ValueatRisk

1 Value at Risk(mesure de capital conomique)Ga l Riboulet & Thierry RoncalliGroupe de Recherche Op rationnelleCr dit Lyonnaisemail : de l' Fonds propres etValue-at-Risk Les exigences r glementaires L'allocation de fonds des risques de march Un rappel sur les aspectsr glementaires La Valeur en Risque Les probl mes li s la construction dela VaR La VaR est-elle une bonne mesure desrisques ?Value at Risk (mesure de Capital conomique) 'utilisation de la VaR pour les autresrisques Le risque de cr dit Le risque op probl me de l'agr gation Mesure agr g e et contribution D pendance et corr lation La th orie des copules1 Introduction Fonds propres etValue-at-Risk Les exigences r glementaires L'allocation de fonds propresValue at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-1 Fonds propres etValue-at-RiskR f rence :Modalit s de Calcul du Ratio de Solvabilit Actualisation au 31d cembre 1998, Commission Bancaire, Secr tariat G n ral,Service des A aires Internationales, 30 d cembre 1998 Les fonds propres sont un des l ments dupassif d'une banque.

2 Ils regroupent : Les actions ordinaires et les certi catsd'investissement, les r serves, le r sultat non distribu , autres l ments du passif d'une banquesont les d pots, l' pargne des m nages, ainsique les l'actif, nous trouvons les cr dits et les pr tsaux m nages et aux entreprises, les services, at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-2 Fonds propres etVaR(suite) Ces fonds propres sont un des l ments denotation de la banque, note qui conditionne leco t des ressources (de tr sorerie ou de longterme).Quelle est l'utilit des fonds propres ?Ils servent garantirl'activit de la particulier, ils doivent permettred'absorber lesfortespertes dues des l ments xog nes et/ou inattendus : Crise russe (risque pays - d faut depaiement), Crise asiatique (implosion des syst mesbancaires), Crise immobili re (krach sp culatif), plus leur niveau est lev , plus la banquepr sente des gages de solidit ( activit bancaire constante).

3 Value at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-3 Fonds propres etVaR(suite)R sum :Les fonds propres (quicorrespondent au capital de la banque)permettent de couvrir les risques(exceptionnels). C'est donc le moteur del'activit bancaire. Pour cela, ils sont r mun r s. Le taux der mun ration est appel Return on matique de la banque :Prendre le moins de risque et en m me tempso rir le ROE le plus lev ses faut donc savoir mesurer le risque. Value-at-RiskouValeur en RisqueValue at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-4 Fonds propres etVaR(suite)LaValue-at-Riskest une mesure de pertepotentielle. Elle permet de r pondre laquestion suivante :Combienl' tablissement nancier peut-ilperdre avec une probabilit 1 pour unep riodede tempsT x ? Combien =Value-at-Risk(montant enFrancs ou Euros)Interpr tation statistique :Value-at-Risk= QuantileValue at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-5 Figure 1: Repr sentation graphique de la Valeur en RisqueLes exigences r glementairesLe texte de B leR f rence :Amendment to the capital accord to incorporate market risks,Basle Committee on Banking Supervision, January 1996, N 24A l' poque, l'exigence en fonds propres taitcalcul e partir debases sormais, le comit de B le autorise les tablissements nanciers d'utiliserlesmod les internespour calculer l'exigence enfonds propres pourles risques de march.

4 L gitimit r glementaire de la VaRLa VaR est tr s vite adopt e par les tablissements nanciers a n de r duirel'exigence en fonds propres. Mise en place d'un cadre r glementairepour utiliser les mod les at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-6 Exigences r glementaires(suite)L'exigence en fonds propresR f rence :Modalit s de Calcul du Ratio de Solvabilit Actualisation au 31d cembre 1998, Commission Bancaire, Secr tariat G n ral,Service des A aires Internationales, 30 d cembre 1998 Les tablissements doivent calculer laperte potentielle quotidiennement pourune p riode de d tention de 10 cette perte potentielleP(t) la datet(jour ouvr ). A chaque datet, l' tablissementcalcule l'exigence de fonds propresFP(t)dela fa on suivanteFP(t)= max P(t 1),(3 + ) 16060 i=1P(t i) avec le compl ment ventuel (0 1).

5 Il est donc important dedisposer d'unebonne mesure des risquespuisque celle-ciconditionne l'exigence en fonds at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-7 Exigences r glementaires(suite)Dispositif prudentielLes contr les ex post visent s'assurerque le degr de couverture observ correspond bien au niveau de con ancede 99%. Le backtesting porte sur la VaRun jour,et non sur la VaR pour une p riode ded tention de 10 jours. La commission bancaire autorise le calculde la VaR 10 jours partir de la VaR 1 at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-8 Exigences r glementaires(suite)Dispositif prudentiel Les contr les doivent portersur les 250derniers jours Commission Bancaire d nit alors troiszones pour valuer les r sultats des contr lesex post et pour appliquer le compl ment ventuel au coe cient multiplicateur 3 :ZoneD nition de la zoneValeur de VertePr(X n)<95%0 OrangePr(X n)< 1 RougePr(X n) (X n): Probabilit cumul e d'avoirnexceptions Pour 250 jours, les zones sontles suivantes.

