Exo7 - Cours de mathématiques

1 S riesDans ce chapitre nous allons nous int resser des sommes ayant une infinit de termes. Par exemple que peut bienvaloir la somme infinie suivante :1+12+14+18+116+ =?211214 Cette question a t popularis e sous le nom duparadoxe de Z non. On tire une fl che 2 m tres d une cible. Ellemet un certain laps de temps pour parcourir la moiti de la distance, savoir un m tre. Puis il lui faut encore dutemps pour parcourir la moiti de la distance restante, et de nouveau un certain temps pour la moiti de la distanceencore restante. On ajoute ainsi une infinit de dur es non nulles, et Z non en conclut que la fl che n atteint jamaissa cible ! Z non ne concevait pas qu une infinit de distances finies puisse tre parcourue en un temps fini. Et pourtantnous allons voir dans ce chapitre que la somme d une infinit de termes peut tre une valeur D finitions S rie g om D finitionsD finition (uk)k>0une suite de nombres r els (ou de nombres complexes).

2 On poseSn=u0+u1+u2+ +un=n k= suite(Sn)n>0s appelle las riede terme g n s rie est not e par la somme infinie k>0uk. La suite(Sn)s appelle aussi lasuite des sommes C. D finissons la suite(uk)k>0paruk=qk; c est une suite g om trique. Las rie g om trique k>0qkest lasuite des sommes partielles :S0=1S1=1+qS2=1+q+q2..Sn=1+q+q2+ +qn..D finition RIES1. D FINITIONS S RIE G OM TRIQUE2Si la suite(Sn)n>0admet une limite finie dansR(ou dansC), on noteS=+ k=0uk=limn + appelle alorsS= + k=0uklasommede la s rie k>0uk, et on dit que la s rie estconvergente. Sinon, on ditqu elle peut noter une s rie de diff rentes fa ons, et bien s r avec diff rents symboles pour l indice :+ i=0ui n Nun k>0uk notre part, on fera la distinction entre une s rie quelconque k>0uk, et on r servera la notation+ k=0uk une s rieconvergente ou sa S rie g om triqueProposition q C. La s rie g om trique k>0qkest convergente si et seulement si|q|<1.

3 On a alors+ k=0qk=1+q+q2+q3+ =11 qD ronsSn=1+q+q2+q3+ +qn. cartons tout de suite le casq=1, pour lequelSn=n+1. Dans ce casSn + , et la s rie diverge. Soitq6=1 et multiplionsSnpar 1 q:(1 q)Sn=(1+q+q2+q3+ +qn) (q+q2+q3+ +qn+1)=1 qn+1 DoncSn=1 qn+11 qSi|q|<1, alorsqn 0, doncqn+1 0 et ainsiSn 11 q. Dans ce cas la s rie k> |q|>1, alors la suite(qn)n a pas de limite finie (elle peut tendre vers+ , par exemple siq=2 ; ou bien tredivergente, par exemple siq= 1). Donc si|q|>1,(Sn)n a pas de limite finie, donc la s rie k> rie g om trique de raisonq=12:+ k=012k=11 12=2. Cela r sout le paradoxe de Z non : lafl che arrive bien jusqu au mur ! rie g om trique de raisonq=13, avec premier terme133. On se ram ne la s rie g om trique commen ant k=0 en ajoutant et retranchant les premiers termes :+ k=313k=+ k=013k 1 13 132=11 13 139=32 139= fait de calculer la somme d une s rie partir dek=0 est purement conventionnel.

