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1 MATEM TICAS TIMONMATE ejercicios resueltos DE TRIGONOMETR A Juan Jes s Pascual 1/22 TRIGONOMETR A A. Introducci n te rica Razones trigonom tricas de un tri ngulo rect ngulo. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ngulos significativos (en grados y radianes). Significado geom trico de las razones trigonom tricas en la esfera goniom trica. Relaciones entre las razones trigonom tricas.

2 Resoluci n de tri ngulos: Teoremas del seno y del coseno. B. ejercicios resueltos Razones trigonom tricas. Ecuaciones trigonom tricas. Problemas. A. INTRODUCCI N TE RICA Razones trigonom tricas de un tri ngulo rect ngulo: Las razones trigonom tricas de un tri ngulo rect ngulo son las siguientes funciones: La funci n seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Todas ellas pueden entenderse como relaciones entre los lados de un tri ngulo rect ngulo. Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los ngulos y del tri ngulo rect ngulo aqu representado: a) Para el ngulo : funci n seno funci n coseno funci n tangente =asenc =bcosc =atgb funci n cosecante funci n secante funci n cotangente 1 ccosec sen a == == 1cseccos b == 1 bcotgtg a ejercicios de trigonometr a resueltos TIMONMATE 2/22 b) Para el ngulo.

3 Funci n seno funci n coseno funci n tangente =bsenc =acosc =btga funci n cosecante funci n secante funci n cotangente == 1 ccosecsen b == 1 cseccos a == 1 acotgtg b Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ngulos significativos (en grados y radianes) ngulo sen cos tg ngulo sen cos tg 0 0 rad 0 1 0 60 rad3 32 12 3 30 rad6 12 32 13 90 rad2 1 0 45 rad4 22 22 1 180 rad 0 1 0 Significado geom trico de las razones trigonom tricas en la esfera goniom trica Se llama circunferencia goniom trica a aquella que tiene por radio la unidad.

4 Para una circunferencia goniom trica es posible dar un sentido muy intuitivo a todas las razones trigonom tricas. Vamos a verlo mediante el siguiente dibujo. TIMONMATE ejercicios de trigonometr a resueltos 3/22 Relaciones entre las razones trigonom tricas a) Relaciones fundamentales: El seno, el coseno y la tangente de un ngulo est n relacionados mediante la siguiente igualdad.

5 Sentgcos = Por otro lado, se cumple la siguiente igualdad, estrechamente vinculada al teorema de Pit goras: 22sen cos1 + = b) Relaciones del ngulo suma diferencia: () = sensen cos sen cos () = coscos cos sen sen () = tg tgtg1 tg tg c) Relaciones del ngulo doble Es un caso particular del anterior en el que y son iguales.

6 () = sen 22sen cos () = 22cos 2cossen () = 22tgtg 21 tg d) Relaciones del ngulo mitad =21 cossen22 + =21 coscos22 ejercicios de trigonometr a resueltos TIMONMATE 4/22 =+ 21 costg2 1 cos Resoluci n de tri ngulos: Teoremas del seno y del coseno Sea el siguiente tri ngulo.

7 No hace falta que sea rect ngulo! Se verifican las siguientes dos expresiones, conocidas como teorema del seno y teorema del coseno. a) Teorema del seno: ==abcsenA senB senC b) Teorema del coseno: =+ 222a b c 2bccosA B. ejercicios resueltos C lculo de razones trigonom tricas 1. Sabiendo que sen 0,86 = calcula las dem s razones trigonom tricas directas e inversas Soluci n: Las razones trigonom tricas directas son el seno, el coseno y la tangente, y las inversas la cosecante, la secante y la cotangente.

8 Vamos a relacionar todas ellas con el seno, que es el dato que nos dan: sen 0,86 = C B A c b a TIMONMATE ejercicios de trigonometr a resueltos 5/22 El coseno se deduce a partir de la ecuaci n fundamental 22sen cos1 + =: 22222sen cos1 cos1 sencos1 sen + = = = Sustituyendo datos: 221cos1 sencos1 0,86 cos2 = = = La tangente buscada se deduce de la f rmula fundamental sentgcos =.

9 S lo hay que sustituir en ella los valores conocidos: sen0,86tg tgtg 1,72cos0,5 = = = La cosecante es la inversa del seno. 11cosec sen1,260,86 = = = La secante es la inversa del coseno. 11sec cos212 = = = La cotangente es la inversa de la tangente. 11cotg tg0,581,72 = = = 2. Calcula las relaciones trigonom tricas directas de y Soluci n: Las razones trigonom tricas directas son el seno, el coseno y la tangente. Para el ngulo : 40sensen 0,850 = =, 30coscos 0,650 = = 40tgtg 1,3330 = = Observa que se cumple que 22sen cos1 + = ejercicios de trigonometr a resueltos TIMONMATE 6/22 Para el ngulo : 30sensen 0,650 = = 40coscos 0,850 = = 30tgtg 0,7540 = = Observa que tambi n se cumple que 22sen cos1 + =, como no pod a ser de otra manera.

10 3. Halla las razones trigonom tricas de los siguientes ngulos: 135 Soluci n: El ngulo 135 est en el 2 cuadrante. Ser equivalente a un ngulo de 45 para el que sen45 es positivo y cos45 es negativo, tal como se indica en la figura. @ 560 Soluci n: Como el ngulo es mayor que 360 lo tratamos del siguiente modo: 560 360 1 vuelta 360 200 200 1 + El ngulo que tenemos que manejar es @200 . Ello es equivalente a un ngulo de 20 en el segundo cuadrante, en donde sen20 es positivo y cos20 es negativo 135 45 @ cos 45 sen 45 TIMONMATE ejercicios de trigonometr a resueltos 7/22 4.