TRAVAUX PRATIQUES DE TRAITEMENT DU SIGNAL Volume 1 …

1 TRAVAUX PRATIQUES DE TRAITEMENT DU SIGNALV olume 1 Marie Chabert et Corinne MailhesAnn e d Edition : 20102 Table des mati resAvant-Propos51 TP Probabilit s et Etudedel histogrammed amplitude .. Variables al atoires discr tes - Estimation de la probabilit .. Variables al atoires continues - Estimation de la densit de probabilit .. de la fonction de r Travail effectuer .. Loidesgrandsnombres .. Th or me Central-Limite - Test de Kolmogorov .. or me de Travail effectuer .. Etudededistributionsparticuli Demosdelabo te outils stats deMatlab .. Table du Test de Kolmogorov .. 182 TP Echantillonnage et Rappels .. Restitution apr s chantillonnagedusignald Quantification .. Travail r aliser .. 3134 TABLE DES MATI Quantification .. Restitution .. Signaldeparole .. D ElementsdeprogrammationMatlab .. QuelquesfonctionsMatlabutilesdansleTP .. Quantification.

2 353 TP Analyse Spectrale - Corr lations et Rappels .. Propri t sdesfonctionsdecorr Algorithmesdecalculdesfonctionsdecorr lation .. Exemplesd utilisationdesfonctionsdecorr lation .. D tection d un SIGNAL p riodique noy dans un bruit .. Identification d unfiltre .. Diff rentsestimateurs .. Int r tduzero-padding .. Corr lationsth oriquesdesignauxparticuliers .. P riodogramme d une sinuso de bruit e et estimation du SNR .. Travail effectuer .. Autocorr lations .. Analysespectraledesignauxr els .. Programmation Matlab (pour ceux qui le souhaitent) .. QuelquesfonctionsMatlabutilesdansleTP .. Autocorr lations .. Estimations spectrales .. 484 Filtrage Num Filtre R ponseImpulsionnelleFinie(RIF) D Synth separlam thodedelafen tre .. Optimisationdelasynth seobtenue .. Filtre R ponse Impulsionnelle Infinie(RII):rappels .. 53 Avant D Travail effectuer .. Introduction .. Gabarit.

3 Filtres R ponseImpulsionnelleFinie(RIF) .. Filtre R ponse Impulsionnelle Infinie(RII) .. Conclusion .. 585 Initiation Commandesd Construction .. Op rations l Op rations l mentpar l Fonctions l Fonctionsmatricielles .. Gestiondel espacedetravail .. Boucles,testsetrelations .. Boucles .. Test:instructionif .. Relations .. Pauseetbreak .. Fonctions .. Textes,entr es,messagesd Vectorisationetpr Graphiques .. Application1:probabilit Application2:traitementdusignal .. Conclusion .. 696 Avant proposAvant-ProposUn ensemble de logiciels de TRAVAUX PRATIQUES pour le TRAITEMENT du SIGNAL a t labor par leschercheurs de l quipe SIGNAL et Communication (SC) de l Institut de Recherche en Informatiquede Toulouse (IRIT), galement membres du T SA (Laboratoire de T l communications Spatialeset A ronautiques). Les domaines de recherche abord s par ce groupe de chercheurs sont vari s :analyse spectrale, classification et reconnaissance des formes, compression de donn es, traitementstatistique du SIGNAL , t l communications Pour plus de renseignements, on peut sereporterauxsitesWeb: Equipe SC TRAITEMENT du SIGNAL ne doit pas tre vu seulement de fa on th orique, au niveau des courset des TRAVAUX Dirig s ; le TRAITEMENT du SIGNAL est une mati re vivante, actuellement en pleinessor, avec des applications de plus en plus nombreuses, dans des domaines tr s vari s.