4 On peut toujours effectuerun changement d indice pour se ramener une somme partir de0. Une autre fa on pour calculer la m me s rie+ k=313kque pr c demment est de faire le changement d indicen=k 3 (et donck=n+3) :+ k=313k=+ n=013n+3=+ n=013313n=133+ n=013n=12711 13=1184.+ k=0( 1)k 12 2k=+ k=0 14 k=11 14= RIES1. D FINITIONS S RIE G OM S ries convergentesLa convergence d une s rie ne d pend pas de ses premiers termes : changer un nombre fini de termes d une s riene change pas sa nature, convergente ou divergente. Par contre, si elle est convergente, sa somme est videmmentmodifi fa on pratique d tudier la convergence d une s rie est d tudier son reste : lereste d ordrend une s rieconvergente + k=0ukest :Rn=un+1+un+2+ =+ k=n+1ukProposition une s rie est convergente, alors S=Sn+Rn(pour tout n>0) etlimn + Rn= monstration. S= + k=0uk= nk=0uk+ + k=n+1uk=Sn+Rn. DoncRn=S Sn S S=0 lorsquen +.

5 Suites et s riesIl n y a pas de diff rence entre l tude des suites et des s ries. On passe de l une l autre tr s d abord rappelons qu une s rie k>0uk, on associe la somme partielleSn= nk=0uket que par d finition las rie est convergente si la suite(Sn)n> ciproquement si on veut tudier une suite(ak)k>0on peut utiliser le r sultat suivant :Proposition t lescopiqueest une s rie de la forme k>0(ak+1 ak).Cette s rie est convergente si et seulement si`:=limk + akexiste et dans ce cas on a :+ k=0(ak+1 ak)=` k=0(ak+1 ak)=(a1 a0)+(a2 a1)+(a3 a2)+ +(an+1 an)= a0+a1 a1+a2 a2+ +an an+an+1=an+1 a0 Voici un exemple tr s important pour la s rie+ k=01(k+1)(k+2)=11 2+12 3+13 4+ est convergente et a la valeur1. En effet, elle peut tre crite comme somme t lescopique, et plus pr cis ment lasomme partielle v rifie :Sn=n k=01(k+1)(k+2)=n k=0 1k+1 1k+2 =1 1n+2 1lorsquen + Par changement d indice, on a aussi que les s ries + k=11k(k+1)et + k=21k(k 1)sont convergentes et de m me RIES1.

6 D FINITIONS S RIE G OM Le terme d une s rie convergente tend vers0Th or me la s rie k>0ukconverge, alors la suite des termes g n raux(uk)k>0tend point cl est que l on retrouve le terme g n ral partir des sommes partielles par la formuleun=Sn Sn toutn>0, posonsSn= nk=0uk. Pour toutn>1,un=Sn Sn 1. Si k>0ukconverge, la suite(Sn)n>0converge vers la sommeSde la s rie. Il en est de m me de la suite(Sn 1)n>1. Par lin arit de la limite, lasuite(un)tend versS S= contrapos e de ce r sultat est souvent utilis e :Une s rie dont le terme g n ral ne tend pas vers 0 ne peut pas exemple les s ries k>1(1+1k)et k>1k2sont int ressant, la s rie ukde terme g n raluk= 1sik=2`pour un certain`>00sinondiverge. En effet, m me si les termes valant 1 sont tr s rares, il y en a quand m me une infinit ! Lin arit Proposition + k=0aket + k=0bkdeux s ries convergentes de sommes respectivesAetB, et soient , R(ouC).

7 Alors las rie + k=0( ak+ bk)est convergente et de somme A+ B. On a donc+ k=0( ak+ bk)= + k=0ak+ + k= monstration. An= nk=0ak A C,Bn= nk=0bk B C. Donc nk=0( ak+ bk)= nk=0ak+ nk=0bk= An+ Bn A+ exemple :+ k=0 12k+53k =+ k=012k+5+ k=013k=11 12+511 13=2+532= application pour les s ries termes complexes, la convergence quivaut celle des parties r elle et imaginaire :Proposition (uk)k>0une suite de nombres complexes. Pour toutk, notonsuk=ak+ibk, avecakla partie r elle deuketbklapartie imaginaire. La s rie ukconverge si et seulement si les deux s ries aket bkconvergent. Si c est le cas, ona :+ k=0uk=+ k=0ak+i+ k= rons par exemple la s rie g om trique k>0rk, o r= ei est un complexe de module <1 et d argument .Comme le module derest strictement inf rieur 1, alors la s rie converge et+ k=0rk=11 RIES1. D FINITIONS S RIE G OM TRIQUE5D autre part,rk= keik par la formule de Moivre.

