uia algebra lineal - math.com.mx

1 algebra lineal *Jos e de Jes us Angel draft: M exico, , a 17 de noviembre de resumen de los principales temas tratados en un curso de Sistemas de Ecuaciones Conceptos b asicos.. M etodo de eliminaci on de Gauss.. M etodo de eliminaci on de Gauss-Jordan.. Sistemas Homog eneos.. Soluciones de SEL..52. Teor a matricial y matrices , sus operaciones y propiedades.. Suma de matrices .. Multiplicaci on por un escalar .. Multiplicaci on de matrices .. matrices especiales.. Matriz Cuadrada .. Matriz Transpuesta .. Matriz Identidad .. Matriz inversa y su determinaci on mediante operaciones Elementales.

2 Soluci on de sistemas de ecuaciones lineales por matriz inversa.. Determinantes y sus propiedades.. 10*Notas de C alculo de la matriz inversa por medio de determinantes.. Regla de Cramer.. 123. Espacios Definici on de espacio vectorial y ejemplos.. EspacioRny representaci on gr afica paran= 2 y 3.. Subespacios vectoriales.. Combinaci on lineal y espacio generado.. Independencia lineal .. Bases y dimensi on.. 144. Producto Definici on, propiedades.. Ortogonalidad.. Norma y sus propiedades.. Bases ortogonales y ortonormales.. Proyecciones..165. Transformaciones Definici on, propiedades.. Recorrido y n ucleo.

3 Representaci on matricial de una transformaci on lineal .. Vector de coordenadas y cambio de base.. Transformaciones lineales inversas.. Vectores y valores propios.. Diagonalizaci on de una matriz.. 201. Sistemas de Ecuaciones Sistemas de Ecuaciones Conceptos b sistema demecuaciones conninc ognitas es el siguiente arreglo:a11x1+a12x2+a13x3+ +a1nxn=b1a21x1+a22x2+a23x3+ +a2nxn=b2a31x1+a32x2+a33x3+ +a3nxn= +am2x2+am3x3+ +amnxn=bmDonde las constantesa11, .., a1n, a12, ..a2n, .., am1, .., amn, b1, .., bm R, y las inc ognitasx1, .., xnrepresentan tambi en n umeros reales on 1 Una soluci on de un sistema de ecuaciones, es un conjunto de valores quetoman las inc ognitasx1.

4 , xny dan como resultado todas las igualdades del sistema deecuaciones elementales sobre los sistemas de ecuaciones:1. Intercambio de dos Multiplicar una ecuaci on por una constante diferente Sumar un m ultiplo de una ecuaci on a otra ecuaci on 1Un sistema de ecuaciones B, que se obtiene de otro A, por medio deoperaciones elementales tienen el mismo conjunto de Sistemas de Ecuaciones M etodo de eliminaci on de etodo 1El m etodo de Gauss consiste en transformar un sistema de ecua-ciones A, a otro B, por medio de operaciones elementales, de tal forma que Bqueda en una forma triangular y por lo tanto puede ser resuelto con despejessucesivos 11x1+a 12x2+a 13x3+ +a 1nxn=b 1a 22x2+a 23x3+ +a 2nxn=b 2a 33x3+ +a 3nxn=b mnxm=b M etodo de eliminaci on de etodo 2El m etodo de Gauss-Jordan consiste en transformar un sistema deecuaciones A, a otro B, por medio de operaciones elementales,de tal formaque B queda en la siguiente forma diagonal y por lo tanto la soluci on queda demanera 11x1=b 1a 22x2=b 2a 33x3=b mnxm=b Sistemas Homog de especial inter es los sistemas de ecuaciones dondeb1= =bn= 0.

5 A estossistemas les llamaremos sistemas homog Teor a matricial y +a12x2+a13x3+ +a1nxn= 0a21x1+a22x2+a23x3+ +a2nxn= 0a31x1+a32x2+a33x3+ +a3nxn= +am2x2+am3x3+ +amnxn= 0 Los sistemas homog eneos siempre tienen al menos una soluci on, la soluci on Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales, siempre o tienen una unica soluci on, o tienen unainfinidad de soluciones (caso de consistencia), o no tienen soluci on (caso de inconsisten-cia).Despu es de aplicar la reducci on de hay el mismo n umero de ecuaciones que de variables, entonces el sistema tieneuna unica soluci hay m as variables que ecuaciones, entonces hay una infinidad de obtenemos una contradicci on, entonces no hay soluci Teor a matricial y on 2 Una matriz es una funci on A de[1.]

