Teoremi di Stokes, della divergenza e di Gauss{Green.

1 Matematica3 { EsercitazioniTeoremidi Stokes, delladivergenzae di Gauss{ :Calcolarel'areadeldominioTavente per frontierala lineachiusa di equazioniparametriche :(x= (1 t)2ty= (1 t)t;t2[0;1]Soluzione:Possiamoutilizzarei ndi erentemente unadelletreformule(giusti catedalteoremadi Gauss{Green)Area(T) =I +x dy=I + y dx=I +x2dy y2dx:Bisognaper o stabilirese la parametrizzazioneassegnataallafrontierai nducesudi essao-rientazionepositiva o negativa. Unmetodoper farlo e quellodi determinarela direzionee ilversodi unvettoretangente allacurva in vettore tangente a hacomponenti (t) = ((1 t)(1 3t);1 2t) dunque,pert=12 e = ( 14;0), o si deducechel'orientazionesu e quellainsensoantiorarioe quindipositiva. Calcoliamoquindil'areasecondola primadelletreformuleprecedenti:Z ZTdx dy=I +x dy=Z10x(t)y0(t)dt=Z10(1 t)2t(1 2t)dt= 12t2 43t3+54t4 25t5 10=160:Esercizio2 :Calcolarel'areadeldominiotratteggiatoin guradi frontiera = 1[ 2[ 3ove 1=f(x; y)2R2; x2+y2 x= 0; y 0ge 2haequazionein coordinatepolari =e con 2[0; 2].)]]}}}

2 Soluzione:Determiniamodapprimaunaparamet rizzazioneper la frontiera che inducasu1di essaorientazionepositiva. Si ha 1:8> <>:x=12+12cos( )y=12sin( ); 2[0; ]; 2:(x=e cos y=e sin ; 2[0; 2]e 3:(x= 0y=e 2 t;t2[0; e 2]:Utilizziamoorala formulaArea(T) =I +x2dy y2dx:Considerandocheil contributoall'integraledeltratto 3 e nullo,si haI +x2dy y2dx=Z 1x2dy y2dx+Z 2x2dy y2dx=12Z 0 12+12cos( ) 12cos( ) 12sin( )12sin( ) d +12Z 20he2 cos (sin + cos ) e2 sin (cos sin )id = 12Z 0 14+14cos( ) d +12Z 20e2 d = 18sin( ) 18 0+ 14e2 20= 8+14e 14:Esercizio3 :Usandoil teoremadi Gauss{Green,calcolarel'integraledoppioZ ZTy dx dyoveT e il dominioin gura,di frontiera@T= 0[ 1[ 2con 0:(x=t sinty= cost 1;t2[0;2 ] 1:(x= 2 cos3ty= 2 sin3t;t2[0; 2]Soluzione:Per poterapplicareil teoremadi Gauss{Green,dobbiamodeterminareuncampoF= (f1(x; y); f2(x; y)) taleche@xf2(x.)))))]]}}

3 Y) @yf1(x; y) =y. Unasceltapossibile e la seguente:2f1(x; y) = y22,f2(x; y) = 0. Il teoremadi G{Ga ermaquindiZ ZTy dx dy=I@T+ y22dx:Nonabbiamobisognodi calcolareunaparametrizzazionedeltratto 2poich e su di essox ecostante dunquex0(t) = 0. Inoltre,le parametrizzazioniassegnateai tratti 0e 1induconosu di essiorientazionepositiva. Si haquindi:Z ZTy dx dy=Z 0 y22dx+Z 1 y22dx= 12Z2 0(1 cost)3dt+Z 2012 3sin7tcos2t dt= 12Z2 0(1 4 cost+ sin2tcost+32cos(2t) +32)dt+Z 2012 3sin6tcos2tsint dt= 12 52t 4 sint+13sin3t+34sin(2t) 2 0+Z 2012 3(cos2t cos8t 3 cos4t+ 3 cos6t) sint dt= 52 + 12 3 13cos3t+19cos9t+35cos5t 37cos7t 20= 52 + 12 3(13 19 35+37)Esercizio4 :Datoil campo vettorialeF= (xcosysinx+ cosycosx)i (xsinxcosy)j,calcolareil ussodiFuscente dallalinea = 1[ 2[ 3usandoil :Ricordiamoil teoremadelladivergenzanelpiano:Z hF;nids=Z ZTdivFdx dyoven e il versoreuscente normaleal bordo deldominioT.]]}