8 Les parties r elle et imaginaire derksontak= kcos(k )etbk= ksin(k ).On d duit de la proposition pr c dente que :+ k=0ak=Re + k=0rk =Re 11 r et+ k=0bk=Im + k=0rk =Im 11 r .Le calcul donne :+ k=0 kcos(k )=1 cos 1+ 2 2 cos et+ k=0 ksin(k )= sin 1+ 2 2 cos . Sommes de s riesPour l instant, il n y a pas beaucoup de s ries dont vous connaissez la somme , part les s ries g om triques. Il faudraattendre d autres chapitres et d autres techniques pour calculer des sommes de s ries. Dans ce chapitre on s int resseraessentiellement savoir si une s rie converge ou cependant une exception !Exemple Ctel que|q|<1. Que vaut la somme + k=0kqk?Admettons un moment que cette s rie converge et notonsS= + k=0kqk. crivons :S=+ k=0kqk=+ k=1kqk=q+ k=1kqk 1=q+ k=1qk 1+q+ k=1(k 1)qk 1=q+ k=1qk 1+q+ k =0k qk en posantk =k 1=q+ k=1qk 1+q SEn r solvant cette quation enS, on trouve que(1 q)S=q+ k=1qk derni re s rie est une s rie g om trique de raisonqavec|q|<1 donc converge.

9 Cela justifie la convergence (1 q)S=q 11 :S=+ k=0kqk=q(1 q) Crit re de CauchyAttention!Il existe des s ries k>0uktelles quelimk + uk=0, mais k>0ukdiverge. L exemple le plus classiqueest las rie harmonique:La s rie k>11k=1+12+13+14+ divergeS RIES1. D FINITIONS S RIE G OM TRIQUE6 Plus pr cis ment, on a limn + Sn=+ . Cependant on auk=1k 0 (lorsquek + ).Pour montrer que la s rie diverge nous allons utiliser le crit re de suite(sn)de nombres r els (ou complexes) converge si et seulement si elle est une suite de Cauchy,c est- -dire : >0 n0 N m,n>n0|sn sm|< Pour les s ries cela nous donne :Th or me 2(Crit re de Cauchy).Une s rie+ k=0ukconverge si et seulement si >0 n0 N m,n>n0 un+ +um < .On le formule aussi de la fa on suivante : >0 n0 N m,n>n0 m k=nuk < ou encore >0 n0 N n>n0 p N un+ +un+p < D preuve est simplement de dire que la suite(Sn)des sommes partielles converge si et seulement sic est une suite de Cauchy.

10 Ensuite il suffit de remarquer que Sm Sn 1 = un+ +um .Revenons la s rie harmonique k>11k. La somme partielle estSn= nk=11k. Calculons la diff rence de deux sommespartielles, afin de conserver les termes entren+1 (qui joue le r le den) et 2n(qui joue le r le dem) :S2n Sn=1n+1+ +12n>n2n=12La suite des sommes partielles n est pas de Cauchy (car12n est pas inf rieur =14par exemple), donc la s rie neconverge on souhaite terminer la d monstration sans utiliser directement le crit re de Cauchy alors on raisonne par l queSn ` R(lorsquen + ). Alors on a aussiS2n `(lorsquen + ) et doncS2n Sn ` `= qui entre en contradiction avec l in galit S2n Sn> termine par une tude plus pouss e de la s rie la s rie harmonique k>11ket sa somme partielle Sn=n k=11k, on alimn + Sn=+ .D >0. On choisitm Ntel quem>2M. Alors pourn>2mon a :Sn=1+12+13+ +12m+ +1n>1+12+13+ +12m=1+12+ 13+14 + 15+16+17+18 + 19+ +116 + + 12m 1+1+ +12m >1+12+214+418+8116+ +2m 112m=1+m12>ML astuce consiste regrouper les termes.