Représentation des nombres entiers

1 IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesRepr sentation des nombres entiers134197652993002477666110110110110 11A99 ACFIFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesRepr sentation des donn esDonn esNon Num riquesNum riquesNombres entiersNombres flottantsValeur sign eCompl ment 2 Codage DCB (D cimal Cod Binaire)Norme IEEE 754 IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesRepr sentation des donn es Toutes les donn es sont stock es sousforme binaire de tailles diff rentes Ces donn es peuvent tre interpr t es pourrepr senter des donn es de diff rents typeset formats via un langage de programmation float, char, bool, int, aux syst mes informatiquesRepr sentation des nombres L arithm tique utilis e par les ordinateurs Pr cision finie (et fixe) Limitations Une notation binaire repr sentation s effectue selon une cha nebinaire d une longueur fix e n bits Sur 8 bits, 16 bits.

2 IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesEntier Pas de partie fractionnaireExemples: -2022-2130166654323434565434 IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesRepr sentation des nombres entierssign s Conventions Valeur sign e Codage DCB (D cimal Cod Binaire) Compl ment 1 Compl ment 2 IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesRepr sentation des nombres entierssign s Le choix entre des conventions Le constructeur de la machine ventuellement par le programmeur Langage C i nt 2 octets, compl ment 2 unsi gned shor t 8 bits, non sign IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesEntiers positifs repr sentation desentiers positifs Un approche vident Codage en binaire 8 bits => 256 valeurs 32 bits => 4294967296 valeursBits les plus significatifs (31-24)Bits 23-16 Bits 15-8 Bits les mois significatifs (7-0)

3 Donn e suivanteM moireMM+1M+2M+3M+41 octetbit bit31 24 23 16 15 8 7 0 Mot de donn es de 32 bitsIFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesEn G n ral (binaire)2n - 1 MaxMin0nBinaireNombre de bitsImportant !! de 0 (2n 1) => 2n valeurs diff rentes ! IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesConvention du codage DCB D cimal Cod Binaire Chaque chiffre du nombre N10 est cod par son quivalent binaire 10 valeurs diff rentes 4 bits Le codage du signe peut suivre diff rentesconventions + : 10112 - : 11012 IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesConvention du codage DCB Exemple+7710 : 1011 0111 01112-7710 : 1101 0111 01112 Pr f r pour certaines applications(affaires) o il est n cessaire d avoir unerepr sentation exacte du nombre d cimal Conversion DCB caract re est facile+ 7 7 IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesIntervalles de formats de donn 9990 9999990 16,777,215240 990 99990 - 65,535160 51190 90 990 25580 12770 6360 3150 90 1540 730 320 11 ASCIIBCDB inaireNb.

4 De bitsLe nombre de valeurs cod es en DCB est moins important qu en binaireIFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesConvention du codage DCB Inconv nients Codage ne se pr te pas directement aux op rationsarithm tiques R sultat un code binaire sans signification L arithm tique en DCB est plus difficile qu en binaire et pluslente 76 0111 0110bcdconvertir les sommes partiellesx 7 0111bcd 42 101010bin 0100 0010bcd49 110001bin +0100 1001bcd4132 0100 1101 0010 13 ajuster la retenue convertir 13 +0001 0011 en DCB 532 0101 0011 0010 = 532 en DCBIFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesConvention de la valeur sign e R server un bit pour le signe (le bit le plus gauche).

5 Les autres bits codent la valeurabsolue du nombre 0 = + et1 = - repr sentation de +5 et -5 en valeur sign esur 6 bits+5:0 0 0 1 0 1+5- 5:1 0 0 1 0 1-5 IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesConvention de la valeur sign e Difficult s: Deux repr sentations de lavaleur z ro repr sentation en valeur sign e sur 6 bits 0: 000000 => +0 0: 100000 => - 0 La r alisation d une op ration de typesoustraction n cessite un circuit particulierdiff rent de celui permettant la r alisation desadditions Le syst me doit tester la fin de chaque calculpour assurer qu il n y a qu un seul z roIFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesIntervalles des nombresIntervalle en base sign eNon sign Longueur de lacha ne de bitsLa moiti des codes est affect e au nombres positifs et l autremoiti au nombres n gatifsIFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesConvention de la valeur sign e2n-1 - 1 MaxMin-(2n-1 1)nValeur sign eNombre de bitsIFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesConvention du compl ment Compl ment.

