, xyz) avec un mouvement de translation uniforme de vitesse ~ (M/R) telle que |V. V ~ (M/R)| = v. Le ve hicule roule sur une bosse dont le profil peut e tre repre sente par y = f (x). On s'inte resse au segment de la route [A, B]. 1. Calculer la vitesse V ~ (M/R) en fonction de x et de la de rive e premie re f (x) =.

7 Df (x)/dx par rapport a x. y 2. Calculer l'acce le ration ~ (M/R). En de - duire que la composante de l'acce le ration selon Oy peut se mettre sous la forme y=f(x). v 2 f (x). y (M/R) =. (f 2 + 1)2 M. f (x) e tant la de rive e seconde de f (x) par A. O. B x rapport a x. Op rations sur les vecteurs : une autre approche L'objectif de cet exercice est de reformuler les expressions des ope rations vectorielles en utilisant la fonction de Kronecker ij 1 et le tenseur de Levi-Civita ijk 2 . Les indices i, j, k {1, 2, 3} e tant donne . que l'on travaille dans un espace vectoriel de dimension 3. 1. la fonction de Kronecker est de finie par . 1 si i = j ij =. 0 si non 2. Le tenseur de Levi-Civita est de fini par . 0 si au moins deux indices sont e gaux ijk = 1 si (i, j, k) {(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)}.

8 1 si (i, j, k) {(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}. Contact: De partement de Physique - FSSM 2015/2016. Rappels et comple ments mathe matiques On conside re un repe re R muni de la base orthonorme e (~e1 , ~e2 , ~e3 ). La proprie te d'or- thonormalite de la base se traduit par ~ei ~ej = ij , qui seront utilise s dans la suite de l'exercice, sauf mention contraire. Soient trois vecteurs A(a ~ 1 , a2 , a3 ), B(b ~ 1 , b2 , b3 ) et ~ 1 , c2 , c3 ). C(c 1. Montrer que le produit scalaire A~ B~ =P a i bi . i=1,3. 2. Sachant que la ie me ~ B. composante de A ~ peut s'e crire comme suit (A. ~ B). ~ i =. P3. j,k=1 ijk aj bk , en de duire que X. ~ B. A ~ = ijk aj bk ~ei . i,j,k 3. Montrer que le produit mixte X. ~ (B. A ~ C). ~ = ijk ai bj ck . i,j,k 4.

9 En utilisant le re sultat de la question 2, montrer ~ (B. A ~ C). ~ = (A. ~ C)B. ~ (A. ~ B)C. ~. 5. Montrer que . ~ B. A ~ C ~ D. ~ = A~ C. ~ B ~ D. ~ A ~ D. ~ B~ C. ~ . Exercice : Op rations sur les vecteurs On donne les trois vecteurs V ~1 (1, 1, 0), V. ~2 (0, 1, 0) et V. ~3 (0, 0, 2). 1. Calculer les normes kV ~1 k, kV~2 k et kV~3 k. En de duire les vecteurs unitaires ~v1 , ~v2. et ~v3 des directions respectivement de V ~1 , V. ~2 et de V~3 . 2. Calculer cos(~vd1, ~. v2 ), sachant que l'angle correspondant est compris entre 0 et . 3. Calculer ~v1 ~v2 , ~v2 ~v3 et ~v1 (~v2 ~v3 ). Que repre sente chacune de ces trois grandeurs ? Exercice : Diff rentielle et d riv e d'un vecteur unitaire Conside rons la position d'un Point M dans le repe re R(O, xyz).

10 Soient (~i, ~j, ~k), (~e , ~e , ~k) et (e~r , e~ , e~ ) respectivement les bases carte sienne, cylindrique et sphe rique associe es a ce repe re. Le tenseur posse de les proprie te s suivantes, que l'on ne va pas de montrer X X. ijk ijl = kl et ijk ilm = jl km jm kl . i,j i Contact: De partement de Physique - FSSM 2015/2016. Exercices 7. 1. Calculer ~e ~e ~k , et .. 2. En de duire d~e et d~e dans la base carte sienne. 3. Montrer que les diffe rentielles des vecteurs de la base cylindrique peuvent se mettre sous la forme ~ ~e . d~e = dt et ~ ~e . d~e = dt . ~ des vecteurs de la base cylindrique en pre cisant l'expression du vecteur rotation . par rapport a R. De duire les de rive es par rapport au temps des vecteurs de la base cylindrique dans R.