Transcription of Exo7 - Cours de mathématiques
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Example: bachelor of science
Exo7 - Cours de mathématiques
S riesDans ce chapitre nous allons nous int resser des sommes ayant une infinit de termes. Par exemple que peut bienvaloir la somme infinie suivante :1+12+14+18+116+ =?211214 Cette question a t popularis e sous le nom duparadoxe de Z non. On tire une fl che 2 m tres d une cible. Ellemet un certain laps de temps pour parcourir la moiti de la distance, savoir un m tre. Puis il lui faut encore dutemps pour parcourir la moiti de la distance restante, et de nouveau un certain temps pour la moiti de la distanceencore restante. On ajoute ainsi une infinit de dur es non nulles, et Z non en conclut que la fl che n atteint jamaissa cible ! Z non ne concevait pas qu une infinit de distances finies puisse tre parcourue en un temps fini. Et pourtantnous allons voir dans ce chapitre que la somme d une infinit de termes peut tre une valeur D finitions S rie g om D finitionsD finition (uk)k>0une suite de nombres r els (ou de nombres complexes).
Le point clé est que l’on retrouve le terme général à partir des sommes partielles par la formule un = Sn Sn1. Démonstration. Pour tout n >0, posons Sn = Pn k=0 u k. Pour tout n >1, un = Sn Sn1. Si P >0 uk converge, la suite (Sn)n>0 converge vers la somme S de la série. Il en est de même de la suite (Sn1)n>1. Par linéarité de la ...
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