6 Soustraire une valeur dela valeur base Compl ment 1(restreint ou logique) Compl ment 9 Compl ment 2 (vrai) Compl ment 10 IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesCompl ment logique En base 10 Supposons 3 digits d cimaux Diviser l intervalle de repr sentation 5xx, 6xx, 7xx, 8xx, 9xx nombres n gatifs Compl ment 999-Nombre500 999 0 499-49910 -010 010 49910 IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesCompl ment logique Compl ment 9 repr senter -46710 en compl ment 9 (3 digits)? 999-467 -46710 532532 repr senter -46710 en compl ment 9 (4 digits)? 9999- 467 -46710 95329532 IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesCompl ment logique Compl ment 9 Quelles sont la valeur du signe et la magnitudede 9990 lorsque celui-ci est une repr sentationen compl ment 9 sur 4 digits?

7 Le premier digit est sup rieur 4, donc signen gative 9999-9990 0009 Donc, 9990 en compl ment 9 sur 4 digits repr sente: -9 IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesAdd / Sub en compl ment 9500 999 0 499-49910 -010 010 4510 10310 49910+58500 999 0 200 499 500 899 999-49910 -010 010 20010 49910 -49910 -100 -000+699-300500 799 999 0 99 499-49910 -200 -010 010 10010 49910+300(1099)

8 +300 IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesAdd / Sub en compl ment 9 En cons quence, une proc dure pouradditionner 2 chiffres dans le cas o le r sultats tend au-del du nombre maximum de digitsconsiste ajouter la derni re retenue-20010 + 10010 en compl ment 9 sur 3 digits-20010 + 30010 en compl ment 9 sur 3 digits799799100300899 1099 1 100 IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesAdd / Sub en compl ment 9 Pour soustraire, on prend le compl ment duchiffre que l on doit soustraire et on r alisel addition Possibilit de d bordement (overflow) Exemple: 300 + 300 = 600 (-399)? Si les deux entr es de l addition ont le m mesigne et le signe du r sultat est diff rent alorson a un probl me de d bordementIFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesConvention du compl ment 1 Convention du compl ment 1 0 dans le bit le plus gauche => + 1 => - Nombre positif repr sentation binaire sur n bits 6: 000110 (6 bi ts) Nombre n gatif Inverser tous les bits 0 1 et 1 0 - 6.

9 111001 (6 bi ts)IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesConvention du compl ment 1 Intervalle des nombres repr sentables encompl ment 1 sur 8 bits Cette m thode est aujourd hui obsol teIFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesConvention du compl ment 1 Inconv nient important Deux repr sentation distinctes de la valeur 0 IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesAdd / Sub en compl ment 1 00101101 = 4510 00111010 = 5810 01100111 = 1031010000000 11111111 00000000 01111111-12710 -010 010 4510 10310 12710+58 IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesAdd / Sub en compl ment 110000000 11111111 00000000 01111111-12710 -210 -010 010

10 10310 12710 01101010 = 10610 11111101 = -210 01100111 = 10310 +1 01101000 = 104101+106 IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesCompl ment arithm tique (vrai) En base 10 Supposons 3 digits d cimaux Diviser l intervalle de repr sentation 5xx, 6xx, 7xx, 8xx, 9xx nombres n gatifs Trouver un compl ment sur 3 digits, 2 m thodes: 1) 1000-Nombre 2) Compl ment 9 sur 3 digits + 1500 999 0 499-50010 -00110 010 49910 IFT1215 Introduction aux syst mes informatiquesCompl ment vrai Compl ment 10 repr senter -46710 en compl ment 10 (3 digits)? 1000 532 - 467+ 1 -46710 533 533 533 repr senter -46710 en compl ment 10 (4 digits)?