6 , n] [1, .., m], al conjunto de losn umeros matrizAse representa con todos sus valores de manera usual como:A= a11a12 a1na21a22 amn 2. Teor a matricial y matrices , sus operaciones y Suma de MatricesLa suma de matricesA= (aij) yB= (bij) con 1 i m,1 j n,esta definidacomo:A+B= (cij), cij=aij+bij,1 i m,1 j suma de matrices esta definida para dos matrices del mismo orden, es decir podemossumar una matrizn mpor otran Multiplicaci on por un escalarLa multiplicaci on de una matrizA= (aij) por un escalarrcon 1 i m,1 j definida como:rA= (cij), cij=raij,1 i m,1 j Multiplicaci on de MatricesLa multiplicaci on de matricesA= (aij)m pporB= (bij)p a11a12 a1pa21a22 amp B= a11a12 a1na21a22 apn Tiene como resultado una matrizC= (cij)m n,yesta definida como:AB= (cij), cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j+ +aip+bpj,1 i m,1 j (aikbkj),1 i m,1 j Teor a matricial y 1El producto de matrices no es conmutativo, y solo esta definido para matricesn mpor otra matrizm ky da como resultado una matrizn matrices Matriz CuadradaUna matriz es cuadrada si tiene el mismo n umero de filas que decolumnas,A= (aij)con 1 i n,1 j n,definida como.

7 A= a11a12 a1na21a22 ann Matriz TranspuestaLa matriz transpuesta deA= (aij) 1 i n,1 j n,es la matrizAT= (aji),cambia solo las filas por columnas y las columnas por ,A= a11a12 a1na21a22 amn Entonces:AT= a11a21 an1a12a22 anm Matriz IdentidadUna matriz cuadradaI= (aij),se llama identidad siaij= 1 parai=j, yaij= 0parai6= Teor a matricial y 1 0 0 00 1 0 00 0 1 0 0 1 Matriz inversa y su determinaci on mediante operaciones matriz cuadradaA= (aij),se llama invertible (no singular), si existe otra matriz(llamada inversaA 1) tal queA A 1= propiedades:1. (A 1) 1= (AB) 1=B 1A (AT) 1= (A 1) etodo para obtener la matriz inversa deA:1.

8 Formar la matriz (A|I) que significa adjuntar la matriz identidad Aplicar operaciones elementales a las filas deA, hasta obtener la matriz identidad,(las mismas operaciones elementales hay que realizarlas a las filas deIadjunta.)3. Entonces la matriz resultante en lugar deIadjunta es la 2Es muy importante saber antes si la matriz inversa Teor a matricial y Soluci on de sistemas de ecuaciones lineales por matriz ervese que un sistema de ecuaciones homog eneo puede ser puesto en t erminos tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:a11x1+a12x2+a13x3+ +a1nxn=b1a21x1+a22x2+a23x3+ +a2nxn=b2a31x1+a32x2+a33x3+ +a3nxn= +am2x2+am3x3+ +amnxn=bmEntonces puede ser escrito de manera matricial como: a11a12a13 a1na21a22a23 a2na31a32a33 amn = Es decir:Ax=bDondex= , yb= si la matrizAtiene inversa, entonces.

9 X=A Teor a matricial y Determinantes y sus de los elementos m as importantes de las matrices es el determinante. El determi-nate de una matriz es una funci on definida del conjunto de matrices cuadradas (n n)Mna los n umeros definici on de determinate es:det(A) =P Snsig( )a1 (1)a2 (2) an (n)DondeSnes el conjunto de todas las permutaciones del conjunto{1, .., n},sig( ) esel signo de la permutaci on, y (i) es la imagen deibajo f ormula anterior nos dice que la definici on de determinante es muy complicada yaque el n umero de t erminos crece de manera como crece el factorial den. Por ejemplo eldeterminate de una matriz 4 4 tendr a 4!

10 = 24 t del (A) =det(AT).2. Si a una matrizAse cambian dos filas o dos columnas a (B), entoncesdet(B) =det(A).3. Si dos filas o dos columnas deAson iguales, entoncesdet(A) = Si una fila o columna deAson ceros, entoncesdet(A) = Si a una matrizAse multiplica por una constante(B=cA), entoncesdet(B) =c det(A).6. Si a una matrizBse obtiene de sumar un m ultiplo una fila o columna de unamatrizA,det(B) =det(A).7. El determinante de una matrizAtriangular esdet(A) =Qni=1aii,el producto dela (AB) =det(A)det(B).2. Teor a matricial y inversa, es equivalente adet(A)6= 0, y es equivalente a que el sistemaAx= 0 tiene soluci on unica . (A 1) =1det(A).