UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO …

1 1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUT NOMA DE M XICO colegio DE ciencias Y HUMANIDADES PLANTEL SUR GU A DE ESTUDIO PARA MATEM TICAS II ( LGEBRA Y GEOMETR A) Elaborada por los profesores: Guadalupe Xochitl Ch vez P rez Antonio Garc a Flores Teresa Manuel Hern ndez Andr s Mart nez Palacios Jes s Ram rez Vega Carlos Gabriel S nchez Lordm ndez Agosto de 2017 2 UNIVERSIDAD NACIONAL AUT NOMA DE M XICO escuela NACIONAL colegio DE ciencias Y HUMANIDADES PLANTEL SUR Gu a de estudio para preparar el examen extraordinario de MATEM TICAS II Basado en el programa actualizado de 2016 Impreso en escuela NACIONAL colegio de ciencias y Humanidades. Plantel Sur. Autores: Guadalupe Xochitl Ch vez P rez (Coordinadora) Antonio Garc a Flores Teresa Manuel Hern ndez Andr s Mart nez Palacios Jes s Ram rez Vega Carlos Gabriel S nchez Lordm ndez Planeaci n y edici n Ernesto M rquez Fragoso Agosto de 2017 3 INTRODUCCI N La presente gu a es un material did ctico elaborado por profesores de la Academia de Matem ticas del plantel Sur, con el objetivo de apoyarte en la preparaci n de tu evaluaci n extraordinaria de Matem ticas II.

2 Este trabajo se sustenta en los principios filos ficos y el Modelo Educativo del colegio de ciencias y Humanidades (CCH) y considera los Programas de Estudio Actualizados del a o 2016. Contiene las cuatro unidades del curso: 1. Ecuaciones cuadr ticas 2. Funciones cuadr ticas y aplicaciones 3. Elementos b sicos de geometr a plana 4. Congruencia, semejanza y teorema de Pit goras INSTRUCCIONES En cada unidad encontrar s una presentaci n, conceptos clave, sugerencias de actividades con base en los temas del programa; adem s, para cada tema desarrollado se se alan los objetivos, se da una breve explicaci n, se exponen ejemplos resueltos, se proponen ejercicios con soluciones, se incluyen ejercicios de autoevaluaci n y se proponen algunos textos de consulta.

3 Para que logres el xito en esta asignatura, debes estudiar los ejemplos resueltos, resolver los ejercicios propuestos y verificar tus resultados. Si alg n ejercicio no lo entiendes o no lo puedes resolver, puedes acudir con los profesores del Programa Institucional de Asesor as (PIA), ubicado en la planta alta del edificio IM . S lo los educados son libres 4 NDICE INTRODUCCI N .. 3 INSTRUCCIONES .. 3 NDICE .. 4 UNIDAD 1. ECUACIONES CUADR TICAS .. 6 Presentaci n .. 6 Conceptos clave .. 7 Resoluci n de ecuaciones cuadr ticas de las formas: = , = , + = , + = , + + = , + + = .. 8 Soluci n por factorizaci n .. 11 Soluci n completando el trinomio cuadrado perfecto.

4 19 Soluci n utilizando la f rmula general .. 22 Problemas que dan lugar a ecuaciones cuadr ticas .. 28 Respuestas a los ejercicios .. 31 Autoevaluaci n tipo examen 33 UNIDAD 2. FUNCIONES CUADR TICAS Y APLICACIONES .. 36 Presentaci n .. 36 Conceptos clave .. 36 Problemas que conducen a Funciones Cuadr ticas .. 38 Gr ficas de funciones cuadr ticas .. 42 Problemas que involucran funciones cuadr ticas .. 48 Respuestas a los ejercicios .. 53 Autoevaluaci n tipo examen 55 UNIDAD 3. ELEMENTOS B SICOS DE GEOMETR A 58 Presentaci n .. 58 Conceptos claves .. 58 Construcci n con regla y comp s .. 60 ngulos .. 61 Geometr a del tri ngulo .. 64 Pol gonos .. 73 ngulos interiores de un pol 75 C rculo y Circunferencia.

5 82 Respuestas a los ejercicios .. 86 Autoevaluaci n tipo examen 88 5 UNIDAD 4. CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PIT GORAS.. 91 Presentaci n .. 91 Conceptos claves .. 92 Congruencia .. 94 Semejanza .. 103 Semejanza de tri ngulos .. 105 Criterios de semejanza de tri ngulos .. 107 Raz n entre per metros y entre reas de tri ngulos semejantes .. 110 Teorema de Pit goras .. 115 Respuestas a los ejercicios .. 120 Autoevaluaci n tipo examen 123 Bibliograf a b sica .. 129 Bibliograf a complementaria .. 129 Unidad 1. Ecuaciones cuadr ticas 6 UNIDAD 1. ECUACIONES CUADR TICAS Presentaci n - Utilizar s los m todos de factorizaci n, completar el trinomio cuadrado perfecto y f rmula general para resolver ecuaciones cuadr ticas con una variable.

