Exercices de M ecanique des Fluides

1 Exercices de M . ecanique des Fluides ??? PC. Philippe Ribi`ere Ann ee Scolaire 2013-2014. Ph. Ribi`ere PC 2013/2014 2. Lyc ee Marceau Chartres Chapitre 1. Cin . ematique des Fluides . Ecoulements imaginaires. On s'int eresse dans cet exercice a` des ecoulements imaginaires, qui n'ont pas n ecessairement de r ealit e. Le but est de comprendre le lien entre les op erateurs vectoriels introduits et le mouvement du fluide afin de visualiser le mouvement d'un fluide. Les ecoulements de tuyau perc e et de la tornade, qui viennent par la suite, comblent cette lacune. 1er . ecoulement On s'int eresse un ecoulement du type .. v = ax .. u x + ay .. u y avec a une constante. 1. Dessiner les lignes de champ et calculer l' equation d'une d'elles.

2 2. Calculer div( v ).. 3. Calculer rot( v ). 4. On s'int eresse `a une particule de fluide de taille L3 , dont un sommet se trouve en O(0,0,0) `a t=0. Observer la forme de la particule de fluide a` dt. Calculer sa variation de volume relatif : V ol(dt) V ol(0). V ol(0). et comparer a` div( .. v ). 5. Calculer l'acc el eration d'une particule de fluide. 2eme . ecoulement On s'int eresse un ecoulement du type .. v = ay .. u x + ax .. u y avec a une constante. 1. Dessiner les lignes de champ et calculer l' equation d'une d'elles. 2. Calculer div( v ).. 3. Calculer rot( v ). 4. On s'int eresse `a une particule de fluide de taille L3 , dont un sommet se trouve en O(0,0,0) `a t=0. Observer la forme de la particule de fluide a` dt.

3 Calculer sa variation de volume relatif : V ol(dt) V ol(0). V ol(0). et comparer a` div( .. v ). 5. Calculer l'acc el eration d'une particule de fluide. 3. Ph. Ribi`ere PC 2013/2014 4. 3eme . ecoulement On s'int eresse un ecoulement du type .. v = ay .. u x + ax .. u y avec a une constante. 1. Dessiner les lignes de champ et calculer l' equation d'une d'elles. 2. Calculer div( v ).. 3. Calculer rot( . v ). 4. On s'int eresse `a une particule de fluide de taille L3 , dont un sommet se trouve en O(0,0,0) `a t=0. Observer la forme de la particule de fluide a` dt. Calculer sa variation de volume relatif : V ol(dt) V ol(0). V ol(0). et comparer a` div( .. v ). 5. Calculer l'acc el eration d'une particule de fluide.

4 Commentaire : Un exercice de cours pour se familiariser avec les ecoulements et les nouveaux op erateurs vectoriels. Penser `a faire fonctionner votre intuition physique car rien n'est plus naturel qu'un fluide qui coule. Ecoulement bidimensionnel dans une tuy`. ere. L' ecoulement incompressible et stationnaire du fluide se produit dans une tuy`ere comprise en L2. longueur entre x=0 et x=L et limit ee par deux surfaces d' equation y = L+x . Par ailleurs l' ecoulement est invariant suivant l'axe z (tuy`ere de largeur D tr`es grande, dans l'axe perpendiculaire `a la figure). Le fluide loin de la tuy`ere est annim ee d'une vitesse ~v = U.~ux . On cherche le champ des vitesses dans la tuy`ere de la forme ~v = vx (x)~ux + vy (x, y)~uy dans la tuyaire.

5 Figure Vue en coupe de la tuy`ere. 1. Justifier bri`evement que vy (x = 0, y) = 0 et ~v (x = 0, y) = U.~ux 2. Exprimer la conservation du d ebit volumique. En deduire vx (x). Lyc ee Marceau Chartres Ph. Ribi`ere PC 2013/2014 5. 3. Exprimer la conservation locale du d ebit volumique. En deduire vy (x, y). 4. En d eduire l' equation des lignes de courant. 5. L' ecoulement est il tourbillonaire ? 6. Etudier l' evolution entre t et t+dt de la forme d'une particule de fluide qui a` la date t est un cube 0 < x < a et a/2 < y < a/2 Commenter. 7. D eterminer le champ des acc el erations Commentaire : Un exercice important sur la notion de conservation de la mati`ere, conservation locale et conservation globale.

