Series y transformadas de Fourier

1 Cap tulo 2 Series y transformadas deFourierLas Series de Fourier son Series de t rminos coseno y seno y surgen enla tarea pr ctica de representar funciones peri dicas generales. Como apli-caci n constituyen una herramienta muy importante en la soluci n de prob-lemas en los que intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias y teor a de las Series de Fourier es bastante complicada, pero la apli-caci n de estas Series es simple. Las Series de Fourier son, en cierto sentido,m s universales que las Series de Taylor, ya que muchas funciones peri dicasdiscontinuas pueden desarrollarse enserie de Fourier , pero, desde luego, notienen representaciones en serie de introducci n de las Series de Fourier (y de las integrales de Fourier )fue uno de los mayores avances jamas realizados en la f sica matem ticay en sus aplicaciones en la ingenier a, ya que las Series de Fourier (y lasintegrales de Fourier ) son probablemente la herramienta m s importante enla soluci n de problemas con valores en la frontera.

2 Esto se explicar en elcap tulo transformada de Laplace es con mucho la transformada integral m simportante en ingenier a. Desde el punto de vista de las aplicaciones, las siguientes en importancia ser an quiz s la transformada de Fourier , a n cuan-do su manejo resulta un tanto m s dif cil que la transformada de Series trigonom tricasDiremos que una funci n ( )es peri dica, o peri dica, si est definidapara todo Rysiexiste 0,talque ( + )= ( )para todo R.( )12 Domingo Alcaraz CandelaAl n mero lo llamaremos periodo de ( ).Lagr fica de esta funci nse obtiene por repetici n peri dica de su gr fica en cualquier intervalo delongitud .Ejemplo 1 Las funcionessin ycos son funciones peri dicas de periodo2 . Las funciones constantes son funcionesperi dicasdecualquierperiodo(en el sentido de la definici n).

3 Ejemplo de funciones que no son peri dicas son , 2, yln .Si ( )y ( )tienen periodo , entonces la funci n ( )= ( )+ ( )con R, tambi n tiene periodo . Por ( ) se tiene que para cualquier Z ( + )= ( )para todo R por tanto, 2 3 tambi n son periodos1de ( ).El problema principal de este cap tulo ser la representaci n de variasfunciones de periodo =2 en t rminos de las funciones simples, de periodo2 ,{1 cos sin cos (2 ) sin (2 ) cos ( ) sin ( ) }llamadosistema trigonom 2 3 1Si una funci n peri dica ( )tiene un periodo 0que es el m s peque o de todos,este se denomina el periodo primitivo de ( ). Por ejemplo, el periodo primitivo desin es2 y el periodo primitivo desin (2 )es . Una funci n peri dica sin periodo primitivoes . Series Trigonom 2 3 El sistema trigonom trico1 cos sin cos (2 ) sin (2 ) cos ( ) sin ( ) esortogonalen el intervalo[ ](y, en consecuencia, en cualquier inter-valo de longitud2 , debido a la periodicidad).

4 Por definici n esto significa que la integral del producto2de cualesquierados de estas funciones diferentes sobre dicho intervalo es cero, es decir, paratodo N,Z 1cos( ) =Z 1sin( ) =0( )Z cos ( )sin( ) =0( )Z cos ( )cos( ) = 0si 6= , si = .( )Z sin ( )sin( ) = 0si 6= , si = .( )Las Series que surgir n ser n de la forma 02+ 1cos + 1sin + 2cos (2 )+ = 02++ X =1( cos ( )+ sin ( ))( )2 Recordar quesin sin =2 sin 2 cos 2cos +cos =2 cos + 2 cos 2cos cos = 2 sin + 2 sin 24 Domingo Alcaraz Candeladonde 0 1 2 1 2 son constantes reales. Estas Series se llamanse-ries trigonom tricas3yaloscoeficientes{ }+ =0y{ }+ =1se les llamacoeficientes de la t rmino de la serie ( ) tiene periodo2 .Portantosilaserie( )converge, su suma ser una funci n de periodo2.

