La Transformada de Laplace

1 Cap tulo 8La Transformada de LaplaceEn este cap tulo nos ocuparemos de una de las herramientas m s utilizadas en ingenier a pararesolver problemas procedentes de campos tan distintos como pueden ser la Teor a de Circuitos,la Elasticidad Lineal, la Transmisi n de Calor o la Propagaci n de Ondas. Nos referimos a laTransformada de Laplace (L) la cual fue introducida por el matem tico franc s Pierre SimonLaplace en 1782. La idea b sica del uso de las transformadas integrales, no s lo de Laplacesino de otras transformadas como la de Fourier, la de Hilbert, la de Hankel, la de Mell n o latransformada Zeta consiste en lo siguiente: supongamos que estamos estudiando un determina-do fen meno f sico que describimos por mediode un modelo matem tico. Dicho modelo estar formado por una o varias ecuaciones diferenciales (ordinarias o en derivadas parciales) con suscorrespondientes condiciones iniciales y/o de contorno.

2 El problema consiste en resolver dichomodelo matem tico, es decir, resolver una ecuaci n diferencial. Es ahora cuando intervienenlas transformadas integrales, en particular la Transformada de Laplace , para transformar dichaecuaci n diferencial en otra ecuaci n (algebraicao tambi n diferencial), la cual va a resultar m sf cil de resolver que la ecuaci n diferencial de partida. De esta formatransformamosnuestroproblema original complicado en un problema m s sencillo. Resolvemos el problema transforma-do y luego calculamos la Transformada inversa de la soluci n del problema transformado con laesperanza, claro est , de que esta soluci n inversamente Transformada sea la soluci n de nuestroproblema original. En bastantes casos, esta esperanza se convierte en realidad y conseguimos,por este procedimiento, resolver nuestro problema original.

3 Esquem ticamente, lo que estamosdiciendo se puede resumir en algo as como:Problema OriginalSoluci n del ProblemaTransformadoLProblema TransformadoL-1 Soluci n del ProblemaOriginalLa Transformada de Laplace asocia a una funci n de variable realf,definida en el intervalo[0,+ [una nueva funci n de variable complejaL(f),definida en un cierto subconjunto delplano complejo. Entre sus muchas virtudes, la Transformada de Laplace transforma derivadas9798 Cap tulo 8. La Transformada de Laplaceen polinomios, y por tanto, ecuaciones diferenciales ordinarias en ecuaciones algebraicas. Otrade sus virtudes es su car cter inyectivo. Esto es importante por lo siguiente: imaginemos quenuestro problema original tuviese dos soluciones (una de las cuales posiblemente es inadmisiblepor razones f sicas, pero s que es una soluci n matem tica) y que sin embargo el problematransformado tuviese una sola soluci n.]]

4 Puestos a pensar mal, al calcular la transformadainversa podr amos calcular justo la soluci n que es inadmisible f sicamente. Este galimat as no esposible gracias a que la Transformada de Laplace es, como dicen los ingleses, one-to-one, es decir,inyectiva. Es precisamente sto lo que nos dice el Teorema de Lerch. Habitualmente, el mayorproblema en todo el proceso de la Transformada de Laplace es calcular la Transformada obstante, se han desarrollado varios m todos (la mayor a de ellos basados en t cnicas devariable compleja y especialmente en el Teorema de los Residuos) para calcular las transformadasinversas de Laplace de las funciones que aparecen m s frecuentemente en las aplicaciones. Porello disponemos de grandes tablas de transformadas de objetivo esencial de este cap tulo es presentar con rigor y precisi n matem ticos la trans-formada de Laplace y mostrar las ideas que sustentan esta teor a.

5 Somos conscientes de que latransformada de Laplace se convertir en un m todo que se aplicar de manera sistem tica enotras asignaturas de esta titulaci n. Por eso mismo es preciso mostrar, en alg n momento dado(y sin duda esta asignatura es el momento adecuado), qu es lo que se puede y lo que no se puedehacer con esta Transformada . Finalmente tambi n mostraremos algunos ejemplos concretos deingenier a que se pueden resolver con la Transformada de Definici n y Propiedades B sicasEn esta secci n definiremos la Transformada de Laplace y estudiaremos algunas de sus propie-dades m s importantes. En particular, estudiaremos el comportamiento de esta transformadafrente a las operaciones de derivaci n, integraci n y convoluci n :[0,+ [ C,sedefine formalmente la Transformada de Laplace defcomo la funci n de variable complejaL(f)(z)=Z+ 0e ztf(t)dt,donde la integral anterior se entiende en el sentido de Riemann impropio, es decir,Z+ 0e ztf(t)dt=lima + Za0e ztf(t) dominio de la funci nL(f)es el conjunto de n meros complejoszpara los que la integralanterior es convergente.]]

