Action de groupe - Exo7

1 Enonc s : Michel Emsalem,Corrections : Pierre D besExo7 Action de groupeExercice 1 Soit S5d fini par =1 2 3 4 55 4 1 2 3(a) Ecrire la d composition de en produit de cycles de supports disjoints. Quelle est la signature de ?(b) Donner la liste des l ments de< >. D terminer< > [002166]Exercice 2(a) montrer que le produit de deux transpositions distinctes est un 3-cycle ou un produit de deux 3-cycles. End duire queAnest engendr par les 3-cycles.(b) Montrer queAn=<(123),(124),..,(12n)>.CorrectionH[002167]Exercice 3On appelle cycle une permutation v rifiant la propri t suivante : il existe une partition de{1,..,n}endeux sous-ensemblesIetJtels que la restriction de Iest l identit deIet il existea Jtel queJ={a, (a),.., r 1(a)}o rest le cardinal deJ. Le sous-ensembleJest appel le support du cycle.

2 Un tel cycle sera not (a, (a),.., r 1(a))(a) Soit Snune permutation. On consid re le sous-groupeCengendr par dansSn. montrer que larestriction de chacune des orbites de{1,..,n}sous l Action deCest un cycle, que ces diff rents cyclescommutent entre eux, et que est le produit de ces cycles.(b) D composer en cycles les permutations suivantes de{1,..,7}:1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 73 6 7 2 1 4 57 4 2 3 5 6 11 3 7 2 4 5 6(c) montrer que si est un cycle, = (a, (a),.., r 1(a)), la conjugu e 1est un cycle et que 1=( (a), ( (a)),.., ( r 1(a))).(d) D terminer toutes les classes de conjugaison des permutations dansS5(on consid rera leur d compositionen cycles). D terminer tous les sous-groupes distingu s [002168]Exercice 4 montrer que les permutations circulaires engendrentSnsinest pair, etAnsinest [002169]Exercice 5 SoitIun sous-ensemble de{1.}

3 ,n}et un cycle de supportI. Soit une autre permutation. montrer que commute avec si et seulement si laisse invariantIet la restriction de Iest gale une puissance de larestriction de [002170]Exercice 61 SoitHun sous- groupe distingu deSncontenant une transposition. Montrer queH= [002171]Exercice 7 Dans le groupe sym triqueS4on consid re les sous-ensembles suivants :H={ S4| ({1,2}) ={1,2}}K={ S4| a,b a b[mod 2] (a) (b) [mod 2]}Montrer queHetKsont des sous-groupes deS4. Les d [002172]Exercice 8 montrer que l ordre d une permutation impaire est un nombre [002173]Exercice 9 montrer que toute permutation d ordre 10 dansS8est [002174]Exercice 10(a) montrer que tout 3-cycle est un carr . En d duire que le groupe altern Anest engendr par les carr s depermutations.(b) Montrer queAnest le seul sous- groupe deSnd indice [002175]Exercice 11 Trouver toutes les classes de conjugaison deS4.

4 Donner la liste des sous-groupes distingu s [002176]Exercice 12 Etant donn s un groupeGet un sous-groupeH, on d finit le normalisateur NorG(H)deHdansGcommel ensemble des l mentsg Gtels quegHg 1=H.(a) montrer que NorG(H)est le plus grand sous- groupe deGcontenantHcomme sous- groupe distingu .(b) montrer que le nombre de sous-groupes distincts conjugu s deHdansGest gal l indice[G: NorG(H)]et qu en particulier c est un diviseur de l ordre [002177]Exercice 13 montrer que pourm>3, un groupe simple d ordre>m! ne peut avoir de sous- groupe d [002178]Exercice 14 SoitGun groupe etHun sous- groupe d indice finin. montrer que l intersectionH des conjugu s deHparles l ments deGest un sous- groupe distingu deGet d indice fini dansG. montrer que c est le plus grandsous- groupe distingu deGcontenu [002179]Exercice 152a) Montrer qu un groupeGv rifiant a,b G a2b2= (ab)2est commutatif.

5 (b) Le but de cette question est de donner un exemple de groupeGv rifiant la propri t a,b G a3b3= (ab)3et qui n est pas commutatif.(i) montrer qu il existe un automorphisme deF23d ordre 3.(ii) montrer que le groupeGd fini comme le produit semi-direct deF23parZ3,Z3agissant surF23via r pond la [002180]Exercice 16 SoientGun groupe etHun sous- groupe d indice fini dansG. On d finit surGla relationxRysi et seulement six HyH.(a) Montrer queRest une relation d quivalence et que toute classe d quivalence pour la relationRest uneunion finie disjointe de classes gauche 16i6d(x)xiHla partition de la classeHxHen classes gauche distinctes.(b) Soith Hetiun entier compris entre 1 etd(x); posonsh xiH=hxiH. montrer que cette formule d finitune Action transitive deHsur l ensemble des classesx1H.