6 Verte (n <5) Orange(5 n 9) Rouge (n >10)Value at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-9 Exigences r glementaires(suite)Le facteur multiplicatif(3 + ) Facteur de donn une variable al atoireXde loiquelconque dont nous connaissons les deuxpremiers moments et 2, quelle distancerelative par rapport l' cart-type se situe lequantile ?Pour cela, nous utilisons l'in galit deBienaym -Tchebyshev :Pr(|X |> k ) 1k2 Value at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-10 Exigences r glementaires(suite)Le facteur multiplicatif(3 + )Si la loi est sym trique, nous avonsPr(X +k ) 1 12k2Or cette probabilit n'est rien d'autre que lafonction de r partitionF:F( +k ) 1 12k2Au seuil de con ance de et si nousd signons parF 1la fonction inverse der partition (qui n'est rien d'autre que lafonction de quantile), nous en d duisons queX +k F 1(1 12k2)= et donck 12 2 Value at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-11 Exigences r glementaires(suite)Le facteur multiplicatif(3 + )En n gligeant la tendance et en assimilantX la perte potentielle, celle-ci se situe donc k carts-types.

7 Or laVaRtelle qu'elle estcalcul e se situe c= 1( ) ratiokcest le coe cient de multiplicationqui permet d' tre s r que laVaRcorrespondbien un quantile au moins gal lorsquenous utilisons une approximation gaussienneet ceci quelle que soit la vraie fonction est facile de montrer que lorsque la fonctionde distribution est asym trique, une bornesup rieure dekest(1 ) at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-12 Exigences r glementaires(suite)Le facteur multiplicatif(3 + )Le tableau suivant contient les valeurs duratio pour di rentes valeurs de .sym triqueasym trique ckk/ = , le ratio est proche de4. Siles autorit s r glementaires prenaient alorscette valeur pour xer le coe cientmultiplicateur, cette mesure aurait pourincidenced'augmenter les fonds propres par rapport la situation at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-13 Exigences r glementaires(suite)Les r exions actuelles sur lerisque de cr ditCredit Risk Models at Major Banking Institutions.

8 Current State of the Art and Implications forAssessments of Capital Adequacy,Federal ReserveSystem Task Force on Internal Credit Risk Models,may 1998A new capital adequacy framework,Basle Committeeon BankingSupervision, June 1999, N 50 L'utilisation des mod les internes pourcalculer l'exigence en fonds propres pourrait tre tendue tr s prochainement auxrisquesde cr at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-14 Allocation de fonds propres La probl matique La notion de capital conomique La construction d'un mod le ' 'approchetop-downValue at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-15 Allocation de fonds propres(suite)La probl matiqueCadre d'analyse :Utilisation d'un mod leinterne d'allocation de fonds propres sur base :Cr ation de valeur (EVA) pour lesactionnaires (ShareholderValueAddedanalysis SVA).

9 Moyens :Calcul de la rentabilit conomiquede chaque op ration, de chaqueprojet (c- -d. de la rentabilit de chaqueprojet en tenant compte du montant de fondspropres (capital conomiqueconsomm ).Value at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-16 Allocation de fonds propres(suite)La notion de capital conomiqueChaque op ration (risqu e) mobilise desfonds propres de la peuvent tre calcul s de fa onforfaitaire. Cependant, le calcul ne tient pascompte des e ets de diversi cation, de lanature du portefeuille de la banque, de lasignature (rating) de la contrepartie, etc. Fonds propres forfaitairesCeux-ci peuvent tre calcul s partir demod les internes, qui sont (suppos s tre)plus rationnels. Fonds propres conomiques (ou capital conomique = mesure juste du risque)Value at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-17 Allocation de fonds propres(suite)VaR: outil de mesuredu capital construction des VaRs va donc concernerl'ensemble des risques d'une banque risque de march risque de cr risque op rationnel S lectionner (et comparer) les projets entenant compte du capital conomique allou.)

10 R duire au nal les fonds propres allou spour a cher une meilleure rentabilit (ROE).Value at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-18 Figure 2: Les di rents types de risqueAllocation de fonds propres(suite)La construction d'un mod leinterneLa VaR est l'outil de mesure (outil der f rence) du capital conomique. Ellepermet donc de savoir combien il faut allouerde capital conomique un nouveau projet,mais ce n'est pasun mod le d' le d'allocation = mod le qui permetd'allouer de fa on e ciente les fonds propresentre di rentes activit s ou di rentsprojets. 2 approches at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-19 Allocation de fonds propres(suite)L'approchebottom-upR f rences :Denault, M. [1999], Coherent allocation ofrisk capital, Swiss Federal Institute ofTechnology,Working Paper, October, , and Stein [1998], Riskmanagement, capital budgeting, and capitalstructure policy for nancial institutions: anintegrated approach,Journal of FinancialEconomics,47, 55-82 Value at Risk (mesure de Capital conomique)Introduction1-20 Allocation de fonds propres(suite)Punjabi, S.