Probabilidad - cmat.edu.uy

1 ProbabilidadErnesto Mordecki8 de junio de 2007 Indice1. Experimentos aleatorios22. Sucesos23. Probabilidad34. Probabilidad y Permutaciones55. Probabilidad y Combinaciones86. Operaciones con sucesos97. Regla de la suma128. Propiedades de la probabilidad139. Probabilidad ormula de la Probabilidad ormula de al azar y triangulo de de los grandes n a2911. Experimentos aleatoriosLas probabilidades aparecen asociadas a los fen omenos aleatorios. Unfen omeno aleatorioes aquel en el cual la verificaci on de un cierto conjun-to de condiciones determinadas conduce a un resultado entreuna serie deresultados posibles. Llamamosexperimento aleatorioa ese conjunto de con-diciones determinadas.

2 Por contraposici on, losfen omenos determ sticos, ono aleatorios son aquellos en los que la verificaci on de un cierto conjunto decondiciones determinadas conduce, en forma inevitable, a un resultado ejemplos: tirar una moneda al aire y observar la cara quepresenta alcaer al piso es un experimento aleatorio (tenemos dos resultados posibles:cara y n umero); mientras que enfriar agua hasta cero gradoscent gradosbajo presion atmosf erica normal es un fen omeno determin stico (conduceinequ vocamente a la formaci on de hielo).2. SucesosConsideremos un experimento aleatorio, y designemos mediante la letragriega may uscula (Omega) el conjunto de todos sus resultados a este conjunto espacio de sucesos elementales, y a sus puntossucesos elementaleso tambi encasos posibles.

3 Suponemos que es un con-junto finito y utilizamos la letranpara designar su cantidad de tiramos una moneda al aire, tenemos un experimento aleatoriocon ={cara,n umero},y resultan= tiramos un dado, tenemos seis resultados posibles, ={1,2,3,4,5,6}y en este cason= lanzamos un dado dos veces consecutivas, tenemos 36 casosposibles, resultantes de combinar el primer resultado con el segundo, quepodemos representar en la siguiente tabla:2(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)donde, por ejemplo, el caso (3,4) representa el resultado correspondiente aobtener 3 puntos en la primer tirada y 4 en la cada subconjunto de.

4 Designamos a los sucesosmediante las letrasA,B,C, ..con sub ndices o sin ellos. Los sucesos puedentener uno o varios elementos, y tambi en ning un elemento. En este ultimocaso tenemos elsuceso imposible, que designamos mediante . En el ejemplo3, el conjuntoA={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5) ,(1,6)}es un suceso, y corresponde a obtener un as en la primer tiradadel puntos que componen un suceso se llamancasos favorablespara laocurrencia de dicho surgimiento de la teor a de la Probabilidad es muy anterior a la crea-ci on de la teor a de conjuntos. Por esto, desde su mismo inicio, en teor a de laprobabilidad se utiliz o (y contin ua utiliz andose) una terminolog a espec fica,diferente de la terminolog a utilizada en teor a de conjuntos.

5 En la p agina11 se presenta una tabla de t erminos de teor a de conjuntos, junto con loscorrespondientes t erminos del c alculo de probabilidades, que introducimosy utilizamos a lo largo de este curso. Las letrasA,B,C, .., con ndices osin ellos, designan a los sucesos, es decir, a los subconjuntos de .3. ProbabilidadDefinici on un experimento aleatorio con un espacio densucesoselementales , la Probabilidad del sucesoA, que designamos medianteP(A),es la raz on entre la cantidad de casos favorables para la ocurrencia deAyla de casos posibles. En otros t erminosP(A) =nAn,dondenAes la cantidad de casos favorables tres observaciones que resultan de esta definici la definici on dada se obtiene que cada suceso elemental tie-ne Probabilidad 1/n.

