Commande par retour d’états ou placement des pôles - LAAS

1 Commande par retour d' tats ou placement des p les Cas continu Position de probl me . Soit le syst me d crit par l' quation d' tat X = AX + BU est dont le polyn me Y = CX. caract ristique est P( ) = n + an 1 n 1 + .. + a1 + a0 . On d sire imposer au syst me le polyn me caract ristique Pdesir ( ) = n + n 1 n 1 + .. + 1 + 0 . on applique au syst me une loi de Commande par retour d' tat ou placement de p les U=-KX, avec K=[k1, k2, k3 , , kn ]. 1. X. 1. S. K(n). 1. K(n-1). 1. K(2). 1. K(1). 1. U = K1 x1 K 2 x 2 .. K n x n Le placement des p les permet d'imposer la dynamique du syst me en BF. Equation d' tat du syst me en BF.

2 X ' = AX + BU .. U = KX . X ' = ( A BK ) X. Af = ( A BK ). Le placement de pole consiste imposer les valeurs propres Af : ( 1 ), ( 2 ),.., ( n ). Pd sirer ( ) = ( 1 )( 2 )..( + n ). On calcule le polyn me caract ristique de A f : Pf ( ) = det( I AJ ) Et en identifie A f ( ) avec Pd sirer ( ). exemple1 : U. X(1). 1 X(2) 1. 1. s s Y. 1/p 1/p1. K(2). 1. K(1). 1. x . = 1 . x2 . &. & = x1 = 0 1 + 0 U. x& 0 0 1 . 2 . U = = 1 1 2 2. & = 0.. 1 .. 1 2 . f ( ) = 2 + 2 + 1. d sire ( ) = ( + 1 )( + 2 ) = 2 + ( 1 + 2 ) + 1 2. = 1 2 . 1 . 2 = 1 + 2 . 0 1 . = . 0 0 . det = 1 syst meC. Exemple II. X ' = AX + BU. 1 1 1 . A = , B =.

3 0 2 1 . U = KX = ( K1 K 2 ) X. Af = A BK. 1 1 K1 K 2 1 K1 1 K 2 . Af = = . 0 2 K1 K 2 K1 2 K 2 . Pf = det ( I A f ). + K1 1 K 2 1 . Pf = . K1 2 + K 2 . Pf = 2 (3 K1 K 2 ) + (2 K1 K 2 ). On impose le polyn me caract ristique Pdesire ( ) = 2 + 1 + 2. 3 K1 K 2 = 1.. 2 K1 K 2 = 0. K1 + K 2 = 3 + 1.. K1 + K 2 = 2 0. 3 + 1 = 2 0. 1 et 0 sont li s on ne peut pas choisir arbitrairement les p les imposer en BF. 1 2 . C = . 1 2 . det = 0. Le syst me n'est pas commandable Conclusion : Pour pouvoir effectuer un placement de p les par retour d' tat, il faut que le syst me en soit C. placement des p les pour un syst me sous forme compagnons 0.

4 0 1 1 .. = 0 O 1 , = . a0 a1 an 1 . 0 .. = ( k1 kn ). 0 1 0 .. f = = 0 O 0 . ( a1 + k1 ) ( an 1 + k n ) .. (. f ( ) = n + ( an 1 + kn ) n 1 + .. + a 0 + k1 ). On impose les polyn mes caract ristiques : d si ( ) = n + n 1 n 1 + .. + 0. k1 = 0 a0 . k = a . 2 1 1 .. kn = n 1 an 1 . Correcteur discret quivalent Dans le cas o la fr quence d' chantillonnage est lev e par rapport aux dynamiques du syst me, il est possible de concevoir un correcteur num rique . partir d'une synth se en continu. Pour les syst mes temps discret, l'op rateur retard d'une p riode est . Pour les syst mes temps continu, c'est dans le domaine de Laplace.