4 Donnonsdeux exemples d tudes effectu es au SIC dans le cadre de premi re tude concerne le syst me d aide l atterrissage des avions (ILS : InstrumentLanding System). Ce syst me, adopt internationalement par l Aviation Civile, utilise pour sapartie radioalignement de piste une bande de fr quences VHF qui est, depuis quelques ann es,tr s vuln rable des brouilleurs externes, comme les radios FM, les brouilleurs industriels est tr s important d avoir une connaissance sur ces brouilleurs, aussi le Service Technique dela Navigation A rienne a-t-il suscit une tude qui a fait l objet d une th se. Le probl me a t abord l aide des m thodes de TRAITEMENT du SIGNAL . Le SIGNAL qu on d sire conserver est unsignal de faible puissance (le brouilleur) par rapport au SIGNAL ILS utilis l atterrissage qui doit tre estim , puis rejet le plus parfaitement possible afin de ne pas nuire l identification dubrouilleur. Ce travail a mis en jeu des m thodes d estimation et de r jectiondes deux sinuso desqui constituent le SIGNAL ILS, puis des m thodesde segmentation et de classificationpermettantde reconnaitre les deuxi me application rel ve du domaine biom dical.

5 L usage de l lectromyographie(EMG) en tant qu indicateur de l tat du syst me neuromusculaire remonte lafinduXIX me78 Avant propossi cle. Cette technique est aujourd hui tr s importante dans la d tection et le suivi d atteintesnerveuses ou musculaires. Il s agit d observer l activit lectrique mise lors d une contractionnaturelle du muscle. Pendant longtemps, ces signaux taient recueillis au moyen d une lec-trode qu onpiquaitdans la masse musculaire du patient. Outre l aspect traumatisant de lam thode, le diagnostic s av rait parfois difficile. D o l id e d utiliser des lectrodes de surface,nullement effrayantes pour le malade. Malheureusement, l inspection visuelle du SIGNAL recueillin est pas suffisante pour transmettre la caract risation d une pathologie neuromusculaire. Lesm thodes de TRAITEMENT du SIGNAL , en particulier les m thodes d analyse spectrale, de mod lisa-tion param trique et de classification, ont conduit l laboration d un outil d aide au diagnosticpour des signaux EMG recueillis en mettre en vidence cet aspectapplication pratiquedu TRAITEMENT du SIGNAL , les chercheursdu SIC ont d cid de cr er un ensemble de TRAVAUX PRATIQUES , venant compl ter l enseignementdu TRAITEMENT du SIGNAL de l deuxi me ann e, sont pr vus quatre TP illustrant les cours deTh orie du SIGNAL (TS)et deTraitement Num rique du SIGNAL (TNS).

6 Le premier TP TS s int resse auxproba-bilit s l mentaires,ledeuxi metraitedel chantillonnage et de la TP TNS s int resse au calcul des fonctions decorr lationset desdensit s spectralesde puissanceet le deuxi me aufiltrage num troisi me ann e, les TP sont plus sp cifiques : deux TP sur l estimation param trique etnon param trique (cours deRepr sentation et Analyse des Signauxet deMod lisationParam trique)etunTPsurlefiltrage adaptatif (cours deTraitement Adaptatif).Ces TP ont t organis s autour de logiciels MATLAB. Ces logiciels ont t con us pour treutilis s partir de menus d roulants, vitant l utilisateur de se plonger dans la lourde t chede la indications de programmation Matlab, donn es enfin de chaque TP, associ es une initia-tion Matlab donn e en annexe, permettent de reprogrammer facilement certaines fonctionnalit sdes logiciels. Ceci peut constituer une aide la r alisation des projets Matlab de deuxi me ettroisi me ann 1TP Probabilit s et StatistiquesLancerprob_statsous Etude de l histogramme d Variables al atoires discr tes - Estimation de la probabil-it Comment obtenir un estimateur de la loi de probabilit d une variable al atoire discr te partirde l histogramme deNr alisations de cette variable?

7 En d duire un estimateur de la fonctionde r l aide du logiciel, observer les performances de ces estimateurs en fonction du nombre der alisationsNpour les variables al atoires : uniforme sur{1,..,P1} binomialeB(P1=n, P2=p) de Poisson de param tre = boutonOKpermet de g n rerNnouvelles r alisations de la variable al atoire. Noter lesmoments estim s en fonction deN(moyenne et variance) et comparer la th Variables al atoires continues - Estimation de la densit de probabilit La probabilit pour que la variable ( )Xsoit comprise entrexetx+dxpeut tre approch e,pourdxpetit, parp(x)dx, p(x) tant la densit de probabilit de la probabilit qu une910 Chapitre 1. TP Probabilit s et Statistiquesr alisation de la comprise entremqet(m+1)qest :P[m]=Z(m+1)qmqp(x)dxConsid rons une fonction repr sent e graphiquement sur un boulier. Sur ce boulier sont plac esdes billes qui repr sentent plus ou moinsfinement la fonction : les tiges peuvent tre assezrapproch es et les billes assez petites pour donner une impression de continuit selon les deuxaxes de coordonn on place ce boulier dans le plan vertical et qu ensuite, on lui fait subir une rotation de 90 dans ce plan vertical, les billes vont glisser le long desfils et on aura le nombre de billes surchaquefil,image(grossi rebiens r)deladensit deprobabilit.