6 Dicho conjunto se denomina dominio de la Transformada de Laplace y lodenotaremos porD(L(f)).Evidentemente, se dice quefes transformable Laplace siD(L(f))6= .Calcularemos ahora la Transformada de Laplace de algunas funciones a<byX[a,b]la funci n caracter stica del intervalo[a, b],esto es,X[a,b](t)= 1sit [a, b]0sit/ [a, b] Definici n y Propiedades B sicas99 Esta funci n aparece frecuentemente en Teor ade Sistemas y se suele llamar tambi n funci nescal n(stepfunction,eningl s). Paracualquierz C\{0}se tiene queL X[a,b] (z)=Z+ 0e ztX[a,b](t)dt=Zbae ztdt=e za e ,entonces es inmediato comprobar queL X[a,b] (0) =b resumenL X[a,b] (z)= e za e zbzsiz6=0b asiz= : Gr fica de la funci n caracter stica del intervalo[a, b].Ejemplo ahora la funci n exponencialf(t)=e t,con tienequeL(f)(z)=Z+ 0e zte tdt=lima Za0e( z)tdt=lima e( z)a 1 quee( z)a=eaRe( z)(cos (aIm ( z)) +isin (aIm ( z))),se tienen las siguientesposibilidades: SiRe ( z)<0,entonceseaRe( z) 0cuandoa + y por tanto,lima + e( z)a=0.

7 SiRe ( z)>0,entonceseaRe( z) + cuandoa + y por tanto,lima + e( z)a= . SiRe ( z)=0,entonces se puede probar que no existe el l mite deeaRe( z)cuandoa + siIm ( z)6=0. En otro caso, es decir, cuandoz= ,entonces es evidenteque no es posible calcular el valor de la Transformada de Laplace en dicho resumen,D(L(f)) ={z C:Rez>Re }yL e t (z)=1z ,z D(L(f)).100 Cap tulo 8. La Transformada de LaplaceAntes de proseguir adelante con el estudio de la Transformada de Laplace , la primera de lascuestiones de las que nos hemos de ocupar es averiguar qu funciones tienen Transformada deLaplace, es decir, hemos de dar un criterio sencillo de comprobar que nos permita saber si unadeterminada funci n tiene Transformada de Laplace o si no la tiene. Para estefindaremos,enprimer lugar, la siguiente definici n R.

8 Se dice que la funci nf:[0,+ [ Ctiene crecimiento expo-nencial de orden en infinito si existe una constanteM>0de modo que e tf(t) Mpara todot porE al conjunto de las funcionesf:[0,+ [ Cque son continuas a trozos ycon crecimiento exponencial de orden en infinito. Por continua a trozos entenderemos que encada intervalo compacto[0,b],conb>0,fescontinuasalvoalo sumoenunn merofinito depuntos, y adem s las discontinuidades en dichos puntos son de resultado que sigue nos proporciona un criterio sencillo de comprobar y que nos permiteaveriguar qu funciones son transformables E para alg n R. Entonces existe la Transformada de Laplace defy sta est definida en el conjuntoD ={z C:Rez> }.Enunciamos a continuaci n algunas propiedades elementales de la Transformada de n (a) , g:]0,+ [ Cdos funciones de modo que los dominios de sutransformada de Laplace , que denotamos porD(L(f))yD(L(g)),sean no vac os.]]]]

9 Paracualesquiera par de n meros , C, existe la Transformada de Laplace de la funci n f+ g,con dominioD(L( f+ g)) =D(L(f)) D(L(g)).Adem s,L( f+ g)(z)= L(f)(z)+ L(g)(z),z D(L( f+ g)).(b)Translaci :]0,+ [ Cya> define la transladada defcomofa(t)= 0si0<t af(t a)sit>aSupongamos quefes transformable Laplace y denotemos porD(L(f))el dominio de sutransformada. Entonces la funci nfaes tambi n transformable Laplace yL(fa)(z)=e azL(f)(z),z D(L(f)).(c)Cambio de :]0,+ [ Cy > la funci ng(t)=f( t),t> quefes transformable Laplace y denotemos porD(L(f))el dominiode su Transformada . Entonces la funci nges tambi n transformable Laplace , el dominiode su Transformada esD(L(g)) = z C:z D(L(f)) yL(g)(z)= 1L(f) z ,z D(L(g)). Definici n y Propiedades B La Transformada de Laplace y la Derivaci nUno de los principales motivos por los que la Transformada de Laplace es ampliamente usadaen ingenier a es porque constituye una herramienta f cil de usar y que permite resolver ciertasecuaciones diferenciales.

10 A continuaci n estudiaremos el comportamiento de esta transformadafrente a las simplicidad, supongamos quef:[0,+ [ Ces de claseC1yquetantofcomof0tienen un crecimiento exponencial de orden en infinito. Paraz D ,si aplicamos la definici nde Transformada de Laplace e integramos por partes se tiene queL f0 (z)=Z 0e tzf0(t)dt=limb e bzf(b) f(0) +zZb0e tzf(t)dt = f(0) +zL(f)(z),donde la ltima igualdad se debe a quef E .La f rmula anterior tambi n vale con s lo pedirquef, f0 E .En general, sifes derivable hasta ordennen]0,+ [ysif(k) E para todo0 k n,entonces, paraz nTk=0D L f(k) se tiene queL f(n) (z)=znL(f)(z) n 1Xk=0zn 1 kf(k)(0+),dondef(k)(0+)=limt 0+f(k)(t). La Transformada de Laplace y la Integraci nEstudiaremos a continuaci n el comportamiento de la Transformada de Laplace respecto de laintegraci n.]]