6 ,xd(x)Het que le fixateur dexiHdans cette actionestH xiHx 1i. En d duire qued(x) = [H:H xHx 1]et qu en particulierd(x)divise l ordre deG.(c) Montrer queHest distingu dansGsi et seulement sid(x) =1 pour toutx G.(d) On suppose queGest fini et que[G:H] =p, o pest le plus petit nombre premier divisant l ordre deG. Lebut de cette question est de montrer queHest distingu dansG.(i) montrer que pour toutx G,d(x)6p. En d duire qued(x) =1 oud(x) =p.(ii) montrer que siHn est pas distingu dansG, il existe une unique classe d quivalence pour la relationRet queG=H, ce qui contredit l hypoth se[G:H] = [002181]Exercice 17 SoitGun groupe fini agissant sur un ensemble finiX.(a) On suppose que toute orbite contient au moins deux l ments, que|G|=15 et que card(X) =17. D terminerle nombre d orbites et le cardinal de chacune.

7 (b) On suppose que|G|=33 et card(X) =19. Montrer qu il existe au moins une orbite r duite un l [002182]Exercice 18(a) SoitGun groupe etHun sous- groupe . montrer que la H=gg Hd finit une Action deGsur l ensemble quotientG/H. D terminer le fixateur d une classegH.(b) SoitGun groupe etXetYdeux ensembles sur lesquelsGagit (on parlera deG-ensembles). Soitfuneapplication deXdansY. On dira quefest compatible l Action deG(ou quefest un morphisme deG-ensembles) si pour tout l mentxdeXet toutgdansG,f( ) = (x). montrer que sifest bijective etcompatible l Action deGil en est de m me def 1. On dira dans ce cas quefest un isomorphisme (c) SoitGun groupe agissant transitivement sur un ensembleX( pour tout couple d l mentsxetydeXilexiste au moins un l mentgdu groupe tel ).

8 Montrer qu il existe un sous-groupeHdeGtel queXsoit isomorphe en tant queG-ensemble G/H(on prendra pourHle fixateur d un point quelconque deX).(d) i) SoitHetKdeux sous-groupes deG. Montrer qu il existe une applicationfdeG/HversG/Kcompatibleavec l Action deGsi et seulement siHest contenu dans un conjugu deK. montrer que dans ce casfestsurjective. Montrer queG/HetG/Ksont isomorphes en tant queG-ensembles si et seulement siHetKsontconjugu s ) SoitXetYdeuxG-ensembles transitifs. Montrer qu il existe une application deXversYcompatible avecl Action deGsi et seulement si il existe deux l mentsxetydeXetYtels que le fixateur dexsoit contenu dansun conjugu du fixateur dey. Montrer queXetYsont isomorphes si et seulement si les fixateurs dexet deysont conjugu s [002183]Exercice 19 SoitGun groupe fini etXunG-ensemble transitif.

9 On dira queXestimprimitifsiXadmet une partitionX= 16i6rXitelle que tout l mentgdeGrespecte cette partition, envoie un sous-ensembleXisur unsous-ensembleXk( ventuellementk=i) et telle que 26ret les partiesXine sont pas r duites un l le cas contraire on dit queXestprimitif.(a) montrer que dans la d composition pr c dente, si elle existe, tous les sous-ensemblesXiont m me nombremd l ments.(b) SoitHun sous- groupe deG. Montrer queG/Hest imprimitif si et seulement s il existe un sous-groupepropreKdeGdiff rent deHtel queH K G(on regardera la partition deG/Hen classes moduloK).(c) D duire de ce qui pr c de queXest primitif si et seulement si le fixateur d un l mentxdeXest maximalparmi les sous-groupes propres deG.(d) On suppose ici queXest primitif et queHest un sous- groupe distingu deGdont l Action n est pas trivialesurX.

10 Montrer qu alorsHagit transitivement [002184]Exercice 20 Montrer qu un sous- groupe primitif deSnqui contient une transposition estSntout [002185]Exercice 21 SoitGun groupe fini etXunG-ensemble. Sikest un entier (16k), on dit queXestk-transitif, si pourtout couple dek-uplets(x1,..,xk)et(y1,..,yk)d l ments deXdistincts deux deux, il existe au moins un l mentgdeGtel que pour touti, 16i6k, UnG-ensemble 1-transitif est donc simplement unG-ensemble transitif.(a) montrer que siXestk-transitif, il est aussil-transitif pour toutl, 16l6k.(b) Montrer queXest 2-transitif si et seulement si le fixateur d un l mentxdeXagit transitivement surX\{x}.(c) montrer que siXest imprimitif, il n est pas 2-transitif.(d) Montrer qu un groupe cycliqueCd ordre premier consid r commeC-ensemble par l Action de translationdeCsur lui-m me, est primitif mais n est pas 2-transitif.