SELECTIVIDAD MURCIA - otrapagina.com

1 MATEM TICAS IIMATEM TICAS IIMATEM TICAS IISELECTIVIDAD MURCIAe i+ 1 = 0tetraedrocubooctaedrododecaedroicosaedr o26 de septiembre de 2018 Germ n Ib ndice general1. A o Septiembre 2018 .. Junio 2018 .. 92. A o Septiembre 2017 .. Junio 2017 .. 213. A o Septiembre 2016 .. Junio 2016 .. 324. A o Septiembre 2015 .. Junio 2015 .. 425. A o Septiembre 2014 .. Junio 2014 .. mayores 2014 .. 566. A o Septiembre 2013 .. Junio 2013 .. 657. A o Septiembre 2012 .. Junio 2012 .. Muestra cn2 diciembre 2011 .. 818. A o Septiembre 2011 .. Junio 2011 .. 9119. A o Septiembre 2010 .. Junio 2010 .. o Septiembre 2009 .. Junio 2009 .. o Septiembre 2008 .. Junio 2008 .. o Septiembre 2007 .. Junio 2007 .. o Septiembre 2006 .. Junio 2006.

2 O Septiembre 2005 .. Junio 2005 .. o Septiembre 2004 .. Junio 2004 .. 168 SELECTIVIDAD Matem ticas II ( MURCIA ) 1A o Septiembre 2018 CUESTI N :Considere la matrizA= 2 13 2 a) Compruebe que la matrizAes regular (o invertible) y calcule su ) Determine la matrizXque cumple la ecuaci nA X=A+At, dondeAtes la matriztraspuesta Sep 2018 Soluci n:a) Para que una matriz tenga inversa el determinante ha de serdistinto de 0.|A|= 4 3 = 1La inversa es la adjunta de la traspuesta dividida por el determinante:HallamosA 1;|A|= 1;At= 2 31 2 ;adj(At) = 2 1 3 2 ;A 1= 2 1 3 2 b)A X=A+Atmultiplicando por la izquierda por la inversa deA:A 1A X=A 1(A+At);X=A 1(A+At)A+At= 2 13 2 + 2 31 2 = 4 44 4 ;X=A 1(A+At) = 2 1 3 2 4 44 4 = 8 4 8 + 412 8 12 + 8 = 4 44 4 CUESTI N :Calcule los siguientes l mites:a)l mx x2+ 2 x2 2 b)l mx 0ln(cosx+ senx)x34A o 2018selcn Sep 2018 Soluci n:a)l mx px2+ 2 px2 2 = == l mx x2+ 2 x2 2 x2+ 2 + x2 2 x2+ 2 + x2 2=suma por diferenciaes diferencia de cua-drados== l mx x2+ 2 2 x2 2 2 x2+ 2 + x2 2= l mx x2+ 2 (x2 2) x2+ 2 + x2 2== l mx 4 x2+ 2 + x2 2= 0b)l mx 0ln(cosx+ senx)x=0/0L H pital= l mx 0 senx+cosxcosx+senx1= l mx 0 senx+ cosxcosx+ senx=11= 1 CUESTI N :a) Calcule la siguiente integral indefinidaZsenx ecosxdxb) Determine el rea del recinto limitado por el ejeOX, las rectas verticalesx= 0yx= /2,y la gr fica de la funci nf(x) = senx ecosxselcn Sep 2018 Soluci n.

