Systèmes linéaires à 2 inconnues - automaths.com

1 Troisi me - Syst mes 1 Syst mes lin aires 2 inconnues Emilien Suquet, 0 Introduction 2x + y = 4 est une quation lin aire deux inconnues x et y. La r soudre, c est rechercher tous les couples de solutions (x,y) qui v rifient l quation 2x + y = 4. ( 2 , 3 ) n est pas un couple solution car il ne v rifie pas l quation : 2 2 + 3 = 7 4 ( 1 , 3 ) , ( -2 , 8 ) sont des couples solution : 2 1 + 3 = 7 et 2 (-2) + 8 = 7 On dit que deux quations sont quivalentes si elles ont exactement les m me solutions. Si on multiplie, divise, additionne ou soustrait les deux membres d une quation (E) par un m me nombre non nul, on obtient une quation (E ) quivalente (E) Equation lin aire deux inconnues 2 x + 3 y = 84 x + y = 6 est un syst me lin aire deux quations deux inconnues Le r soudre, c est rechercher tous les couples de solutions (x,y) qui v rifient simultan ment les deux quations 2x + 3y = 8 et 4x + y = 6 ( 1 , 3 ) n est pas un couple solution car il ne v rifie pas la premi re quation : 2 1 + 3 3 = 11 8 ( 2 , -2 ) n est pas une solution car il ne v rifie pas la premi re quation ( il v rifie pourtant la seconde ) ( 1, 2 ) est un couple solution.

2 2 1 + 3 2 = 8 ET 4 1 + 2 = 6 On dit que deux syst mes sont quivalent s ils ont exactement les m mes solutions. Il existe des manipulations qui permettent de transformer un syst me (S) en un syst me (S ) quivalent. Nous allons en tudier trois dans le paragraphe suivant Syst me de deux quations lin aires deux inconnues Troisi me - Syst mes 2 I R solution d un syst me Les manipulations A, B et C pr sent es ci-dessous permettent de modifier un syst me sans en modifier ses solutions. Manipulation A : modification d une quation On peut modifier un syst me sans en changer ses solutions en rempla ant une de ses quations par une quation quivalente : 2x + y = 4 x y = -1 2x + y = 4 x = y 1 Manipulation B : substitution 2 x + y = 4 x = y 1 2 ( y 1 ) + y = 4 x = y 1 on peut maintenant terminer la r solution : 2y 2 + y = 4 x = y 1 3y = 6 x = y 1 y = 2x = y 1 y = 2x = 1 ( par substitution ) S = {}()1.

3 2 Lorsque l on r sout un syst me en utilisant seulement la manipulation A et la manipulation B, on dit que l on r sout le syst me par substitution. 2x + 3y = 7x + = 2x + 3y = 7 2x + y = 3 Manipulation C : combinaison lin aire On peut remplacer une des deux quations d un syst me par la somme ( ou la diff rence ) des deux quations du syst me. Il faut alors absolument garder l autre quation. 2x + 3y = 72x + y = 3 2x + 3y = 7( 2x + 3y ) ( 2x + y ) = 7 3 on peut maintenant terminer la r solution : 2x + 3y = 7 2y = 4 2x + 3y = 7 y = 2 2x + 3 2 = 7 y = 2 ( par substitution ) x = = 2 S = {}() ; 2 Lorsque l on r sout un syst me en utilisant la manipulation C, on dit que l on r sout le syst me par combinaisons lin aires.

4 On remplace la seconde ligne par la diff rence des deux lignes du syst me et on garde la premi re. x = y 1 est une quation quivalente x y = -1 On sait que x vaut y 1, on remplace donc dans la premi re quation x par cette valeur : y - 1 2x + 3y = 7 est une quation quivalente x + y = Quelle m thode utiliser ? Vous tes libre du choix moins que l nonc impose la m thode utiliser. Ceci dit, je vous recommande la m thode par combinaisons lin aires car elle permet de limiter d en beaucoup de cas les calculs avec des fractions. Troisi me - Syst mes 3 III Interpr tation graphique Reprenons l exemple du I : 2x + y = 4 x y = -1 On peut crire ce syst me sous la forme : y = 4 2xy = x + 1 ( on a effectu une modification de type A ) On remarque que les deux quations sont crites sous la forme d quation de droite : (d1) : y = 4 2x (d2) : y = x + 1 Tra ons ces deux droites : (d1) : x 0 3 (d2) : x 0 4 y 4 -2 y 1 5 xy-6-4-20246-6-4-20246(d2)(d1) Le couple de coordonn e ( 1 ; 2 ) point d intersection des deux droites est donc solution du syst me.

5 Attention : il ne s agit ici que d une lecture graphique qui ne peut tre une m thode valable pour obtenir les solutions exactes d un syst me. Les coordonn es de tous les points sur cette droite v rifient l quation y = 4 2x Le point A est sur les deux droites, ses coordonn es v rifient donc les deux quations y = x + 1 et y = 4 2x . Les coordonn es de tous les points sur cette droite v rifient l quation y = x + ! A Tableau de valeurs pour tracer la droite (d2) Troisi me - Syst mes 4 II V rification, pr sentation La r solution d un syst me entra ne un nombre important de calculs. Il y a donc un grand risque que vous commettiez des erreurs d tourderie. Pour minimiser ce risque vous ferez donc bien attention v rifier votre r sultat et bien pr senter votre r solution.

6 V rification Il est tout d abord indispensable de toujours v rifier sa solution lors d une r solution de syst me. Reprenons un exemple du I : 2x + y = 4 x y = -1 S = {}()1 ; 2 V rifions : 2 1 + 2 = 2 + 2 = 4 pas de probl me pour la premi re quation 1 2 = -1 pas de probl me pour la seconde quation Conclusion : la solution trouv e est bonne Remarque : cette v rification doit se faire sur votre brouillon, sauf si l nonc de l exercice le demande. Pr sentation Si vous avez d tect une erreur il va donc falloir relire votre travail. Il est donc essentiel que celui-ci soit parfaitement pr sent . D autre part, une r solution de syst me non pr sent e correctement comme ci-dessous pourra ne pas tre lue par un correcteur.

7 M thode par substitution : il suffit juste d indiquer le moment o vous effectuer la substitution. M thodes par combinaisons lin aires : il faut indiquer comme ci-dessous les op rations que vous effectuez sur les lignes. 2 x + 3 y = 7 (L1) x + y = (L2) 2 x + 3 y = 7 (L1) 2 x + y = 3 (L2) 2 x + 3 y = 7 2 y = 4 2 x + 3 y = 7 y = 2 2 x + 3 2 = 7 y = 2 ( par substitution ) x = 12 y = 2 S = 12 ; 2 2 (L2) (L1) ( L2)