UNITAT 3: TRIGONOMETRIA

1 UNITAT 3: TRIGONOMETRIA1. AnglesAnomenem angle a l'espai del pla tancat per dues semirectes que tenen un mateix classificar els angles segons la seva obertura en tres tipus: agut, recte i obt <90 Recte=90 Obt s>90 Altres angles s n: COMPLEMENTARIS SUPLEMENTARISDos angles s n complementaris si la sevaDos angles s n suplementaris si la sevasuma fa un angle RECTE (90 )suma fa un angle PLA (180 )552. TrianglesAnomenem triangle al pol gon tancat de tres costats. Els triangles es poden classificar de dues maneres diferents: segons els costats i segons els angles: Classificaci segons els costatsEquil ter3 costats igualsIs sceles2 costats iguals Escal Cap costat igual Classificaci segons els anglesAcutangle3 angles agutsRectangle un angle recteObtusangleUn angle obt s Propietats dels trianglesUna de les propietats m s interessants que tenen els triangles s que: la suma dels angles interiors d'un triangle s sempre de 180.

2 Aquesta propietat ens permet de calcular un angle si en sabem els altres val l'angle que falta?563. Teorema de Pit goresTot i que el teorema de Pit gores nom s es pot aplicar a triangles rectangles s sens dubte un dels teoremes m s tils i b sics de la cal definir uns quants par metres: Anomenem hipotenusa al costat deldavant de l'angle recte. Sempre coincideixque la hipotenusa s el costat m s aquest cas la hipotenusa s el costat c. Anomenem catets els dos costats queformen l'angle de 90 .En aquest cas els catets s n a i b. El teorema de Pit gores diu:Hipotenusa2 = Cateta2 + Catetb2 DEMOSTRACI GR FICA:57 Exemple: Troba la hipotenusa del aquest cas c i a s n els catets, ib s la = catet2 + catet2hipotenusa2 = 122 + 102 ==144 + 100 ==244hipotenusa = 244= 15,62 Exemple: Troba el costat que falta del aquest cas c s la hipotenusa i, a i b s n els = catet2 + catet2122 = catet2 + 102 =catet2= 122-102 == 144 -100 == 44catet = 44= 6,6358a10bc 12 Activitats: Determinaci de costats mitjan ant Pit gores (I)Els triangles seg ents s n rectangles.

3 1r. Determina l angle recte, la hipotenusa i els Calcula el costat que falta mitjan ant el teorema de Pit Verifica que el c lcul s correcte mesurant el costat amb el de : (6,7)Soluci : (7,07)Soluci : (7,04)Soluci : (5,66)Activitats: Teorema de Pit gores (I)1. En un triangle rectangle, els catets mesuren b= 20 cm i c= 15 cm. Calcula la longitud de la hipotenusa. 2. En un triangle rectangle, la hipotenusa mesura 35 cm i un dels catets 28 cm. Calcula lalongitud de l altre catet. 3. Calcula la hipotenusa a o els catets b, c de cada apartat:a) a= 15 cm, b= 12 ) b=32 cm, c= 24 ) a=169 cm, b= 65 ) a=289 cm, c= 255 cm 4. Troba la dist ncia que hi ha des d un v rtex a la diagonal oposada d un rectangle que t costats 192 i 144 cm, respectivament. 5. Calcula les mesures dels costats d un rombe les diagonals del qual mesuren 219 i 292 cm respectivament.

4 6. Troba l rea i el per metre d un rombe que t unes diagonals de longitud 24 i 10 cm , respectivament. 7. La base d un triangle is sceles mesura 32 cm i la seva altura respecte d aquesta base, 38,4 cm. Troba l rea i el seu per metre. 8. Troba la diagonal d un quadrat de 12 cm de costat. 9. Troba el costat d un quadrat que t una diagonal de 236 mm. 10. Troba l altura d un triangle equil ter de costat 24 cm. 11. Els costats d un rectangle mesuren 21 i 28 cm , respectivament. Calcula la diagonal. 12. Quant mesura l apotema d un hex gon regular de 8 m de costat?(Extret de )6013. Calcula els cent metres de corda que calen per formar les lletres N, Z i : Activitats Teorema de Pit gores 1. 25 cm 2. 21 cm 3. a) 9 cm b) 40cm c) 156 cm d) 136 cm 4. 5. 182,5 cm 6. rea = 120 cm2 per metre = 52 cm 7.

5 Rea = 614,4 cm per metre = 115,2 cm 8. 16,97 cm 9. 16,69 cm 10. 20,8 cm 11. 35 cm 12. 6,93 cm 13. N: 65 Z:46 X:68 61 Teorema de l altura i dels catets (I) TEOREMA DE L'ALTURA:en un triangle rectangle, el quadrat de l'altura relativa a la hipotenusa s igual al producte de lesprojeccions dels catets sobre la hipotenusa m = hh2 = m n h n TEOREMA DELS CATETS:en un triangle rectangle, el quadrat de cadacatet s igual al rpoducte de la hipotenusa i la seva projecci sobre ella a = bb2 = a m b m a = cc2 = a n c n1. Troba h en la figura seg ent:2. Troba b en la figura seg ent:3. Troba c en la figura seg ent:62 Soluci : (12)Soluci : (5)Soluci : (24)4. Teorema de TalesoIJ = LMJK MN Les rectes paral leles tra ades sobre dues rectes secants determinen segments proporcionals .Exemple:46=5x4x = 5 64x = 30x = 30/4 = 7,5 Aplicaci :Si coneixem la longitud d'un bast (A) i de la seva ombra (B) i,coneixem la longitud de l'ombra d'una muntanya (C), podem determinar la seva al ada: 63 IJLM=JKMNA ctivitats: Teorema de Tales (I)Determina (sense fer servir el regle) la longitud dels segments indicats, mitjan ant el teorema de )OA = 4,2 cm, AB = 3 cm, OA = 3,4 cm, OC = 11,9 B = ?