6 Decimos en este caso que los sucesos es una caracter stica muy importante de la definici on, que establecelimitaciones en su aplicaci on en aquellos experimentos aleatorios donde estesupuesto sea Probabilidad es un n umero no negativo, y menor o igualque 1, es decir, para cualquier sucesoAtenemos0 P(A) el conjunto vac o es un subconjunto de sin elemen-tos, tenemos que su Probabilidad es nula, es decirP( ) = 0. Es por esto quelo llamamossuceso imposible. (Ver tabla en la p agina 6.)Por otra parte obtenemos queP( ) = 1, por lo que llamamossucesoseguroal espacio de sucesos elementales . la Probabilidad de que al tirar un dado dos veces con-secutivas, la suma de los puntos obtenidos sea no menor que por (i, j) al resultado del experimento consistente entirar un dado dos veces consecutivas, y obteneripuntos en el primer tiro yjpuntos en el segundo (i, j= 1,2,3,4,5,6).

7 El conjunto de sucesos elementalesque describe los resultados de un experimento de este tipo, se compone de6 6 = 36 puntos de la forma (i, j), y puede ser representado en la siguientetabla:(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)(2,6)(3,1) (2,2) (3,3) (3,4)(3,5) (3,6)(4,1) (4,2) (4,3)(4,4) (4,5) (4,6)(5,1) (5,2)(5,3) (5,4) (5,5) (5,6)(6,1)(6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)El sucesoAconsiste en que la suma de los puntos obtenidos es no menor que8. Es claro, que los casos favorables para la ocurrencia del sucesoAson losson indicados en la tabla. La cantidad de estos sucesos es los 36 resultados posibles son equiprobables, y aplicando la definici onde Probabilidad , obtenemosP(A) = 15/36 = 5 considera un experimento consistente en arrojar un dado dos vecesconsecutivas.

8 Calcular la Probabilidad de que la suma de losresultados sea:(a) igual a 5; (b) no mayor de la Probabilidad de que al tirar un dado tres veces consecutivas,la suma de los resultados sea mayor que la Probabilidad de obtener un boleto capic de tirar un dado equilibrado, con iguales chancesse obtienen 1,2,3,4,5 o 6 puntos. En caso de tirar dos dados la suma de lospuntos obtenidos esta comprendida entre 2 y 12. Tanto el 9 como el 10, apartir de los n umeros 1,2,3,4,5,6 se puede obtener de dos formas distintas:9 = 3+ 6 = 4+ 5, y 10 = 4+ 6 = 5+ 5. En el problema con tres dados tantoel 9 como el 10 se obtienen de seis formas. Porque entonces el9 se obtienecon mayor frecuencia al tirar dos dados, y el 10 con mayor frecuencia al tirartres?

9 4. Probabilidad y PermutacionesEn vista de la definici on que dimos de Probabilidad , basada en las canti-dades de casos favorables y de casos posibles, la determinaci on de la probabi-lidad de un suceso se reduce en muchos casos a problemas de combinatoria,en particular al c alculo disponer dos letras distintas A, B una luego de la otra de dosformas distintas:AB, letras se pueden disponer en forma sucesiva ya de seis maneras:ABC,ACBBAC,BCACAB,CBAPara cuatro letras obtenemos 24 formas diferentes de disponerlas sucesiva-mente:ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC, ADCBBACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCACABD,CA DB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBADABC,DACB,DBAC,DBC A,DCAB,DCBA5 De cuantas formas se pueden disponer diez letras en forma sucesiva?

10 Escri-bir todas las formas parece dif cil. Para responder esta pregunta es desabletener una regla general, una f ormula, que nos permita calcular directamentela cantidad de formas distintas de disponernletras en forma sucesiva. Estacantidad se designa mediante el s mbolon! (la letranseguida de un s mbolode exclamaci on) y se llama elfactorial den, o, m as brevemente, esta cantidad. Hemos visto, que2! = 2,3! = 6,4! = ona cada forma de disponer una cantidad dada deletras en forma sucesiva. Es claro que en vez de letras podemos disponercifras, o cualquier otro elemento. La cantidad de permutaciones de 4 ele-mentos es 24. En general, la cantidad de permutaciones denelementos esn!