PRECORSO DI MATEMATICA TRIGONOMETRIA: EQUAZIONI ...

1 CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA APPLICATAPRECORSO DI MATEMATICAESERCIZI DITRIGONOMETRIA: EQUAZIONI TRIGONOMETRICHEE sercizio 1:Risolvere la seguente equazionecosx= :Poich ecos34 = 22ecos54 = 22e la funzione coseno `e periodica di periodo 2 , l equazione data ha come soluzionix=34 + 2k ex=54 + 2k , k 2:Risolvere la seguente equazionesin(x+ 6)= :Poich esin 2= 1e la funzione seno `e periodica di periodo 2 , l equazione data `e soddisfatta sex+ 6= 2+ 2k , k si hax= 2 6+ 2k , k Z,da cui si ottienex= 3+ 2k , k 3:Risolvere la seguente equazione2 cos2x+ 7 sinx= DI MATEMATICAS volgimento:Innanzitutto `e conveniente far comparire nell equazione data solo una funzionetrigonometrica. Utilizzando la prima relazione fondamentale della trigonometriasin2x+ cos2x= 1x R,si hacos2x= 1 sin2x x tale relazione nell equazione si ottiene2(1 sin2x)+ 7 sinx 5 = 0,e quindi2 sin2x 7 sinx+ 3 = sinx, l equazione si pu`o riscrivere come2y2 7y+ 3 = 0,le cui soluzioni sonoy= 3 y= si ottienesinx= 3 sinx= equazione sinx= 3 non ha soluzione, poich`e 1 sinx 1x equazione sinx=12`e verificata sex= 6+ 2k x=56 + 2k , k Z,che costituiscono le soluzioni dell equazione 4:Risolvere la seguente equazionesin(x+ 4) sin(x 4)= :Utilizzando le formule di addizione e sottrazione del seno l equazione data sipu`o riscrivere comesinxcos 4+ cosxsin 4 (sinxcos 4 cosxsin 4)= 1,da cui segue 22sinx+ 22cosx 22sinx+ 22cosx= si ottiene 2 cosx= 1,da cuicosx= DI MATEMATICA3 Poich ecos 4= 22ecos( 4)= 22e la funzione coseno `e periodica di periodo 2 , l equazione data ha come soluzionix= 4+ 2k ex= 4+ 2k , k 5.

2 Risolvere la seguente equazione1 cos 2x= :Utilizzando la formula di duplicazione del cosenocos 2x= cos2x sin2x x Rl equazione data si pu`o riscrivere come1 (cos2x sin2x)= sinx,da cui si ottiene1 cos2x+ sin2x= prima relazione fondamentale della trigonometria si hasin2x= 1 cos2x x R,quindi l equazione data diventa2 sin2x= ottienesinx(2 sinx 1) = 0,le cui soluzioni sono le soluzioni delle equazionisinx= 0 2 sinx 1 = equazione sinx= 0 ha come soluzionix=k , k equazione sinx=12`e verificata sex= 6+ 2k x=56 + 2k , k l equazione data ammette come soluzionix=k x= 6+ 2k x=56 + 2k , k DI MATEMATICAE sercizio 6:Risolvere la seguente equazione2 sin2x2=1 cosx2 + 2 :Innanzitutto bisogna imporre la condizione di esistenza2 + 2 cosx6= 0,che equivale acosx6= 1,le cui soluzioni sonox6= + 2k , k la formula di bisezione del senosinx2= 1 cosx2x Rsi ha2 sin2x2= 1 tale relazione nell equazione data si ottiene1 cosx=1 cosx2 (1 + cosx),da cui, calcolando il minimo comune multiplo, si ha2 (1 cosx) (1 + cosx) (1 cosx)2 (1 + cosx)= 1 + cosx6= 0 per la condizione di esistenza, tale equazione equivale a2 (1 cosx) (1 + cosx) (1 cosx) = 0,da cui si ottiene(1 cosx) (2 + 2 cosx 1) = 0,e quindi(1 cosx) (2 cosx+ 1) = equazione 1 cosx= 0 si pu`o riscrivere comecosx= 1,le cui soluzioni sonox= 2k , k Z,mentre l equazione 2 cosx+ 1 = 0 equivale acosx= 12,le cui soluzioni sonox=23 + 2k x=43 + 2k , k DI MATEMATICA5 Allora l equazione data ha come soluzionix= 2k x=23 + 2k x=43 + 2k , k 7:Risolvere la seguente equazionecosx sinx=.