4 Poich e la rettaOBhaequazione3y=xe la rettaBAhaequazioney= 2x+ 2, si haZZTdivFdx dy=ZZT(xcosycosx+xsinxsiny)dx dy=ZZTxcos(y x)dx dy=Z23x=0 Zxy=0xcos(y x)dy dx+Z1x=23Z 2x+2y=0xcos(y x)dy dx=Z23x=0xsinx dx+Z1x=23(xsin( 3x+ 2) +xsinx)dx=Z1x=0xsinx dx+Z1x=23xsin( 3x+ 2)dx= [ xcosx+ sinx]10+ 13xcos( 3x+ 2) +19sin( 3x+ 2) 123=89sin1 23cos1 29:Esercizio5 :SiaSla porzionedell'iperboloideadunafaldadi equazioniparametricheP:8> <>:x= coshucosvy= coshusinvz= sinhu;u2[ sinh 11;sinh 12]v2[ 2; 2]:Si calcoliil ussodelvettoreF=xi+yj+ :In questoeserciziononsi pu o usareil teoremadelladivergenzaperch e la super- cienon e ussoin baseallade nizione:Flusso=ZShF;nid oven e il versorenormaleaSorientatonelversodellexc rescenti ed e l'elemento di super ciesuS.

5 RicordiamocheseP(u; v) e unaparametrizzazionedellasuper cieScon(u; v)2D,D2R2eg e unafunzionede nitain unintornodiS, l'integraledi super ciesi calcolaZSg d =Z ZDg(P(u; v))kPu^Pvkdu dvovePu^Pv e il prodottovettorialedeiduevettoritangentiP uePv(ed e quindiunvettorenormaleallasuper cie).Calcoliamonelnostrocasoil versorennormaleallasuper haPu= (sinhucosv;sinhusinv;coshu);Pv= ( coshusinv;coshucosv;0)4dacuin=Pu^PvkPu^P vk=1kPu^Pvk ijksinhucosvsinhusinvcoshu coshusinvcoshucosv0 =1kPu^Pvk ( cosh2ucosv)i (cosh2usinv)j+ (sinhucoshu)k (Osservazione:Nonabbiamobisognodi calcolarela normadelvettoreperch e si sempli- cher a nell'integrale)Il versorecos trovato e nelversodellexcrescenti?Poich e la componente lungol'assexdelvettorenormalePu^Pv e cosh2ucosv <0 se (u; v)2D, il versoreNON e nelversodellexcrescenti dunquedovremoprendereil :ZShF;nid = ZDhF(P(u; v));Pu^PvkPu^PvkikPu^Pvkdu dv=Z sinh 12u= sinh 11Z 2v= 2(cosh3ucos2v+ cosh3usin2v sinh2ucoshu)du dv=Z sinh 12u= sinh 11Z 2v= 2(cosh3u sinh2ucoshu)du dv=Z sinh 12u= sinh 11Z 2v= 2coshu du dv= Z sinh 12u= sinh 11coshu du= [ sinhu] sinh 12 sinh 11= 3 :Esercizio6 :Datoil campoF=yi+zj+xk, calcolareil ussodelrotorediFattraversolaporzionedi paraboloideS=f(x; y; z)2R3; z= 1 x2 y2; z 0gsiain baseallade nizione,siausandoil teoremadi :Per il teoremadi Stokes, seF= (f1; f2; f3) e uncampo de nitoin unintornodellasuper cieS R3, si haZ ZShrotF.