3 A) Es casi inmediata, para que est multiplicando la derivada del exponente falta solo el signo:Zsenx ecosxdx= Z( senx)ecosxdx= ecosx+Cb) Entre los l mites de integraci n la funci n es positiva por tanto el rea viene dada directamente por laintegral:Z 20senx ecosxdx= [ ecosx] 20=e cos 2+ecos 0= e0+e1= 1 +eCUESTI N :Considere las rectasrysdadas por la siguientes ecuaciones:r: 2x y+ 3z= 3x+ 3y+ 5z= 1ys:x 52=y1=z 1a) Compruebe que ambas rectas son ) Determine la ecuaci n (en cualquiera de sus formas) del plano que contiene a ambas Sep 2018 Soluci n:a) Hallamos un vector direcci n der ~i~j~k2 1 31 3 5 = 14~i 7~j+ 7~kque es proporcional al vector direcci n des:~vs= (2,1, 1)Es inmediato ver que el punto des:Ps(5,0,0)no verifica la primera ecuaci n derpor tanto no Septiembre 20185 Concluimos que son paralelasb) m todo 1: Necesitamos otro vector direcci n del plano, para ello buscamos un punto der, haciendoz= 0en las ecuaciones der 2x y= 3x+ 3y= 1resolviendox= 1 3y; 2(1 3y) y= 3; 2 6y y= 3; 7y= 1;y= 17;x= 1 +37=107 Tenemos pues el punto der:Pr(107, 17,0), consideramos el vector~PsPr= (107 5, 17,0) = ( 257, 17,0)como s lo nos interesa la direcci n tomamos el vector proporcional(25,1,0)El plano que contiene a las dos rectas paralelas es: x 5yz2 1 125 1 0 =x 25y 23z 5 = 0b) m todo 2:Del haz de planos definido porrtomamos el plano que pasa porPs(5,0,0)2x y+ 3z 3 +k(x+ 3y+ 5z 1) = 0; 10 3 +k(5 1) = 0;k= 742x y+3z 3 74(x+3y+5z 1) = 0; 8x 4y+12z 12 7x 21y 35z+7 = 0.

4 X 25y 23z 5 = 0es el plano N :En una clase hay 40 estudiantes, de los cuales 25 son chicas y el resto son chicos. Adem s,30 estudiantes han aprobado las matem ticas, de los cuales 10 son ) Elegido un estudiante al azar, se ) Cu l es la probabilidad de que no haya aprobado las matem ticas? ) Cu l es la probabilidad de que sea chica y haya aprobadolas matem ticas?b) Si se elige un estudiante que ha aprobado las matem ticas, cu l es la probabilidad deque sea una chica?selcn Sep 2018 Soluci n:Denotamos los sucesosA: chica ;M: aprobar matem ticas Ponemos los datos en una tabla: AAcM1030Mc2540 Completamos la tabla AAcM201030Mc5510251540a)6A o 2018a1:p(Mc) =1040= 0 25a2:p(A M) =2040= 0 5b)p(A/M) =p(A M)p(M)=0 50 75=23= 0 666 CUESTI N :Considere el siguiente sistema de ecuaciones homog neo en funci n del par metroa: ax+y+az= 0x+y+az= 02x+ (a 1)y+az= 0a) Determine los valores del par metro a para los que el sistema tiene nicamente la soluci ntrivial (0,0,0).

5 B) Si es posible, resu lvalo para el valor del par metroa= Sep 2018 Soluci n:Hacemos el determinante de la matriz de coeficientes: a1a1 1a2a 1a = a3+ 3a2 2a= 0;a= 1, a= 2, a= tanto el sistema tiene nicamente la soluci n trivial para los valores deadistintos de0,1,2b) Paraa= 2queda el sistema: 2x+y+ 2z= 0x+y+ 2z= 02x+y+ 2z= 0que es equivalente al sistema: 2x+y+ 2z= 0x+y+ 2z= 0 2x+y= 2zx+y= 2zrestandox= 0y entoncesy= 2z. La soluci n es: x= 0y= 2tz=t;t RCUESTI N :Considere la funci nf(x) =x 18 x2con 4< x < ) Calcule la derivada def(x)y determine sus puntos cr ) Justifique si la funci nf(x)tiene alg n m ximo o m Sep 2018 Soluci n:a) y b) Derivamos y anulamos la derivada:f (x) =p18 x2+x 2x2 18 x2=p18 x2 x2 18 x2=18 2x2 18 x2= 0; 18 2x2= 0, x= 3 Estudiamos el crecimiento:x 33y + y M NIMOM Septiembre 20187 CUESTI N :a) Calcule la siguiente integral indefinidaZxlnx ) Determine la primitiva de la funci nf(x) =xlnxque pasa por el punto de coordenadas(1,0).

