Transcription of Action de groupe - Exo7
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Example: bachelor of science
Action de groupe - Exo7
Enonc s : Michel Emsalem,Corrections : Pierre D besExo7 Action de groupeExercice 1 Soit S5d fini par =1 2 3 4 55 4 1 2 3(a) Ecrire la d composition de en produit de cycles de supports disjoints. Quelle est la signature de ?(b) Donner la liste des l ments de< >. D terminer< > [002166]Exercice 2(a) montrer que le produit de deux transpositions distinctes est un 3-cycle ou un produit de deux 3-cycles. End duire queAnest engendr par les 3-cycles.(b) Montrer queAn=<(123),(124),..,(12n)>.CorrectionH[002167]Exercice 3On appelle cycle une permutation v rifiant la propri t suivante : il existe une partition de{1,..,n}endeux sous-ensemblesIetJtels que la restriction de Iest l identit deIet il existea Jtel queJ={a, (a),.., r 1(a)}o rest le cardinal deJ. Le sous-ensembleJest appel le support du cycle.
Soit H un sous-groupe distingué de S n contenant une transposition. Montrer que H =S n. Correction H [002171] Exercice 7 Dans le groupe symétrique S 4 on considère les sous-ensembles suivants : H =fs 2S 4 js(f1;2g)=f1;2gg K =fs 2S 4 j8a;b a b [mod 2])s(a) s(b) [mod 2]g Montrer que H et K sont des sous-groupes de S
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