6 Nid =I@S+f1dx+f2dy+f3dzove l'orientazionepositiva di@S e sceltacoerentemente conil versodelversorenormaleallasuper cien. Calcoliamoil harotF= i j k@x@y@zyzx = i j k:Determiniamoquindiunaparametrizzazione dellaporzionedi paraboloide:P:8> <>:x=uy=vz= 1 u2 v2;0 u2+v2 1:5Il vettorenormaleallasuper cienelversodellezcrescenti e quindiPu^Pv= i j k10 2u01 2v = 2ui+ 2vj+k(siosservichela componente lungol'assez e positiva).Dunque,in baseallade nizione:ZZShrotF;nid =ZZShrotF;Pu^PvkPu^PvkikPu^Pvkdu dv=ZZ0 u2+v2 1( 2u 2v 1)du dv= :Applichiamoorail teoremadi Stokes e determiniamodapprimaunaparametrizzazione di@Scheinduceorientazionepositiva:r:8> <>:x= sinty= costz= 0;t2[0;2 ]Si haquindi:I@S+f1dx+f2dy+f3dz=Z2 0sint( sint)dt=Z2 0cos(2t) 12dt= 14sin(2t) 12t 2 0= :Esercizio7 :Datoil campoF=x3i+y3j+z3kde nitoneldominioE=f(x; y; z)2R3; x2+y2 1; z2[0;1]g, calcolareil ussodiFuscente dallafrontieradiEsiain baseallade nzione,siausandoil :Per il teoremadelladivergenzanellospazio:Z@EhF; nid =Z ZEdivFdx dy dzoven e il versoreuscente normaleal PerS1si ha:P1:8> <>:x= cos y= sin z=t; 2[0;2 ];t2[0;1]:PerS2si ha:P2:8> <>:x=uy=vz= 0.

7 0 u2+v2 1:PerS3si ha:P3:8> <>:x=uy=vz= 1;0 u2+v2 1:6 Calcoliamoorail versorenormaleuscente relativo aS1,S2eS3. Si hafacilmenten2= (0;0; 1);n3= (0;0;1)mentreunvettorenormaleaS1 eP ^Pt= ij k sin cos 0001 = cos i+ sin j:Si trattadelvettoreuscente dalbordoS1poich e per = 0 si hai(siosservichesi trattadiunversore,poich ekP ^Ptk= 1).Calcoliamoil ussouscente tramitela de nizione:Z@EhF;nid =ZS1hF;nid +ZS2hF;nid +ZS3hF;nid =Z0 u2+v2 1 0du dv+Z0 u2+v2 11du dv+Z2 =0Z1t=0(cos4 + sin4 )d dt= +32 =52 :Utilizzandoorail teoremadelladivergenza,poich e divF= 3x2+ 3y2+ 3z2, si haZ ZEdivFdx dy dz=Z1z=0Z0 x2+y2 1(3x2+ 3y2+ 3z2)dx dy dz= 2 Z1 =03 3d +Z0 x2+y2 1Z1z=03z2dz dx dy=32 + =52 :Esercizio8 :Si calcoliZ ZDx2dx dydoveD=f(x; y)2R2;1 x2+y2 2g, utilizzandoil teoremadi Gauss{ :34 Esercizio9 :Applicandoil teoremadi Stokes, calcolarel'integraleI y2dx+xy dy+xz dzove e l'ellisseintersezionetrala super ciecilindricadi equazionex2+y2= 2xe il pianoz=y.}

8 Il risultatodipendedall'orientazionedi ?Risultato:0, dunquein questocasoparticolarenondipendedall' :Datoil campo vettorialeF=xi+ 2yj 3zk, calcolarea)la circuitazionelungola lineaintersezionedellesuper cidi equazionexy=z;ex2+y2= 1b)il ussouscentedalcubo dilatounitario,aventetrespigolisugliassi ,unverticenell'originee il verticeoppostonelpunto (1;1;1).7 Risultato:sonoentrambi :Si calcoliil ussodelcampoF=zi+x2yj+y2zkuscente dallasuper ciedelsolidoS=f(x; y; z)2R3;2px2+y2 z 1 +x2+y2g:Risultato.