5 Serie de FourierLas funciones peri dicas que se presentan en problemas pr cticos con fre-cuencia son bastante complicadas y es deseable representarlas en t rminosde funciones peri dicas simples. Se ver que casi cualquier funci n peri di-ca ( )de periodo2 que aparezca en las aplicaciones (por ejemplo, conrelaci n a vibraciones) puede representarse por una serie trigonom trica lacual se denominar serie de Fourier de .Las Series de Fourier surgen de la tarea pr ctica de representar unafunci n peri dica ( )dada en t rminos de funciones coseno y seno. Estasseries son trigonom tricas cuyos coeficientes se determinan a partir de ( )mediante ciertas f rmulas (f rmulas de Euler), las cuales se establecer nprimero. Despu s se considerar la teor a de las Series de F rmulas de Euler para los coeficientes de FourierSupongamos que ( )es una funci n peri dica de periodo2 que puederepresentarse por una serie trigonom trica ( )= 02++ X =1( cos ( )+ sin ( )),( )es decir, se supone que esta serie converge y que tiene a ( )como su una funci n ( )como esta, quieren determinarse los coeficientes y de la serie trigonom trica integrar ambos miembros de ( ) se obtieneZ ( ) =Z " 02++ X =1( cos ( )+ sin ( ))# 3 Recordar que cualquier situaci n en la que est involucrada una serie funcional suconvergencia requiere preocuparse por el comportamiento de sus sumas parciales ( )= 02+ =1( cos ( )+ sin ( )).

6 Series de Fourier5Si es posible realizar la integraci n t rmino a t rmino de la serie4,seobtieneZ ( ) = 02Z ++ X =1 Z cos ( ) + Z sin ( ) .Claramente el primer t rmino del segundo miembro 02Z =2 s sabemos de ( ) que las integrales del segundo miembro son ,Z ( ) = 0 ,es decir, 0=1 Z ( ) Determinemos ahora 1 2 y 1 2 Multipliquemos ( ) porcos ( ), donde Z+,eintegremosde a :Z ( )cos( ) =Z 0++ X =1( cos ( )+ sin ( ))!cos ( ) Al integrar t rmino a t rmino, se observa que el segundo miembro queda 0Z cos ( ) ++ =1 Z cos ( )cos( ) + Z sin ( )cos( ) .Sabemos de ( ) que la primera integral es cero. Adem s de ( )+ X =1 Z cos ( )cos( ) = y de ( )+ X =1 Z sin ( )cos( ) = idea consiste en suponer que la serie es uniformemente convergente, lo que permiteintegrar t rmino a t Alcaraz CandelaConsecuentementeZ ( )cos( ) = para todo Z+.

7 Para determinar 1 2 se razona de manera an loga a lo anterior peroahora multiplicando ( ) porsin ( ), donde Z+Al escribir en lugar de , se obtienen las llamadasf rmulas de Euler =1 R ( )cos( ) para todo 0. =1 R ( )sin( ) para todo 0.( )Los n meros dados por ( ) se denominancoeficientes de Fourierde ( ). La serie trigonom trica ( )= 02++ X =1( cos ( )+ sin ( ))( )con coeficientes{ }+ =0y{ }+ =1dados por ( ) se denominaserie deFourier de ( )(sin atender la convergencia, sta la discutiremo m s ade-lante)Ejemplo 2 Onda cuadradaDeterminar los coeficientes de Fourier de la funci n5 ( )= si 0, si0 .y ( +2 )= ( ) Las gr ficas de las cuatro primeras sumas parciales{ }4 =1de la Serie5 Funciones de este tipo se presentan como fuerzas externas que act an sobre sistemasmec nicos, fuerzas electromotrices encircuitos el ctricos, etc (el valor de ( )en un s lopuntonoafectalaintegral,porloquepueded ejarseindefinida ( )en =0y = ) Series de Fourier7de Fourier de esta serie son-3-2-1123-4-224xy 1=4 sen -3-2-1123-4-224xy 2=4 sen +13sen 3 -3-2-1123-4-224xy 3=4 2P =012 +1sen (2 +1) -3-2-1123-4-224xy 4=4 3P =012 +1sen (2 +1) Convergencia de la serie de FourierSupongamos que ( )es cualquier funci n peri dica dada de periodo2 para la que existen las integrales de ( ); por ejemplo, ( )es continua otan s lo continua a trozos.

