Représentation des nombres flottants

1 Repr sentation des nombres flottants IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Notation exponentielle Repr sentations quivalentes dans la base 10 de 1,234. - 2. 1 2 3 , 4 0 0 . 0 x 1 0. - 1. 1 2 , 3 4 0 . 0 x 1 0. 0. Le point d cimal flotte . 1 , 2 3 4 . 0 x 1 0. (ajustement appropri de 1. 1 2 3 . 4 x 1 0. 1 2 . 3 4 x 1 0. 2. l'exposant). 3. 1 . 2 3 4 x 1 0. 4. 0 . 1 2 3 4 x 1 0. IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes l ments de la notation exponentielle Exposant - 3. - 0 . 9 8 7 6 x 1 0. Signe de Signe de Position du l'exposant la mantisse point d cimal Mantisse Base Base de syst me du nombre! IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Repr sentation normalis e Un nombre repr sent en virgule flottante est normalis s'il est sous la forme: 0,M * X c M un nombre dont le premier chiffre est non nul Exemple: + 59,4151 * 10-5 =>. Normalis : +0,594151 * 10-3. IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Repr sentation de l'exposant et de son signe L'exposant est translat e de mani re toujours coder en interne une valeur positive Avec 2 digits r serv s au codage de l'exposant Les valeurs positives: [+0, +99].

2 En appliquant une translation k=50: Les exposants repr sentables => [-50,49]. La constante k est appel e constante d'excentrement IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Repr sentation en virgule flottante Avec 2 digits r serv s au codage de l'exposant avec un excentrement gal 5010 et 5 digits pour la mantisse on peut repr senter de .00001 x 10-50 .99999 x 1049. IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Overflows / Underflows De .00001 x 10-50 .99999 x 1049. 1 x 10-55 .99999 x 1049. IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Format typique IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes La norme ieee 754. Un format standardis . Format simple pr cision: 32 bits Bit du signe (1 bit). Exposant (8 bits). Mantisse (23 bits). Format double pr cision: 64 bits Bit du signe (1 bit). Exposant (11 bits). Mantisse (52 bits). IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Format simple pr cision 32 bits S C M en base 2, avec un bit cach 1.

3 Mantisse (23 bits). Exposant (8 bits). Signe de la mantisse (1 bit). IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Format Double Pr cision 64 bits Mantisse (52 bits). Exposant (11 bits). Signe de la mantisse (1 bit). IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Normalisation dans le format ieee . 754. La mantisse est normalis sous la forme 1,M*2 c Pseudo mantisse Le 1 pr c dant la virgule n'est pas cod en machine et est appel bit cach . Exemple: Mantisse: Repr sentation: 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 1 . 1 0 1 = 1 . 6 2 5. 2 1 0. IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes ieee 754, Repr sentation de l'exposent Constante k d'excentrement appliqu e . l'exposant Simple pr cision: +12710. Double pr cision: +102310. L'exposant c cod en interne c + 12710. c + 102310. Ex., k = 12710, Exposant: 1 0 0 0 0 1 1 1. 2. Repr sentation: 1 3 5. 1 0. 1 2 7. 1 0. = 8. 1 0. ( v a l e u r ). IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Repr sentation de l'exposant et de son signe - Exemple - Repr sentez l'exposant 1410 avec un excentrement 127: 12710 = + 011111112.

4 1410 = + 000011102. Repr sentation = 100011012. IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Repr sentation de l'exposant et de son signe - Exemple - Repr sentez l'exposant -810 avec un excentrement 127: 12710 = + 011111112. - 810 = - 000010002. Repr sentation = 011101112. IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Exemple Simple pr cision 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. = 130 127 = 3. 0 = mantisse positive + 23 = IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Exercice Conversion en virgule flottante ieee 754. Quelle est la valeur d cimale des repr sentations internes suivantes? 1 1 0 0 0 0 0 1 0. 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. R ponse: IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Exercice Conversion en virgule flottante ieee 754. R ponse Quelle est la valeur d cimale des repr sentations internes suivantes? 1 1 0 0 0 0 0 1 0. 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. R ponse: IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Solution 1 1 0 0 0 0 0 1 0.

5 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. En d cimal 130 - 127 = 3 1 + .5 + .25 + .125 + .0625 + 0 + .015625 +..0078125. 23 * = ( negatif ) - IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Solution : M thode Alternative 1 1 0 0 0 0 0 1 0. 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. En d cimal 130 - 127 = 3 D calez Point . ( negatif ) - IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Exercice Conversion en virgule flottante ieee 754. Quelle est la repr sentation interne du nombre Remarque: utiliser seulement les 10. chiffres significatifs pour la mantisse R ponse: IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Exercice Conversion en virgule flottante ieee 754. R ponse Quelle est la repr sentation interne du nombre Remarque: utiliser seulement les 10. chiffres significatifs pour la mantisse R ponse: 0 1 0 0 0 0 0 0 0. 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Solution : en ieee Simple Pr cision En Binaire (approx): Normalisez (21).

6 1001000111101. Enlevez le bit cach . Exposant = 127 + 1 10000000. Valeur est positive: Bit de signe = 0. 0 10000000 10010001111010000000000. IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes ieee 754 Simple Pr cision Format (R sum ). signe exposent Mantisse s к M1 M2 M23. 0 1 8 9 31. Signe 1 bit (0 + ; 1 - ). Exposant 8 bits (excentrement-127). Mantisse 23 bits Format binaire Normalisation : . Bit cach . IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Repr sentation du z ro, des infinis, repr sentations d normalis es Le norme ieee admet des codages sp ciaux pour la repr sentation 0. + . - . Repr sentations d normalis es IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Repr sentation du z ro, des infinis, repr sentations d normalis es Exposant Mantisse Valeur 0 0 0. 0 Non 0 2-126 * -126 - +127 Tout 2E+127 * 128 0 . 128 Non 0 Conditions sp ciales IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Addition et soustraction de deux nombres d cimales en virgule flottante Op randes Alignement Normaliser et arrondir 102 104 105.

7 + 104 + 104 + .0005 105. 104 105. Op randes Alignement Normaliser et arrondir 10-7 10-7 10-9. 10-8 10-7 + .0005 10-9. 10-7 10-9. IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Calcul en virgule flottante: Addition nombres doivent tre align s : avoir les m mes exposants (le plus lev pour prot ger la pr cision). Additionner mantisses. Si overflow, ajuster l'exposant Ex. 0 51 99718 (e = 1) et 0 49 67000 (e = -1). Aligner les nombres : 0 51 99718. 0 51 00670. Additionner: 99718. + 00670. 1 00388 Overflow Arrondir le nombre et ajuster l'exposant: 0 52 10039. IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes Calcul en virgule flottante: Multiplication (a * 10e) * (b * 10f) = a * b * 10e+f R gle: multiplier les mantisses; additionner les exposants But: Codage en exc dent, (n + e) + (n + f) = 2 * n + e +f Besoin soustraire constante d'excentrement n a partir du r sultat Ex. 0 51 99718 (e = 1) and 0 49 67000 (e = -1). Mantisses: .99718 * .67000 = Exposants: 51 + 49 = 100 and 100 50 = 50.

8 Normaliser: .6681106 .66811. R sultat: .66811 * 100 (50 signifie e = 0). IFT2880 Organisation des ordinateurs et syst mes