Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ...

1 Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ecuaciones diferenciales Jos Salvador C novas Pe a 8 de enero de 2008. ndice General 1 Transformada de Laplace 5. Funciones continuas a trozos. Funci n de Heaviside .. 5. Definici n de Transformada de Laplace .. 6. Definici n y primeros ejemplos .. 6. Dominio de definici n de la Transformada de Laplace .. 8. Propiedades de la Transformada de Laplace .. 9. Linealidad .. 10. Transformada de la derivada .. 11. Transformada de la integral .. 12. Transformada de la convoluci n .. 13. Primer Teorema de Traslaci n .. 14. Segundo Teorema de Traslaci n .. 15. Propiedades de la funci n Transformada de Laplace .. 16. Derivabilidad de la Transformada de Laplace .. 16. Teoremas del valor inicial .. 17. Teorema del valor final .. 18. Transformada de Laplace inversa .. 19. Inyectividad de la Transformada de Laplace .. 19. Transformada de Laplace inversa .. 20. F rmula de inversi n compleja .. 20. 2 aplicaciones 23. Una primera aproximaci n al problema.

2 23. Uso de la convoluci n .. 24. Sistemas de ecuaciones .. 24. Problemas con funciones discontinuas .. 26. Funciones de impulso .. 27. i ndice general Una aplicaci n concreta .. 29. Funciones de transferencia. Estabilidad y control de sistemas el ctricos .. 30. ii Introducci n Vamos a desarrollar un tema sobre la Transformada de Laplace y su aplicaci n a la resolu- ci n de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Estas ecuaciones surgen de manera natural en el contexto de los circuitos el ctricos. Consideremos por ejemplo el t pico circuito LRC de la figura donde la inductancia L, la resistencia R y la capacidad de condensador C se consideran constantes. Se tiene entonces que la carga q(t) que circula por el circuito est dada por la ecuaci n Lq 00 (t) + Rq0 (t) + q(t)/C = V (t), y dado que la intensidad I(t) es la derivada de la carga, sta puede calcularse por la ecuaci n Z t 0. LI (t) + RI(t) + I(s)ds/C = V (t), 0. o equivalentemente con la ecuaci n diferencial LI 00 (t) + RI 0 (t) + I(t)/C = V 0 (t), en el caso en que V (t) sea una funci n derivable.

3 1. Introducci n De forma similar, si tenemos un circuito con varias ramas y m s elementos, como por ejemplo podemos deducir a partir de las leyes de Kircho que las intensidades que circulan por los hilos el ctricos del circuito vienen dadas por .. 0 = I1 I2 I3 , V 0 (t) = I10 R1 + I1 /C1 + I20 R2 , .. 0 = I20 R2 + I300 L + I3 /C2 , Si suponemos los elementos del circuito constantes, salvo a lo mejor el voltaje V (t), que supondremos una funci n derivable, tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. La Transformada de Laplace es una herramienta que permite transformar los problemas anteriores en problemas algebraicos y, una vez resuelto este problema algebraico m s f cil a priori de resolver, calcular a partir de la soluci n del problema algebraico la soluci n del problema de ecuaciones diferenciales. Esta es la forma en que los ingenieros abordan el estudio de estos problemas, como pone de manifiesto las referencias [Oga1], [Sen] o [Jam]. Adem s este m todo es explicado en algunos libros de ecuaciones diferenciales como [BoPr], [Bra], [Jef] o [MCZ].