6 Selcn Sep 2018 Soluci n:a)Zxlnx dx=(u= lnx;du=1xdxdv=x dx, v=x22)= lnxx22 Zx22 1xdx= lnxx22 Zx2dx= lnxx22 x24+Cb) SeaF(x)la primitiva: tenemosF(1) = 0 : ln 112 14+C= 0;C=14La primitiva que pasa por(1,0)esF(x) = lnxx22 x24+14 CUESTI N :Considere los puntosP= (1,1,3)yQ= (1,5,0)y la rectardada por la ecuaci n:r: 2x y 2z= 3 x+y= 4a) Compruebe que el puntoPno est en la rectary que el puntoQs lo est .b) Determine el puntoRde la rectartal que el tri nguloP QRsea un tri ngulo rect nguloenP(es decir, con ngulo recto en el v rticeP).c) Calcule el rea de dicho tri nguloP Sep 2018 Soluci n:a) El puntoP= (1,1,3)no cumple la segunda ecuaci n derluego no est enrEl puntoQ= (1,5,0)cumple las dos ecuaciones derluego s est enrb) Pasamos la recta a param tricas resolviendo el sistema indeterminado:r: 2x y= 3 + 2z x+y= 4por Cramerx= 3 + 2z 14 1 1= 1 + 2z,y= 2 3 + 2z 14 1= 5 + 2zr: x= 1 + 2ty= 5 + 2tz=tt RUn punto gen rico deresR(1 + 2t,5 + 2t, t).

7 Consideramos los vectores~P Q= (1 1,5 1,0 3) = (0,4, 3);~P R= (1 + 2t 1,5 + 2t 1, t 3) =(2t,4 + 2t, 3 +t), hacemos que sean perpendiculares: el producto escalar ha de ser 0.~P Q ~P R= 0 + 4(4 + 2t) 3( 3 +t) = 25 + 5t= 0;t= 5El puntoRresulta serr: x= 1 + 2( 5) = 9y= 5 + 2( 5) = 5z= 5R( 9, 5, 5)c) m todo 1El rea del tri ngulo viene dada porS=12|~P Q ~P R|;~P R= ( 9 1, 5 1, 5 3) = ( 10, 6, 8)8A o 2018~BA ~BC= ~i~j~k04 3 10 6 8 = 50~i+ 30~j+ 40~k;S=12p502+ 302+ 402= 50002=50 22=25 2, u2c) m todo 2 Como~P Q,~P Rson los catetos del tri ngulo rect ngulo,S=12|~P Q| |~P R||~P Q|p02+ 42+ 32= 5~P R= ( 9 1, 5 1, 5 3) = ( 10, 6, 8);|~P R|=p102+ 62+ 82= 200 = 10 2S=125 10 2 = 25 2, u2 CUESTI N :Realizada una encuesta entre los habitantes de una ciudad, se ha llegado a la conclusi n deque el 40 % de sus habitantes lee habitualmente el peri dico local, el 30 % lee revistas delcoraz n y el 20 % lee ambos tipos de publicaciones.

