LES NOMBRES RÉELS - maths et tiques

1 1 sur 7. LES NOMBRES R ELS. PARTIE A : NOTION DE nombre R EL. I. NOMBRES d cimaux, NOMBRES rationnels Vid o 1. NOMBRES d cimaux ! Un nombre d cimal est un nombre de la forme , avec a entier et p entier naturel. "#$. Un nombre d cimal peut s' crire avec un nombre fini de chiffres apr s la virgule. L'ensemble des NOMBRES d cimaux est not . Exemples : 0,56 . 3 . " '. mais . ' . 2. NOMBRES rationnels ! Un nombre rationnel est un nombre sous la forme d'un quotient avec a un entier et b un /. entier non nul. L'ensemble des NOMBRES rationnels est not.

2 Exemples : ".. '. 4 . -4,8 .. D monstration : Vid o ". D montrons que le nombre rationnel n'est pas d cimal : '. ". On va effectuer une d monstration par l'absurde en supposant que est d cimal. '. Si notre d monstration aboutit une absurdit , cela prouvera que notre hypoth se de d part est fausse. Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 2 sur 7. ". Supposons donc que est d cimal. '. " ! Alors il s' crit sous la forme = $ avec a entier et p entier naturel. ' "#. Donc 105 = 3 et donc 105 est divisible par 3. Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.

3 Or, ceci est impossible car la somme des chiffres de 105 est 1, et 1 n'est pas divisible par 3. ". Donc l'hypoth se pos e au d part est fausse et donc n'est pas d cimal '. II. NOMBRES r els 1. D finition Un nombre est r el s'il est l'abscisse d'un point d'une droite gradu e appel e la droite num rique. L'ensemble des NOMBRES r els est not . C'est l'ensemble de tous les NOMBRES que nous utiliserons en classe de seconde. Exemples : ". 2, 0, -5, , , 3 ou appartiennent . '. 2. Classification des NOMBRES Tous les NOMBRES de l'ensemble des entiers naturels appartiennent l'ensemble des entiers relatifs.

4 On dit que l'ensemble est inclus dans l'ensemble . On note : . On a galement les inclusions suivantes : . Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 3 sur 7. La classification des NOMBRES : Vid o 3. Les NOMBRES irrationnels D finition : Un nombre r el qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. Exemples : 2, 3 ou encore sont des NOMBRES irrationnels. Ils ne peuvent pas s' crire ! sous la forme avec a et b deux entiers relatifs, b non nul. /. Comme pour un nombre rationnel, il n'est pas possible d' crire un nombre irrationnel sous forme d cimale. En effet, le nombre de d cimales qui le constitue est infini mais de surcro t ces d cimales se suivent sans suite logique.

5 D monstration : Irrationalit de 2. On va effectuer une d monstration par l'absurde en supposant que 2 est rationnel. Si notre d monstration aboutit une absurdit , cela prouvera que notre hypoth se de d part est fausse. Supposons donc que 2 est un rationnel. ! Il s' crit alors 2 = avec a et b entiers naturels premiers entre eux, b non nul. /. !? Ainsi : ? = 2 soit @ = 2 @ . /. On en d duit que a2 est pair, ce qui entra ne que a est pair. En effet, si a tait impair, alors a2 serait impair (voir Chapitre Notion de multiple, diviseur et nombre premier ).

6 Puisque a est pair, il existe un entier naturel k tel que a = 2k. Comme, @ = 2 On a : (2 )@ = 2 Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 4 sur 7. Soit : 4 @ = 2 Soit encore @ = 2 @ . On en d duit que b2 est pair, ce qui entra ne que b est pair. Or, a et b sont premiers entre eux, donc ils ne peuvent tre pairs simultan ment. On aboutit une absurdit . Donc, 2 n'est pas un rationnel. Et donc, 2 est un irrationnel. D terminer un arrondi d'un nombre : Vid o M thode : Donner un encadrement d'un nombre r el Vid o A l'aide de la calculatrice donner un encadrement 10-3 de 2 et de 3.

7 La calculatrice affiche des valeurs approch es : On a alors les encadrements 10-3 : 1,414 < 2 < 1,415 et 1,732 < 3 < 1,733. PARTIE B : INTERVALLES. I. Notations L'ensemble de tous les NOMBRES r els x tels que 2 x 4 peut se repr senter sur une droite gradu e. 2 4. 0 1. Cet ensemble est appel un intervalle et se note : [2 ; 4]. Exemple : L'ensemble de tous les NOMBRES r els x tels que 2 x 7 se note : [ 2 ; 7]. Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 5 sur 7. On a par exemple : 4 [ 2 ; 7]. 1 [ 2 ; 7]. 8 [ 2 ; 7]. Vid o NOMBRES r els x Notation Repr sentation 2 x 4 [2 ; 4].

8 0 1. 1 < x 3 ] 1 ; 3]. 0 1. 0 x<2 [0 ; 2[. 0 1. 2<x<4 ]2 ; 4[. 0 1. [2 ; + [. x 2. d signe l'infini 0 1. x > 1 ] 1 ; + [. 0 1. x 3 ] ; 3]. 0 1. x<2 ] ; 2[. 0 1. Remarque : L'ensemble des NOMBRES r els est un intervalle qui peut se noter ] ; + [. Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 6 sur 7. II. Intervalle ouvert et intervalle ferm . D finitions : On dit qu'un intervalle est ferm si ses extr mit s appartiennent l'intervalle. On dit qu'il est ouvert dans le cas contraire. Exemples : Vid o - L'intervalle [ 2 ; 5] est un intervalle ferm . On a : 2 [ 2 ; 5] et 5 [ 2 ; 5].

9 - L'intervalle ]2 ; 6[ est un intervalle ouvert. On a : 2 ]2 ; 6[ et 6 ]2 ; 6[. - L'intervalle ]6 ; + [ est galement un intervalle ouvert. III. Intersections et r unions d'intervalles D finitions : - L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble des l ments qui appartiennent A et B et se note A B. - La r union de deux ensembles A et B est l'ensemble des l ments qui appartiennent A ou B et se note A B.. M thode : D terminer l'intersection et la r union d'intervalles Vid o Vid o Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 7 sur 7. Dans les cas suivants, d terminer l'intersection et la r union des intervalles I et J : 1) I = [ 1 ; 3] et J = ]0 ; 4[ 2) I = ] ; 1] et J = [1 ; 4].

10 1) Pour visualiser les ensembles solutions, on peut repr senter les intervalles I et J sur un m me axe gradu . I. 0 1. J. Les NOMBRES de l'intersection des deux ensembles sont les NOMBRES qui appartiennent la fois aux deux ensembles. Il s'agit donc de la zone de l'axe gradu o les deux ensembles se superposent. Ainsi I J = ]0 ; 3]. I J. 0 1. Les NOMBRES de la r union des deux ensembles sont les NOMBRES qui appartiennent au moins l'un des deux ensembles. Il s'agit donc de la zone de l'axe gradu marqu e soit par l'intervalle I soit par l'intervalle J.