8 Entonces pueden calcularse los coeficientes deFourier ( ) de ( )y utilizarlos para formar laserie de Fourier ( ) de ( ). Ser a muy conveniente que la serie as obtenida convergiera y tuvierala suma6 ( ). La mayor a de las funciones que se presentan en las aplica-ciones son tales que esto se cumple (salvo en los saltos de ( ), los cualesdiscutiremos a continuaci n). En este caso, cuando la serie de Fourier ( )6 Pero no siempre ocurre as , pues existen muchas funciones integrables e incluso con-tinuas, cuya serie de Fourier converge en uno o m s Alcaraz Candelade ( )representa a ( ),seescribe ( )= ( )con un signo de igualdad. Si la serie de Fourier de ( )no tiene la suma ( )o no converge, escribiremos ( ) ( )con una tilde , lo que indica que la serie trigonom trica del segundo miem-bro tiene los coeficientes de Fourier de ( )como coeficientes7,porloquese trata de la serie de Fourier de ( ) Elsiguientepasoesplantearelproblemadelac onvergenciadelaseriede Fourier : hasta qu punto la serie de Fourier de una funci n es una rep-resentaci n v lida de la misma.

9 Nuestro prop sito es presentar de maneraadecuada un conjunto de condiciones que garanticen que la serie de Fourierde una funci n no solamente converja, sino que adem sconverjaalafunci n suficiente de convergencia puntual deuna serie de FourierSea ( )una funci n2 -peri dica8, continua a trozos en el intervalo[ [y que tiene derivada por la izquierda y por la derecha en todo puntode dicho intervalo. Entonces la serie de Fourier de ( )converge y su suma9es 02++ X =1( cos ( )+ sin ( )) = ( +)+ ( ) 3 Onda cuadrada7 Empezaremos por poner de manifiesto que la serie de Fourier de una funci n integrableen el intervalo[ ]no est determinada biun vocamente por la funci n. Por ejemplo,dos funciones que coinciden en todo el intervalo[ ],salvoenunn merofinito depuntos, definen la misma serie de tanto al considerar Series de Fourier , asumiremos que la funci n est definidaen el intervalo (o bien en el intervalo )y que para los otros valoresde la variable , viene determinada por la condici n ( +2 )= ( ).]]

10 9 Observar que si ( )es continua en 0, entonces 0 = +0 = ( 0)ylaseriedeFourier converge a ( 0)ya que ( +0)+ ( 0)2= ( 0)+ ( 0)2= ( 0). Otras formas de las Series de Fourier9La onda cuadrada del Ejemplo 2 tiene un salto en 0= l mite por la izquierda es y su l mite por la derecha es ,porloqueel promedio de estos l mites es0. La serie de Fourier de la onda cuadradaconverge en realidad a este valor cuando =0ya que entonces todos sust rminos son cero. Se procede de manera similar para los otros saltos. (Estoconcuerda con el Teorema ) Otras formas de las Series de FourierLa forma can nica de las Series de Fourier es la que hemos estado uti-lizando hasta el momento, donde la funci n en cuesti n estaba definida sobreel intervalo[ [, Serie de Fourier para una funci n de periodo2 En muchas ocasiones es deseable adaptar la forma de una serie de Fouriera funciones peri dicas de periodo =2 0en el intervalo[ [.]]]]