6 In est int eressant de voire que le d ebit volumique ne fait intervenir que la composante vx de la vitesse. Il est donc `a noter que les informations contenues dans les equations de conservations globales (conservation des d ebits) n'est pas redontante avec l' equation de conservation locale, et qu'il peut etre utile d'utiliser les deux (quand l' enonc e vous y invite) comme dans cet exercice. Pour r epondre ` a la question 5, deux approches sont possibles, soit on calcule explicitement le rotationnel, soit on montre directement que l' ecoulement est potentiel (et donc irrotationnel). Le tuyau poreux. On s'int eresse `a un tuyau qui fait jaillir de l'eau de mani`ere radiale (on ne s'int eressa pas a`.)

7 L' ecoulement dans le tuyau mais `a l' ecoulement a` l'ext erieur du tuyau, une fois que le fluide a travers e la paroi poreuse). Le syst`eme est `a sym etrie cylindrique, d'axe Oz, axe du tuyau poreux. Le champ de vitesse est d ecrit par v = vr (r)~ur . On admet aussi que le fluide est eject e du tuyau en r=R avec une vitesse v0 radiale. 1. En supposant le liquide en ecoulement incompressible, calculer l'expression de vr (r). 2. Dessiner la carte des lignes de champ. 3. Montrer que ce champ d erive d'un potentiel (r). Calculer le. 4. Calculer le rotationnel. Commenter. 5. Comparer bri`evement ce probl`eme a` celui d'un cylindre infini, de rayon R, d'axe Oz, portant une charge surfacique uniforme.

8 Commentaire : Un exercice de cours. L'op erateur divergence n'est pas donn e en coordonn ee cylindrique, donc impos- sible (difficile serait plus exact) d'utiliser l'op erateur div, il faut donc exploiter la conservation du d ebit volumique entre un cylindre de rayon R et autre de rayon r. Par ailleurs, l'exercice pr epare le lien entre la m ecanique des Fluides et les equations de Maxwell en abordant le calcul du champ electrostatique. Enfin, il invite aussi `a voir que m eme si les lignes de champs divergent , la divergence du champ est nulle, la vitesse du fluide diminue avec r, la visualisation de la divergence n'est pas si imm ediate sur les lignes de champs que le rotationnel (m eme si l'id ee qualitative reste int eressante).

9 Lyc ee Marceau Chartres Ph. Ribi`ere PC 2013/2014 6. De la tornade au vortex. On s'int eresse a` une tornade, vent tournant (et malheureusement d evastateur) a` grande vitesse. Le syst`eme est a` sym etrie cylindrique, d'axe Oz, axe de la tornade. L' ecoulement est suppos e incom- pressible.. Le champ de vitesse est d ecrit par . v = v (r)~u et un vecteur tourbillon = 21 rot . v connu.. = 0 u z si r < a, donc dans la tornade.. = 0 si r > a, donc a` l'ext erieur de la tornade. Figure Une tornade. 1. A partir d'ordre de grandeur, discuter l'hypoth`ese de l' ecoulement incompressible pour l'air. V erifier que l' ecoulement propos e est coh erent avec l'hypoth`ese faite. 2. En utilisant le th eor`eme de Stockes Ostrogardski.

10 I ZZ.. v .d l = rot( . v ).d S. C de S S. Etablir l'expression de v (r). Commenter. 3. Dessiner la carte des lignes de champ. On s'int eresse maintenant au cas limite d'un vortex, tornade telle que a 0 et 0 mais . en gardant le rapport 0 .a2 constant : 0 .a2 = 2 . 4. Montrer que ce champ d erive d'un potentiel (r). Calculer le. 5. Montrer qu'un vortex brise l'invariance par rotation d'angle . 6. Comparer bri`evement ce probl`eme a` celui d'un cylindre infini, de rayon R, d'axe Oz, parcouru .. par un courant volumique uniforme j = j0 . uz Commentaire : Un exercice de cours. Lui aussi pr epare le lien entre la m ecanique des Fluides et les equations de Max- well en abordant le calcul du champ magn etostatique.