8 C est exactement l op rationque l on r alise lorsqu on fait l histogramme d amplitude. C est ce que nous nous proposons defaire dans ceTP:utiliser l histogramme pour estimer la densit de probabilit d une variableal (t)la variable indicatrice d finie par :Z(t)=1siX(t) x x2,x+ x2 Z(t)=0siX(t)/ x x2,x+ x2 Calculons la moyenne de cette variable :E{Z(t)}= [Z(t)=1]+ [Z(t)=0]=P[Z(t)=1]=P X(t) x x2,x+ x2 On obtientfinalement :E{Z(t)} =p(x) xsi xsuffisamment petitEstimer la densit de probabilit revient construire un estimateur de moyenne de la variableindicatrice. On d finit des classes, c est- -dire que l axe desyest divis en intervalles de m Etude de l histogramme d amplitude11largeur noteZi(t)la variable d finiedelam mefa onqueZ(t)sur l intervallen estimateur habituel de la moyenne de cette (t)est :1 NNXt=1Zi(t)=NxNNx tant le nombre d observations deX(t)appartenant l intervalle consid r de largeur xetN tant le nombre total d observations deX(t).

9 D o l estimation de la densit de probabilit suivante :bp(x) NxN xo Nx Nombre d chantillons [x x2,x+ x2] repr sente l histogramme. Les valeursminimale et maximale prises par la variable al atoire sur les r alisations consid r es et le nombred intervalles (ou nombrede classes) permettent de d terminer la valeur de estimateur est caract ris par son biais et sa un estimateur d un param tre .Le biais de cet estimateur est d fini par :biais( )=Enb o En d autres termes, le biais repr sente l erreursyst matique que l on commet lorsqu on estime .La variance deb permet de mesurer la vitesse de convergence deb vers estimateur asymptotiquement sans biaislimN Enb o= et dont la variance v rifie:limN varnb o=0est convergent. Etudions les propri t s de l estimateur de la densit de probabilit que nousavons d fini,bp(x).Pour cela, calculons la moyenne de la variable indicatriceZ(t):E{Z(t)}=Zx+ x2x x2p(u)duPour x,largeur d une classe de l histogramme suffisamment petite etp(x)r guli re, par und veloppement en s rie de Taylor, on a :E{Z(t)} p(x)+ x224p (x) xL estimateur de densit de probabilit poss de donc un biais additif :b{bp(x)} x224p (x)Si les chantillons sont ind pendants, alors la variance est gale :Var{bp(x)} 1N x2var[Z(t)] p(x)N xOn retrouve le dilemme biais-variance o , pourNfix , la variance et le biais voluent en sensinverse de 1.

10 TP Probabilit s et de la fonction de r partitionLa fonction de r partition F se d finit de la fa on suivante :F(x)=P[X<x]=Zx p(u)duPour estimer la fonction de r partitionF,on consid re une autre variable indicatriceZ(t)telleque :Z(t)=1siX(t) xZ(t)=0siX(t)>xAlors, on a :E{Z(t)}=F(x)L estimateur de la fonction de r partition est unestimateur de moyenne dans le cas d chantillonsind pendants. Sa variance est telle que :varnbF(x)o 1NF(x)(1 F(x))Cet estimateur est non biais et poss de une variance qui est minimale pour :F(x) 0etF(x) 1 Remarquons que les estimateurs de la densit de probabilit et de la fonction de r partition onttous les deux une variance en1 Travail effectuerEstimation de la densit de probabilit G n rerN= 1000r alisations d une variable al atoire gaussienne centr e r duite. En fairel histogramme surNc= obtient-on l estimateur de densit de probabilit partir de l histogramme? Ob-server l estimation de sa densit de probabilit.