3 Tale equazione `e lineare in seno e coseno e si pu`o risolvere utilizzando le for-mule parametrichesinx=2t1 +t2,cosx=1 t21 +t2x6= + 2k , k Z,dovet= tanx2. Per poter usare queste formule bisogna imporre chex6= + 2k , k + 2k , k Z, nell equazione e tenendo conto del fatto che le funzioni senoe coseno sono periodiche di periodo 2 si hacos sin = 1 + 06= 1,quindix= + 2k , k Z,non sono soluzioni dell equazione nell equazione le formule parametriche si ottiene1 t21 +t2 2t1 +t2= il minimo comune multiplo si ha1 t2 2t 1 t21 +t2= 0,da cui segue 2t2 2t1 +t2= 1 +t2>0,tale equazione equivale a 2t2 2t= 0,e quindi a2t(t+ 1) = 0,le cui soluzioni sonot= 0 t= si hatanx2= 0 tanx2= equazione tanx2= 0 ha come soluzionix2=k , k Z,6 PRECORSO DI MATEMATICAda cui seguex= 2k , k l equazione tanx2= 1,`e verificata sex2= 4+k , k Z,e quindi sex= 2+ 2k , k l equazione data ha come soluzionix= 2k x= 2+ 2k , k 8:Risolvere la seguente equazionesin2x (1 + 3)sinxcosx+ 3 cos2x=.

4 Tale equazione `e omogenea di secondo grado e per risolverla conviene dividereentrambi i membri per cos2x: tale passaggio `e lecito solo se cosx6= 0 . Se cosx= 0 allorax= 2+k , k tali valori nell equazione si hasin2( 2+k ) (1 + 3)sin( 2+k )cos( 2+k )+ 3 cos2( 2+k )= 1 (1 + 3) 0 + 0= 16= 0,quindix= 2+k , k Z,non sono soluzioni dell equazione entrambi i membri dell equazione per cos2x6= 0 si ottienetan2x (1 + 3)tanx+ 3 = tanxtale equazione di scrive comey2 (1 + 3)y+ 3 = 0,le cui soluzioni sonoy= 1 y= si hatanx= 1 tanx= equazione tanx= 1 `e verificata sex= 4+k , k Z, PRECORSO DI MATEMATICA7mentre l equazione tanx= 3 ha come soluzionix= 3+k , k le soluzioni dell equazione data sonox= 4+k x= 3+k , k :Risolvere le seguenti equazioni1. sinx= 222. cosx= sin2x cos2x3. tan( x2)= tan( x3)4.(5 2 5)cos2x= sin2x5. sinx+ cosx= 06. cos 2x+ sin2x= cosx2 cos2x2+ 2 sin2x2=328. sin2x sinx = + 2 cosx= 410.

5 (sinx 1) (2 sinx 1) = 011. 3 sin2x 2 sinxcosx cos2x= 012. cos( 6+x)+ cos( 6 x)=3213. cosx 2 sinxcosx sinx+ 2 sin2x= 014. 2 3sin2xcosx 2 sinx+ 3 tanx= 115. tan2( x) tan (5 +x) = 016. 3 cosx+ sinx= 28 PRECORSO DI MATEMATICA17. sin4x sin2xcos2x+ 4 cos4x= 118. cosxcos 3x= cos 4xcos 2x19. 2 cosx2 2 cosx= 3 120. sin 5x= 521. 1 + cosx 1 1 + cosx= 022. tan2x+(1 + 3)tanx+ 3 = 023. sinx cosx= 2 sinxcosx 124. sin 3x= cos(x 6)25. 2 cos2x2+ cosx= + cosx+ cotx= 227. 4 sinxcosx= 1 + 2 sin2x28. tanx= 129. 2 sin2x+ 2 cos 2x 1 = + cos 2x1 cos 2x=cotx2 sinx31. 5 2 cos2x 4 sinx= 2 cos2x32. 2 tanxcosx 3 tanx= 033. 3 sinx cosx= 434. sin2x=12sin ( x) sinx 1 2 sinx+ 1+ 3 2 sinx+ 1 = 7 sinx36. 2 cosx2 1 = 037. cos2x+2tan2x=52 PRECORSO DI MATEMATICA938. sinx= sin 2x39. tanx = 3340. cos22x+ cos 2x= 041. sin2x2+ 2 cosx=5442. tan 4x= 343. 5 + 2 sin 3x=3sin 3x44. (sinx+ cosx)2= cos 2x45. 3 sinx cosx= 046.