8 Elegido unhabitante al azar, se pide:a) Cu l es la probabilidad de que lea al menos alguno de los dos tipos de publicaciones?b) Cu l es la probabilidad de que no lea ninguno de los dos tipos de publicaciones?c) Cu l es la probabilidad de que lea solo revistas del coraz n?selcn Sep 2018 Soluci n:Sea:A=leer peri dico local ;B=leer revistas del coraz n. Losdatos son:p(A) = 0 40;p(B) = 0 30;p(A B) = 0 20a) Leer alguno es la uni n:p(A B) =p(A) +p(B) p(A B) = 0 40 + 0 30 0 20 = 0 50;por tanto el 50 % lee al menos algunob) No lea ninguno es lo contrario del anterior por tanto:p(Ac Bc) = 1 0 50 = 0 50c) Es quitarle aBla intersecci n:p(B Ac) = 0 30 0 20 = 0 Junio Junio 2018 CUESTI N ) Considere la matrizA= 1 0 20 1 00 0 1 .a) calcule las potencias sucesivasA2, ) Cu l ser la expresi n general de la potenciaAnpara cualquier valor den?

9 Selcn Jun 2018 Soluci n:a)A2= 1 0 20 1 00 0 1 . 1 0 20 1 00 0 1 = 1 0 40 1 00 0 1 A3= 1 0 40 1 00 0 1 . 1 0 20 1 00 0 1 = 1 0 60 1 00 0 1 A4= 1 0 60 1 00 0 1 . 1 0 20 1 00 0 1 = 1 0 80 1 00 0 1 b) La expresi n general de la potenciaAnpara cualquier valor den? ser :A4= 1 0 2n0 1 00 0 1 CUESTI N ) Descomponga el n mero 10 en dos sumandos positivos de manera que la suma de uno deellos m s el doble del logaritmo (neperiano) del otro sea m ) Calcule dicha suma m Jun 2018 Soluci n:a) Los n meros sonxy10 xf(x) = 10 x+ 2 lnxha de ser m xima. Veremos el crecimiento con el signo de la derivada:f (x) = 1 +2x= 0;2x= 1;x= 2x2f + f Hay un m ximo enx= ) La suma m xima esf(2) = 10 2 + 2 ln 2 = 8 + 2 ln 2 = 9 386 CUESTI N ) Calcule la siguiente integral indefinidaZx 2x2+ o 2018b) Determine el rea del recinto limitado por el ejeOX, las rectas verticalesx= 0yx= 2,y la gr fica de la funci nf(x) =x 2x2+ Jun 2018 Soluci n:a)Zx 2x2+ 1dx=Zx 2x2+ 1 12dx=14Z4x 2x2+ 1 12dx=14 2x2+ 1 1212=12p2x2+ 1 + ) Como la funci n es positiva en el intervalo, la integral definida da directamente el rea:S=Z20x 2x2+ 1dx=12hp2x2+ 1i20=12( 9 1) =12 2 = 1u2 CUESTI N el plano dado por la ecuaci n3x 2y+z= ) Estudie la posici n relativa del plano y de la rectardada porr: x+ 3y+ 3z= 0y+ 2z= 1b) En caso de que la rectarsea paralela al plano , calcule la distancia entre ambos.

10 Encaso de que la rectarcorte al plano , calcule el punto de corte y el ngulo de corte Jun 2018 Soluci n:Pasamos la recta a param tricas resolviendo el sistema indeterminado:r: x+ 3y+ 3z= 0y+ 2z= 1 x+ 3y+ 3z= 0y= 1 2z x= 3y 3zy= 1 2z x= 3(1 2z) 3z= 3 + 3zy= 1 2zr: x= 3 + 3ty= 1 2tz=t;t R. Luego parar:P( 3,1,0)es un punto, y~v= (3, 2,1)es un vector direcci vector ortogonal de es~w= (3, 2,1), el mismo, por tanto la recta y el plano se cortan y lo ) El ngulo es pues900. Para hallar el punto de corte sustituimos las param tricasderen la ecuaci n de :3( 3 + 3t) 2(1 2t) +t= 3; 14t= 14;t= 1, sustituyendo enr: x= 3 + 3y= 1 2z= 1Da como punto decorteQ(0, 1,1)CUESTI N m quina funciona en modo autom tico el 70 % de los d as y elresto de los d as funcionaen modo manual. La probabilidad de que tenga un fallo cuando funciona en modo autom ticoes 0 15.