4 Sin embargo, para entender en su justa dimensi n la Transformada de Laplace hay que 2. Introducci n dominar contenidos b sicos de variable compleja que nuestros alumnos ya han estudiado du- rante el curso (ver por ejemplo [Mur]). As , vamos a presentar la Transformada de Laplace en un primer lugar usando los conocimientos que el alumno tiene de funciones de variable compleja y una vez explicada sta, procederemos a indicar algunas aplicaciones a las ecuacio- nes y sistemas citadas anteriormente. Nuestros alumnos tambi n deben conocer y dominar contenidos relativos a integrales impropias que fueron explicados en la asignatura de primer curso fundamentos matem ticos de la ingenier a. A modo de introducci n hist rica, diremos que la expresi n Z + . F (z) = e zt f (t).. fu acu ada en primer lugar por Pierre Simon Laplace en 1782. Su utilizaci n dentro de la t cnica se debe en su forma rigurosa a Thomas Bromwich, el cual formaliz utilizando las funciones de variable compleja y la Transformada de Laplace un c lculo operacional inventado por Oliver Heaviside para la resoluci n de circuitos el ctricos.

5 3. Introducci n 4. Cap tulo 1. Transformada de Laplace Funciones continuas a trozos. Funci n de Heavisi- de Previamente a introducir la Transformada de Laplace , hemos de concretar qu tipo de funciones vamos a considerar para nuestros problemas. Las funciones que van a ser de im- portancia dentro de la ingenier a son aquellas llamadas continuas a trozos, que a continuaci n definimos. Dados los n meros reales a < b, se dice que la funci n f : [a, b] C es continua a trozos si existe una partici n de [a, b], a = t0 < t1 < .. < tn = b, de manera que f es continua en (ti , ti+1 ), 0 i < n, y existen y son finitos los l mites laterales de f en cada uno de los puntos ti , 0 i n. Una funci n f : [0, + ) C se dice que es continua a trozos si para cada intervalo compacto [a, b] [0, + ) se verifica que f : [a, b] C es continua a trozos. Uno de los primeros ejemplos de funci n continua a trozos es ha : [0, + ) C, donde a es un n mero real mayor o igual que cero. Esta funci n est definida por (. 0 si t < a, ha (t) =.]]]

6 1 si t a, y se conoce en ingenier a con el nombre de funci n de Heaviside. 5. Transformada de Laplace F sicamente, la funci n de Heaviside realiza la funci n de interruptor, de manera que si f : [0, + ) C es una funci n continua se tiene que ha f es la funci n (. 0 si t < a, (ha f )(t) =. f (t) si t a, lo que representa que la funci n ha enciende a la funci n o se al f en el instante de tiempo t = a. Adicionalmente, si consideramos 0 a < b y la funci n ha hb : [0, + ) C, sta tiene la forma (. 0 si t . / [a, b), (ha hb )(t) =. 1 si t [a, b). As , si tomamos ahora la funci n ha f hb f , la funci n hb tiene el efecto f sico de apagar . la funci n f , ya que .. 0 si t < a, (ha f hb f )(t) = f (t) si a t < b, .. 0 si b t. Adem s de estas interpretaciones f sicas, la funci n de Heaviside es til para describir funciones continuas a trozos que a su vez sean continuas por la derecha. Por ejemplo, la funci n .. t si 0 t < 1, f (f ) = t 1 si 1 t < 3, .. sin t si 3 t, puede escribirse como f (t) = t [h0 (t) h1 (t)] + (t 1) [h1 (t) h3 (t)] + sin t h3 (t).]]]]

7 Esta forma de describir funciones continuas a trozos ser til en los siguientes apartados del tema debido a las propiedades de la Transformada de Laplace que posteriormente estudia- remos. Por otra parte hemos de comentar que al venir la Transformada de Laplace definida como una integral, la condici n de ser la funci n continua por la derecha es irrelevante y todas las funciones pueden tomarse de esta forma. Definici n de Transformada de Laplace Definici n y primeros ejemplos Sea f : [0, + ) C una funci n localmente integrable, esto es, existe la integral de Riemann de f en todo intervalo compacto [0, a] [0, + ). Se define la Transformada de 6. Transformada de Laplace Laplace de f en z C como Z + . L[f ](z) = e zt f (t)dt, ( ). 0. siempre que tal integral impropia exista. Como el alumno debe conocer, la convergencia de la integral Z + . |e zt f (t)|dt 0. implica la convergencia de la integral ( ). Denotaremos por Df el dominio de L[f ], es decir, el subconjunto del plano complejo donde la expresi n ( ) tiene sentido.]]