6 - Determinar s cuando una ecuaci n cuadr tica no tiene soluci n real. - Resolver s problemas que involucren en su soluci n ecuaciones de segundo grado con una variable. Un poco de historia Fue Al Kjwarizmi astr nomo, ge grafo y matem tico quien determin las primeras reglas del c lculo algebraico: la transposici n de los t rminos de uno a otro miembro de una ecuaci n, previo cambio de signo, y la anulaci n de t rminos id nticos en ambos miembros. Tambi n estudi las ecuaciones de segundo grado. Las ecuaciones de primer y segundo grado se resolv an con un m todo pr cticamente id ntico al que usamos hoy en d a. Sin embargo, la soluci n no apareci en Europa hasta el s.

7 XII, en el libro Tratado de Medidas y C lculos, del matem tico judeo-espa ol Abraham Bar Hiyya Ha-Nasi. Siglos despu s, todos los libros de matem ticas de nivel medio superior incluyen la famosa f rmula general o llamada com nmente chicharronera . Temas que comprende la unidad: Problemas que dan lugar a ecuaciones cuadr ticas con una inc gnita. Resoluci n de ecuaciones cuadr ticas de las formas: 2= , 2= , 2+ = , 2+ =0, ( + )2+ = , ( + )( + )=0. M todos de soluci n de la ecuaci n cuadr tica 2+ + =0: Unidad 1. Ecuaciones cuadr ticas 7 a) Factorizaci n. b) M todo de completar un trinomio cuadrado perfecto. c) F rmula general para resolver una ecuaci n cuadr tica. Discriminante 2 4 y naturaleza de las ra ces.

8 Problemas de aplicaci n. Conceptos clave Ecuaci n de segundo grado. Son aquellas que se pueden escribir de la siguiente forma: 2+ + =0 donde a, b y c son n meros reales cualesquiera, tales que 0. Diferencia de cuadrados. Es un binomio en el cual sus t rminos se est n restando y adem s est n elevados al cuadrado; es decir son binomios que tienen la forma: 2 2 La diferencia de cuadrados se obtiene multiplicando dos binomios conjugados, es decir: ( + )( )= 2 2 Binomios conjugados. Son dos binomios que s lo se diferencian en un signo, por ejemplo: y + 3 +6 y 3 6 Trinomio cuadrado perfecto. Es el resultado de elevar un binomio al cuadrado, es decir, es un trinomio de la forma: 2+2 + 2 F rmula general para resolver ecuaciones de segundo grado.

9 Se refiere a la f rmula que se puede emplear para resolver este tipo de ecuaciones; es: = 2 4 2 Discriminante de una ecuaci n de segundo grado. En una ecuaci n cuadr tica, se refiere al valor de: = 2 4 Unidad 1. Ecuaciones cuadr ticas 8 Resoluci n de ecuaciones cuadr ticas de las formas: = , = , + = , + = , ( + ) + = , ( + )( + )= Ejemplo 1. Resuelve la siguiente ecuaci n de segundo grado 2=100 Esta es una ecuaci n de segundo grado ya que la podemos escribir como 2 100=0. Adem s, observa que la forma de la ecuaci n es 2= . En este caso, como queremos despejar extraemos ra z cuadrada a ambos lados de la ecuaci n y obtenemos: 2= 100 = 10 As que las ra ces o soluciones de la ecuaci n son 10 y 10.

10 Ejemplo 2. Resuelve la siguiente ecuaci n de segundo grado 5 2=100 Unidad 1. Ecuaciones cuadr ticas 9 Observa que es una ecuaci n de segundo grado y la podemos escribir como 5 2 100=0. Adem s, observa que la forma de la ecuaci n es 2= . En este caso primero despejamos 2: 2=1005=20 2=20 Ten en cuenta que ahora se tiene una ecuaci n de la forma 2= , como en el ejemplo 1, as que la soluci n de la ltima ecuaci n se obtendr de la misma manera que en el caso de la ecuaci n de ejemplo 1; extraemos ra z cuadrada a ambos lados de la ecuaci n: 2= 20 = 2 5 As que las soluciones de la ecuaci n son 2 5 y 2 5. Ejemplo 3. Resuelve la siguiente ecuaci n de segundo grado: 3 2 5=8 Observa que esta es una ecuaci n de segundo grado y la podemos escribir como 5 2 13=0; adem s que su forma es 2+ =.