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1 THEOREME DE THALES Emilien Suquet, I Le th or me de Thal s ? Thal s est un math maticien grec qui aurait v cu au VI me si cle avant J sus Christ. Nous ne le connaissons qu travers les crits de Sophocle, de Pappus et d autres. On peut en fait seulement lui attribuer les quatre r sultats math matiques suivants : A la fin du 19 me si cle, une preuve d histoire des math matiques avait t introduite dans les preuves de recrutement des professeurs de math matiques. Il tait donc de bon go t cette poque d associer chaque th or me son auteur. Le th or me ci-dessous a t trop rapidement attribu Thal s mais n anmoins on a conserv par habitude cette d nomination.

1 © www.automaths.com THEOREME DE THALES Emilien Suquet, suquet@automaths.com I Le théorème de Thalès ? Thalès est un mathématicien grec qui aurait vécu au VI ème siècle avant Jésus Christ.

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1 1 THEOREME DE THALES Emilien Suquet, I Le th or me de Thal s ? Thal s est un math maticien grec qui aurait v cu au VI me si cle avant J sus Christ. Nous ne le connaissons qu travers les crits de Sophocle, de Pappus et d autres. On peut en fait seulement lui attribuer les quatre r sultats math matiques suivants : A la fin du 19 me si cle, une preuve d histoire des math matiques avait t introduite dans les preuves de recrutement des professeurs de math matiques. Il tait donc de bon go t cette poque d associer chaque th or me son auteur. Le th or me ci-dessous a t trop rapidement attribu Thal s mais n anmoins on a conserv par habitude cette d nomination.

2 Il serait plus sage de nommer le th or me suivant th or me en hommage Thal s : Configuration : ABC un triangle avec M un point de (AB) et N un point de (AC). Si (BC) et (MN) sont parall les alors AMAB = ANAC = MNBC (et A,M et B align s dans le m me ordre que A,N et C) Remarques : On peut donc utiliser le th or me de Thal s dans les trois configurations suivantes : Dans le cas o M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC] on se retrouve dans la configuration de la r ciproque du th or me de la droite des milieux. A B C M N Le diam tre d un cercle coupe ce m me cercle en deux parties de m me aire. Deux angles oppos s par le sommet sont de m me mesure. Si un triangle est inscrit dans un cercle tel que l un de ses c t s soit le diam tre de ce cercle alors ce triangle est rectangle.

3 Les angles la base d un triangle isoc le sont de la m me mesure. A B C N M N A B C M configuration 4 me configuration dite papillon 2 II D monstration du th or me par Euler Le th or me de Thal s devrait plut t tre attribu Euclide, qui au III me si cle avant JC, en donna la premi re d monstration. Voici, en criture moderne, un extrait de cette d monstration. Cette d monstration n est pas apprendre mais faire l effort de la comprendre oblige un travail sur les aires int ressant. Or Aire(AMC) = Aire(ANB) d apr s 2) Donc AMAB = ANAC Remarque : Euler n a pas d montr l autre partie de l galit AMAN = MNBC et n a pas voqu la configuration papillon que nous avons d montr en activit.

4 B C A M N B C A M N h B C A M N B C A M N H1 A M N H2 C B Aire(MBC) = Aire(NBC) = BC h2 Aire(AMC) = Aire(ABC) Aire(MBC) Aire(ABN) = Aire(ABC) Aire(NBC) D apr s 1) on a : Aire(MBC) = Aire(NBC) Donc Aire(AMC) = Aire(ABN) Aire (AMC) = AM CH12 Aire (ABC) = AB CH12 D o Aire (AMC) Aire (ABC) = AMAB Aire (ANB) = AN BH22 Aire (ABC) = AC BH22 D o Aire (ANB) Aire (ABC) = ANAC 3 On peut consid rer que le disciple se tient bien droit et que donc (MN) // (BC) III Un exemple d utilisation du th or me de Thal s Une l gende raconte que Thal s se serait servi du th or me pr c dent pour mesurer la hauteur d une pyramide. Voici comment il aurait proc d : A un moment ensoleill de la journ e, Thal s place un de ses disciples de telle sorte que son ombre co ncide avec celle de la pyramide comme sur le sch ma.