8 A continuaci n vamos a ver ejemplos de Transformadas de Laplace de algunas funciones elementales. Funci n de Heaviside. Sea a 0 y consideremos la funci n de Heaviside ha definida anteriormente. Entonces para todo z C tal que Re z > 0 se verifica Z + Z + . zt L[ha ](z) = e ha (t)dt = e zt dt 0 a Z x za . zt e e zx e za = lim e dt = lim = . x + a x + z z z En particular, cuando a = 0 obtenemos 1. L[h0 ](z) = . z Funci n exponencial. Sea C y consideremos la funci n exponencial f (t) = e t . Se verifica entonces para todo z C tal que Re z > Re . Z + Z + . zt t L[f ](z) = e e dt = e (z )t dt 0 0. Z x . (z )t 1 e (z )x 1. = lim e dt = lim = . x + 0 x + z z z . En particular, si = 0 se verifica que f (t) = 1, con lo que nuevamente 1. L[ha ](z) = para todo z C tal que Re z > 0. z Potencias. Sea n un n mero natural y consideremos la funci n fn (t) = tn . Vamos ver que la Transformada de Laplace de fn viene dada por la expresi n n! L[fn ](z) = para todo z C tal que Re z > 0. z n+1. 7. Transformada de Laplace Para ver esto procedemos por inducci n calculando en primer lugar la Transformada de f1.

9 Integrando por partes obtenemos Z + Z x tz L[f1 ](z) = e tdt = lim e tz tdt 0 x + 0. xz . xe 1 e xz 1. = lim + = , x + z z2 z2. A continuaci n, por la hip tesis de inducci n supongamos que L[fn ](z) = n!/z n+1 y calculemos la Transformada de fn+1 . Consideremos Z + Z x tz n+1. L[fn+1 ](z) = e t dt = lim e tz tn+1 dt. ( ). 0 x + 0. Tomando partes en la expresi n anterior Z x Z. tz n+1 xn+1 e xz n + 1 x tz n e t dt = + e t dt. ( ). 0 z z 0. Combinando ( ) y ( ) concluimos que n+1 (n + 1)! L[fn+1 ](z) = L[fn ](z) = . z z n+2. Funciones peri dicas. Las funciones peri dicas son bastante importantes en inge- nier a debido a que su periodicidad las hace controlables. Sea f : [0, + ) C una funci n peri dica con periodo T . Entonces Z nT n 1 Z. X (j+1)T X. n 1 Z T. tz tz jzT. e f (t)dt = e f (t)dt = e e tz f (t)dt 0 j=0 jT j=0 0. realizando cambios de variable en las integrales y usando que la funci n es peri dica de periodo T . Tomando l mites cuando n + , se verifica para todo z C tal que Re z > 0 la relaci n Z T.]

10 1. L[f ](z) = e tz f (t)dt. 1 e zT 0. Dominio de definici n de la Transformada de Laplace Los ejemplos que anteriormente hemos explicado ponen de manifiesto que la funci n Trans- formada de Laplace de una funci n f : [0, + ) C no tiene porque estar definida en todo el plano complejo. Vamos a estudiar con precisi n c mo es el dominio de definici n de estas funciones, pero consideraremos una clase especial de funciones que tienen lo que llamaremos orden exponencial. 8. Transformada de Laplace Una funci n f : [0, + ) C se dice que tiene orden exponencial si existen constantes A > 0 y B R de manera que para todo t 0 se satisface la condici n |f (t)| AetB . ( ). Denotaremos por E el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial, que ser n las funciones con las que trabajaremos a partir de ahora. El siguiente resultado ofrece una primera aproximaci n sobre el dominio de definici n de la Transformada de Laplace de funciones con orden exponencial. Proposition 1 Sea f : [0, + ) C una funci n continua a trozos cumpliendo la condici n ( ).]]]