Op´erateurs diff´erentiels

1 Master Dynamique terrestre et risques naturelsMath ematiques pour g eologuesOp erateurs diff erentielsOn etudie en g eosciences des fonctions scalaires des coordonn ees d espace, comme la temp erature,ou bien des vecteurs dont les trois composantes sont des fonctions des coordonn ees, comme lapesanteur ou le champ magn etique. Lorsque ces fonctions ont des d eriv ees partielles, on peutd efinir d autres scalaires ou vecteurs qui restent les m emes pour tout r ef erentiel, ce qu on appelledesinvariantsde la fonction ou du champ de vecteurs. Ils en fournissent despropri et es intrins`equeset une fonction, les invariants qui nous seront utiles sont legradient(un vecteur) et lelaplacien(un scalaire).

2 Pour un champ de vecteurs ce sont lerotationnel(un vecteur),la divergence(unscalaire) et lelaplacien vectoriel(un vecteur).1 Produit scalaire et vectorielSoit deux vecteurs~aet~bayant pour composantes dans un r ef erentiel cart esienax,ay,azetbx,by,bzrespectivement. On d efinit : le produit scalaire :~a.~b=axbx+ayby+azbz le produit vectoriel :~a ~b= aybz azbyazbx axbzaxby aybx 2 Notion de circulation d un champ de vecteursOn appelle travail deA`aBdu vecteur~ale long d une courbe (C), dont un segment infinit esimalest le vecteur~dl, la somme des produits scalaires infinit esimauxZBA~a.~ (C) est une courbe ferm ee (A=B), la position deAsur (C) n a pas d importance,seulement le sens de parcours.

3 Le travail est alors appel e lacirculationde~asur (C),I~a.~ Notion de flux d un champ de vecteursConsid erons une surface continue (S). Soit~nsa normale unitaire, toujours issue du m eme c ot e. Onappellefluxdu vecteur~a`a travers (S) le scalaire : =Z Z~a.~ndSCette notion sera utilis ee pour introduire la Le gradientLa forme diff erentielle totale d une fonctionf(x, y, z), o`ux,yetzsont les trois variables de l espace,estdf= f xdx+ f ydy+ f zdz,qui peut s ecrire sous la forme d un produit scalaire de deux vecteurs~uet~dlavec~u= f x f y f z ~dl= dxdydz Le champ vectoriel~us exprime par un op erateur nomm egradientque l on note :~grad(f) =~ f= f x f y f z .Ce vecteur n est autre qu une extension de la classique d eriv ee d une fonction `a un espace dedimension sup erieure.

4 Il indique donc la pente locale de lafonction, le vecteur obtenu etant dirig ele long de la plus grande pente au champf.~ fest orthogonal aux isosurfaces en coordonn ees cyclindriquesSur la base (~er, ~e , ~ez) on a~ f= f r1r f f z .Expression en coordonn ees sph eriquesSur la base (~er, ~e , ~e ) on a~ f= f r1r f f .5 La divergenceLa divergence d un champ vectoriel~uest un scalaire d efini par :div(~u) =~ .~u= ux x+ uy y+ uz de d efinir le sens physique de la divergence consid erons un volume rectangulaire de c ot esdx, flux de~usortant de la face de droite dans la directionxestux(x+dx, y, z)dydz. De m eme leflux de~uentrant par la face de gauche dans la directionxest ux(x, y, z)dydz.

5 Le bilan de fluxentre ces deux surfaces est donc[ux(x+dx, y, z) ux(x, y, z)]dydz= ux xdxdydz= ux xdVLe m eme raisonnement peut etre fait dans la directionyet dans la directionz. Le bilan de flux autravers des faces du volume peut donc s ecrired = ux x+ uy y+ uz z dV= (~ .~u) equation ci-dessus permet d exprimer ce qu est la divergence : la divergence est donc le bilan deflux d un champ de vecteurs par unit e de volume. Sous forme int egrale on obtient le th eor`eme dela divergence (Green-Ostrogradsky) :I I~ ~S=Z Z Zintdiv(~u)dVLe flux `a travers une surface ferm eeSd un champ~uest egale `a l int egrale sur tout le volumed elimit e parSde la divergence de~ ~uest un champ de vitesse, alors la divergende de~umesure l accroissement total de volume parunit e de temps et par unit e de volume.

6 Si en un pointAla divergence est positive (n egative) alorsAest un point d expension (de compression). Si la divergencede~uest nulle en tout point d uner egionDalors le corps ayant le champ de vitesse~uest incompressible dans cette r en coordonn ees cyclindriques~ .~u=1r (r ur) r+1r u + uz en coordonn ees sph eriques~ .~u=1r2 (r2ur) r+1rsin (sin u ) +1rsin u 6 Le rotationnelLe rotationnel d un champ vectoriel~uest un vecteur d efini par~rot~u=~ ~u= uz y uy z ux z uz x uy x ux y .On interpr`ete le rotationnel~ ~ucomme l axe d un tourbillon en m ecanique des fluides, le champ~urepr esentant la vitesse du rotationnel d un gradient est nul :~rot(~grad(f) =~ ~ f=~0 Soit~uun champ vectoriel et (C) un contour ferm e.)

7 On peut montrer que le flux du rotationnelde~u`a travers une surface s appuyant sur (C) est egale `a la circulation le long de (C) du champ~u. Ceth eor`eme est appel e th eor`eme du rotationnel (Stokes)I~u.~dl=Z Z~ ~ ~SExpression en coordonn ees cyclindriques~ ~u= 1r uz u z ur z uz r1r (r u ) r (r ur) .Expression en coordonn ees sph eriques~ ~u= 1rsin (sin u ) u 1rsin ur (rsin u r 1r (r u ) r ur .7 Le laplacienLe dernier op erateur que nous utiliserons est le laplacien. Le laplacien est d efini comme la divergencedu gradient. On distingue le laplacien scalairelaplacien(f) =div(~grad(f)) = f= 2f= 2f x2+ 2f y2+ 2f m eme on d efinit le laplacien vectoriel comme~ ~u=~ 2~u= 2ux x2+ 2ux y2+ 2ux z2 2uy x2+ 2uy y2+ 2uy z2 2uz x2+ 2uz y2+ 2uz z2.)

8 Le laplacien d une fonction mesure la diff erence entre la valeur de la fonction en un point et samoyenne autour de ce point. Ainsi le laplacien est nul ou tr`es petit lorsque la fonction varie sans`a en coordonn ees cyclindriques 2f=1r r r f r +1r2 2f 2+ 2f en coordonn ees sph eriques 2f=1r2 r r2 f r +1r2sin sin f +1r2sin2 2f Relations fondamentalesdiv(~grad) =laplaciendiv(~rot) = 0~rot(~rot) =~grad(div) laplacien~rot(~grad) =~09 Exercices1. On consid`ere un champ~vpurement divergent en 2D(a) D eterminer le syst`eme d equations diff erentiellesv erifi e par les composantes du champ~v(b) Donner un exemple simple de vecteur~v(c) Tracer le champ~v2.

9 Idem mais pour un champ purement rotationnel.