5 Il prend alors les mesures suivantes : CD = 115 m ; DM = 163,4 m ; AM = 3,5 m ; MN = 1,8 m (taille du disciple) Il effectue alors le raisonnement suivant (r dig en langage moderne) : Dans le triangle ABC on a : - N [AB] - M [AC] - (MN) // (BC) D apr s le th or me de Thal s, on a donc AMAC = ANAB = MNBC D o 3,5AC = ANAB = 1,8BC Or AC = AM + MD + CD = 3,5 + 163,4 + 115 = 281,9 m 3,5281,9 = 1,8BC 3,5 BC = 1,8 281,9 3,5 BC = 507,42 BC = 145,0 0,1 pr s La pyramide a donc une hauteur de 145 m 10 cm pr sA B C M N D Longueur de l ombre du disciple Longueur de l ombre de la pyramide Demi largeur de la base de la pyramide hauteur de la pyramide 4 IV La r ciproque du th or me de Thal s Toujours dans les El ments d Euclide ( Livre 6, proposition 2 ), on trouve une d monstration de la r ciproque du th or me de Thal s : ABC un triangle avec M un point de (AB), N un point de (AC).

6 Si A,M,B align s dans le m me ordre que A,N et C et ABAC = AMAN alors (BC) et (MN) sont parall les. D monstration : admise Euclide ne pr cise pas dans son livre que les points doivent tre align s dans le m me ordre, ce qui rend l nonc et sa d monstration erron e. Remarque : On note que la r ciproque du th or me de Thal s correspond dans le cas o SNSB = SMSA = 12 au th or me de la droite des milieux. Exercice type : On a SM = 2 ; SA = 6 ; SN = 3 ; SN = 9 D montrez que (AB) et (MN) sont parall les. Correction : Comparons SMSA et SNSB SMSA = 26 = 13 SNSB = 39 = 13 Dans le triangle ABS on a : - S,M,A align s dans le m me ordre que S,N,B - SMSA = SNSB D apr s la r ciproque du th or me de Thal s, Donc (MN) est parall le (AB) Il faut faire extr mement attention lorsque l on compare les rapports ne pas faire d approximations.

7 En effet, si on a SMSA 1,33 0,01 pr s et SNSB 1,33 0,01 pr s on ne peut pas du tout savoir si les deux rapports sont gaux. V Th or me de Thal s et proportionnalit Dans son livre Les El ments , Euclide nonce le th or me de Thal s et sa r ciproque ainsi : Si une certaine droite est men e parall le l un des c t s d un triangle, elle coupera les c t s du triangle en proportion. Il a une approche du th or me de Thal s par la proportionnalit . Essayons de comprendre : S A B M N On constate que SMSA = SNSB 5 Ce qu crit Euclide est que si (MN) est parall le (BC) alors les longueurs des cot s des triangles AMN et ABC sont proportionnelles entre elles. C est dire que le tableau ci-dessous est proportionnel : Cot du triangle AMN AM AN MN Cot du triangle ABC AB AC BC Par exemple, si AM repr sente le tiers de AB alors AN repr sentera le tiers de AC et de m me pour MN par rapport BC De cette notion de proportionnalit , on trouve une application math matique dans le d coupage d un segment en trois parties de m me longuer au compas et l querre non gradu e.

8 Remarque : on applique aussi cette m thode pour diviser un segment en autant de morceaux de m me mesiure que l on souhaite A B C M N Situation initiale Etape 1 Etape 2 On trace une demi droite d origine A. On prend une ouverture de compas quelconque et on place les points M1, M2 et M3 de telle sorte que : AM1 = M1M2 = M2M3 Ainsi AM1 vaut le tiers de AM3 et AM2 les deux tiers de AM3 On trace le segment [M3B], puis la parall le ce segment passant par M1. Elle coupe [AB] en N1. AM1 repr sentant le tiers de AM3, il en va de m me de AN1 par rapport AB. Mission accomplie ! A B A B M1 M2 M3 A B M1 M2 M3 N1 N2