6 Cosx=sin2x 3 sin 2xcosx47. 4 sin2x 3 sinxcosx+ cos2x= 148. sin 3x+ sin 5x= cosx49. sin(x+ 6)+ 1 = 050. sin 2x= 3251. 2 cos2x cosx 1 = 052. 1 sinx+2 sinx 1 sinx= 053. sin22x+ 3 cos2x= + cosx=1cosx 1+8355. sin(x 512 )= cosx56. cos 3x =1257. 2 (1 cosx) =sin ( x)1 + cosx58. sin2x sinx= cos2x+ cosx59. sinx= cos(x 3)10 PRECORSO DI tan2xtanx=tanx+ tan2x261. cosx= 1262. 2 sinxcosx+ 2 cosx= 1 + sinx63. 2 sin( 3+x)= 3 cosx 164. sinx+ cosx= 165.(2 + 2)sin2x+(2 2)cos2x+ 2 2 sinxcosx= 266. sinxcos 3x= sin 2xcos 4x67. 2 cos2x 5 cosx= + sinx+ cotx= 2 cosx69. 64 sin4x 16 sin2xcos2x= 170. sinx+ sinx2= 071. sin2x+ 3 cosx= 1 + cos2x72. cos(x+ 6) sin(x+ 3)+ sin2x= 073. sin 5x sinx= cos sinx+ 1 3 sinx+ cosx= 175. 3 tan2x+ tan ( +x) = 076. 3 + cosx+ cosx=6 3 + cos ( x)77. 2 sin 2x+ 1 = 078. tan2x+ 3 cot2x= 479. cosx=4 sinx+ 1cos ( x)80. tan (180 +x) = cos 2x 2 sinx=sin 2x1 + cos 2xPRECORSO DI MATEMATICA1182.

7 Sinx3= cosx2 sin2x2+ 1 = cosx+11284. sin4x sin2xcos2x= sin2x cos2x85. cosx= cos 2x86. tan(x+ 6)+ tan( 3 x)= 287. cos 8x cos 4x= 2 sin 6x88. tan4x 4 tan2x+ 3 = 089. sin 2xsinx sin 4xsin 3x= 090. cosx+ 2 6cosx+ 2= 191. 3 sinx+ 7 = 092. tan(2x 2)= 093. 4 sin2x+ 3 tan2x= 1294. cos 3x 3 = 095. sin2x 3 cos2x = 096. 2 sinx+ 3 tan ( x) = 097. 3 cos2x+ sin22x=5298. 2 sin2x 3 sinx+ 1 = 099. tan2x2+ cosx= cosx 11 + 2 cosx 5 cosx+ 21 4 cos2x= 5101. sinx+ cosx= 2102. tan ( 2x) = tan ( 3x)103. 2 sinxtanx= 5 1cosx104. 2 sin (x+ 20 ) + 3 = 012 PRECORSO DI MATEMATICA105. 6 cos2x= 3 sinx(4 sinx)106. sinx= 2 tanx107. sin2x+ 2 sinxcosx 3 cos2x= 0108. 4 cos 4x 4 = 0109. 2 sinxcosx 3 cosx 2 sin2x+ 3 sinx= 0110. tan2x tanx= 0111. sin (2x 4 ) = sinx112. 2 cos(2x 4)= 1113. tanxsinx= 3 sinx114. cos2x2 sin2x2= 2 cos2x115. tan(2x 3)= 3116. 2 cos2x+ 3 cosx+ 1 = 0117. sin 2x= cosx118. 2 sin2xcosx 2 cosx+ sin2x= 1119.

8 3 sinx= 3 cosx120. 2(cos2x sin2x)= 3 (cosx sinx)121. cos 6x+ cos 2x= 2 cos 4x122. 3 cos2x+ sinx= 2 sin2( x)123. 2 cosx 5 = 0124. 4 sin 2x 3 + 2 sin 2x= 3125. tan 4x 1 = 0126. cos(x+ 12)= cos(x+1312 )127. tanx cotx=23 3128. sin 2x 2 cosx= + cos 2xcosx+sin 2x1 cos 2x= 0130. 2 sin2x 4 cos2x= 1.