6 , OC = ?b)OB = 7,8 cm, OC = 12,3 cm, OB = 8,3 cm, B C = 4,7 cm, OA = 4,7 = ? , BC = ? , OA = ?Extret de : Raons trigonom triquesLa TRIGONOMETRIA estudia la relaci entre els angles i els costats delstriangles. S'observa que hi ha unes relacions que s n comunes a tots elstriangles que comparteixen un valor d'angle determinat. s a dir, el valor deles raons trigonom triques no dep n de la longitud dels costats del trianglesin de l'angle Les raons trigonom triques d'un angle agut s n:contiguCatetcontrariCatetbatgHipotenus acontiguCatetcbCosHipotenusacontrariCate tcaSin____ Exemple 1:Suposem que:a = 7a = 30 Quant mesura c?Sin a = a/c Sin 30 = 7/c0,5 = 7/c0,5c = 7c = 7/0,5 = 14 Exemple 2:Suposem que:a = 5c = 10 Quant val l'angle a ?Sin a = 5/10 = 0,5a = Sin-1 (0,5) = 3065 Concepte de ra trigonom trica (I)1. Justificaci pr ctica de la definici del sinus:Verifica la seg ent propietat:DODDCOCCBOBBAOAA A aquesta ra , que nom s dep n de l angle que formen les dues rectes ( s una aplicaci del teorema de Tales), s anomenar sinus de l angle: )sin( 2.

7 Justificaci pr ctica de la definici de cosinus:Amb el dibuix de l exercici anterior, verifica la seg ent propietat:DOODCOOCBOOBAOOA A aquesta ra , que com pots comprovar, dep n nom s de l angle que formen les dues rectes, s anomenar cosinus de l angle: )cos( 3. Justificaci pr ctica de la definici de tangent:ODDDOCCCOBBBOAAA A aquesta ra , que nom s dep n de l angle que formen les dues rectes, s anomenar tangent de l angle: )( tanExtret de: : C lcul i mesura de raons trigonom triques (I) t en els angles i completa les raons trigonom triques: )()cos()( tansin )()cos()( t en els angles i completa les raons trigonom triques: )()cos()( tansin )()cos()( mesures dels catets d un triangle rectangle s n 3,6 cm i 2,7 cm. Dibuixa el triangle i calcula el valor del sinus de cadascun dels angles aguts. Calcula tamb el valor d aquests hipotenusa d un triangle rectangle mesura 5,3 cm i un dels seus catets, 4,5 cm.

8 Dibuixa el triangle i calcula el valor dels cosinus dels seus angles aguts. Calcula tamb el valor d aquests un esgla que sigui c mode per a una escala que substitueix una rampa de 30 .Extret de: : Aplicacions de la TRIGONOMETRIA (I) ser l altura d un arbre que forma un angle de 37 des d'una dist ncia de 15m?2. Quina ser l altura d un edifici si veiem el seu extrem superior amb un angle de 17 des d una dist ncia de 54 m?3. Calcula la profunditat del pou de la figura:4. Quina s la longitud d una escala quan l extrem que recolza en la pared arriba a una altura de 4,6 m i forma un angle de 71 ?68 Solucions: 1) 11,30 m. 2) 16,51 m. 3) ) 4,87 m. Extret de: : Resoluci de triangles encadenats (I)Calcula la dist ncia marcada amb l interrogant:a)Soluci : 2,23b)Soluci : 3,93 Extret de: : Resoluci de triangles no rectangles mitjan ant trigonometriaEls seg ents triangles estan dibuixats a escala 1:1 (les unitats s n cent metres); Determina mitjan ant TRIGONOMETRIA la longitud dels costats, i comprova despr s que els valors trobats s n certs mesurant amb el )Soluci : 9b)Soluci : 7,83 i 7,99 c)Soluci : 7,1 i 10 Extret de: 50 7,6970 36 4,8940,8 60,61 86 Exercicis m s complicats1)Troba l'altura de la muntanya:Soluci : 13652)Troba la dist ncia entre A i CSoluci : 57,53)Troba l'angle aSoluci : 38,54 711000 m30 45 ABC50 m35 85 3200 m30 a1500 m4) Per mesurar l'amplada d'un riu s'han pres lesmides de la figura; des de dos punts d'una voradistants 160m.

9 Quina amplada t el riu? (Soluci : 120m)5) L'angle d'elevaci del punt m s alt d'una torre s de 22 respecte de l'horitzontal. Avancem 12metres cap a la torre i tornem a mesurar. L'angle s ara de 45 . Troba l'altura de la torre. (Soluci : 8,13 m)6) Calcula el costat i l'apotema d'un pent gon regular inscrit en una circumfer ncia de 5cmde radi.(Soluci : Apotema: 4,05 Costat: 5,88)72