Introduction `a la relativit´e restreinte et g´en´erale ...

1 Introduction `a la relativit e restreinte et g en eraleCours d ouverture, EPF 3eme ann eeFabien Besnard8 mars 2013 Table des mati` Avant-Propos .. 21 La physique en Les r ef erentiels inertiels et la relativit e galil eenne .. Les transformations de Galil ee .. Deux petits .. 52 La relativit e La solution d Einstein .. Les transformations de Lorentz : Le raisonnement d Einstein .. Loi d addition des vitesses en cin ematique relativiste .. Espace-temps de Minkowski .. Effets et paradoxes en relativit e restreinte .

2 Dilatation des dur ees de vie des particules instables .. Paradoxe des jumeaux de Langevin .. Le probl`eme de la voiture et du garage .. Dynamique relativiste .. Equivalence masse- energie, quadrivecteur impulsion- energie .. Le PFD en relativit e restreinte .. 263 La relativit e g en Motivation .. Le principe d equivalence .. L inspiration la plus heureuse de ma vie .. Grossmann, il faut que tu m aides, sinon je deviens fou.. Vari et es diff erentiables .. La relativit e g en erale en bref.

3 La solution de Schwarzschild .. Cosmologie .. 514 Conclusion55A Solutions des exercices57B Une d eduction axiomatique des transformations de Lorentz64C Le tenseur Avant-ProposL objectif de ce cours introductif est de mettre en relief les id ees principales de la th eorie de la relativit ed Einstein, et de donner un bagage math ematique minimal permettant `a l etudiant int eress e d aller plusloin. L approche utilis ee insistera sur les exp eriencesde pens ee fondamentales ayant conduit Einstein `asa th eorie, et sera agr ement ee d une perspective premier chapitre rappelle quelques notions de m ecanique classique et introduit le probl`eme de l deuxi`eme chapitre est consacr e `a la relativit e restreinte et `a la r esolution de certains paradoxes fa-meux.

4 L espace-temps de Minkowski est egalement introduit. Par manque de temps nous ne pouvonsaborder que quelques cons equences physiques, laissant dec ot e des ph enom`enes relativistes essentiels,comme l effet Doppler transverse. Le lecteur pourra approfondir ses connaissances dans [3] ou [7].Enfin le troisi`eme chapitre est consacr e `a l Introduction aux pr edictions et au formalisme de la relativit eg en derni`ere th eorie, profonde et difficile, n ecessitedes d eveloppements math ematiques orientations s offrent alors `a l enseignant : soit rester au niveau de la vulgarisation scientifique(de qualit e) en se bornant `a une approche heuristique et intuitive des ph enom`enes, soit viser unecompr ehension plus pr ecise des concepts g eom etriquesau coeur de la th eorie d Einstein.

5 Nous avonstent e d ouvrir une voie m ediane. Notre but est de nous intercaler entre [10] ou [2] et [8] ou [9] et depermettre aux etudiants d aborder ces deux derniers ouvrages sans s effrayer. L espace-temps tr`es r eduitqui nous est imparti nous a contraint `a faire des choix drastiques sur le plan math ematique, comme dene pas aborder la notion de transport parall`ele ni celle de d eriv ee covariante. Nous avons d u sacrifierl el egance conceptuelle `a la rapidit e de pr esentation. Nous ne pouvons qu encourager le lecteur `a comblercette lacune par la lecture des ouvrages de r ef erence d ej`a mentionn applications de la th eorie restreinte sont innombrables en physique des hautes energies, notammentvia l equivalence masse- energie incarn ee par la c el`ebre formuleE=mc2.

6 Les applications pratiques de lath eorie g en erale sont moins nombreuses. On peut citer toutefois le GPS. Cependant, toute la cosmologiemoderne, c est-`a-dire l id ee la plus pr ecise que l homme a de l univers, est fond ee sur la th eorie g en expansion de l univers, le big-bang, les trous noirs, tout ceci ne peut etre appr ehend e sans l aide de cetteth eorie. Il est remarquable que le cheminement intellectuel ayant conduit `a un tel bouleversement de lapens ee soit finalement assez facile `a suivre, et `a la port ee de l etudiant motiv e, m eme si sa forme finale esttr`es complexe.

7 Les merveilleux raisonnements d Albert Einstein font ainsi partie du patrimoine culturelde l humanit e et resteront sans aucun doute comme l un de ses accomplissements les plus grandioses.`Ace titre, ils ne peuvent manquer d etre connus de celui qui est curieux du monde qui l entoure. L auteurde ces lignes sera combl e s il a pu participer `a leur diffusion aupr`es des etudiants de l 1La physique en Les r ef erentiels inertiels et la relativit e galil eennePour commencer il nous faut revenir au tout d ebut de la m ecanique, c est-`a-dire `a Galil ee.

8 On sait quece dernier etait partisan du syst`eme Copernicien selon lequel la Terre tourne autour du Soleil et surelle-m eme. L objection qu on ne manqua pas de lui faire `a l epoque est que si tel etait bien le cas, unepierre jet ee du haut d une tour n aurait pas d u tomber exactement `a son pied, `a cause de la rotation dela Terre pendant la chute. Voici quelle fut la r eponse de Galil ee `a cette objection : Enfermez-vous avec un ami dans la plus grande cabine sous le pont d un grand navire etprenez avec vous des mouches, des papillons et d autres petites b etes qui volent ; munissez-vous aussi d un grand r ecipient rempli d eau avec de petitspoissons.

9 Accrochez aussi un petitseau dont l eau coule goutte `a goutte dans un autre vase `a petite ouverture plac e en le navire est immobile, observez soigneusement comment les petites b etes qui volentvont `a la m eme vitesse dans toutes les directions de la cabine, on voit les poissons nagerindiff eremment de tous les c ot es ; les gouttes qui tombententrent toutes dans le vase plac edessous ; si vous lancez quelque chose `a votre ami, vous n avez pas besoin de jeter plus fortdans une direction que dans une autre lorsque les distances sont egales ; si vous sautez `a piedsjoints, comme on dit, vous franchirez des espaces egaux dans toutes les directions.

10 Quandvous aurez soigneusement observ e cela, bien qu il ne fasseaucun doute que toutes les chosesdoivent se passer ainsi quand le navire est immobile, faitesaller le navire `a la vitesse que vousvoulez ; pourvu que le mouvement soit uniforme, sans balancement dans un sens ou l autre,vous ne remarquerez pas le moindre changement dans tous les effets qu on vient d indiquer ;aucun ne vous permettra de vous rendre compte si le navire esten marche ou immobile. Galileo Galilei (Dialogue sur les deux grands syst`emes du monde)Galileo Galilei, 1564-16423Il s agit d une formulation de ce qu on appellera plus tard le principe de relativit e du mouvementuniforme,ou principe de relativit e galil een.