5 On peut donc passer du domaine au domaine par la relation : (1). Cette relation exacte ne permet pas facilement de d duire un correcteur temps discret partir d'un correcteur temps continu. On utilise pour cela des approximations. L'approximation d'Euler consiste approcher la d riv e par une diff rence finie, ou , ce qui s' crit : (2). ou (3). On utilise la seconde expression car elle est causale. A partir d'un correcteur . temps continu donn sous forme de fonction de transfert , on d termine la fonction de transfert en en rempla ant par son expression en fonction de ou de . Une approximation un peu meilleure de est galement souvent utilis e.

6 Il s'agit de la transform e bilin aire de Tustin qui s' crit : (4). Correcteur par placement des p les On envisage une technique de correction bas e sur l'action proportionnelle qui vise imposer aux syst me des performances dynamiques. On dispose d'un seul degr de libert ( action sur K ) ce qui limite les performances du syst me . commander. On propose dans ce chapitre une approche polynomiale dans laquelle le syst me command doit suivre un mod le de r f rence d fini par une fonction de transfert Hm(z). Les performances statiques et dynamiques souhait es sont obtenues par le dimensionnement ad hoc 1. M thode de placement de p les Cette m thode permet, gr ce des abaques, d'obtenir assez rapidement des r sultats satisfaisants partir des sp cifications temporelles li es la r ponse indicielle du syst me corrig.

7 1. Objectif : Il s'agit d'obtenir un syst me par C(z) dont la FTBF corrig e poss de les caract ristiques suivantes : o un coefficient d'amortissement pour le mode dominant o une erreur maximale en r gime permanent (pour la r ponse indicielle). o un d passement D1 et un temps de pic tP. On notera : La FTBF vaut donc : D'o . En se fixant a priori la dynamique du syst me corrig , qui nous donnera les coefficients de H(z), on peut donc en d duire le correcteur C(z). En notant et , on trouve : En pratique, il faudra d'assurer que ce correcteur est stable et bien s r r alisable, ce qui va imposer des conditions sur le degr de son num rateur et de son d nominateur.

8 Stabilit : les racines de sont l'int rieur du cercle unit . les racines de B ext rieures au cercle unit sont aussi racines de 1. R alisabilit : deg deg . Bien souvent, on imposera que le syst me corrig se comporte comme un second ordre dominant s' crivant : Y(z) est un polyn me dont les racines sont tr s proches de z ro, et qui ne sert qu' . assurer la r alisabilit de C(z), en permettant la v rification des relations crites ci- dessus. Dans la suite, on supposera que ces relations sont v rifi es et on prendra Y(z)=1. Si on d cide d'avoir une erreur nulle en r gime permanent (r ponse indicielle), cela implique : D marche suivre : Calculer G(z).

9 D finir H(z) d'apr s le cahier des charges (D1, , tP). o assurer la r alisabilit de C(z). o fixer z0 si G(z) poss de un z ro instable o A l'aide de la figure , d terminer les valeurs possibles de pour D1 et impos s o Reporter cet intervalle sur la figure et en d duire l'intervalle correspondant . En pratique, on prendra des valeurs faibles pour . o Sur la figure , d terminer la position de p0 l'intersection de la radiale et de l'iso- d sir . o construire l'angle suivant la m thode indiqu e sur la figure 1, puis : Si z0 est libre, en d duire la position de z0. Si z0 est impos , v rifier que appartient l'intervalle d fini pr c demment.

10 Calculer C(z). Figure 1. Figure 2. 1. R gulateur RST. 1. Structure du r gulateur RST. Figure 3. Hypoth ses : Syst me propre degr (A(z)) > degr (B(z)), A(z) monique dont le coefficient du terme de plus haut degr vaut 1. A(z) et B(z) sont premiers entre eux qui ne poss dent aucun facteur commun Le polyn me R(z) est monique de degr r, Le polyn me S(z) de degr s, Le polyn me T(z) est monique de degr t, La fonction de transfert en boucle ferm e : La loi de Commande implanter sur le calculateur r sulte de : On applique le th or me de l'avance pour exprimer u(k+r) : La sortie ne peut anticiper l'entr e, par cons quent : r s et r t 1.