Analyse dynamique des structures du g nie civil - …

1 Analyse dynamique des structures du g enie civilV. Deno elDerni`ere mise`a jour : 27 octobre 2010 Table des mati`eres1 Introduction32 Syst`emes `a un degr e de libert Etablissement de l equation du mouvement .. loi de Newton .. des travaux virtuels .. de Hamilton .. Vibrations libres .. Vibrations forc ees, charges harmoniques .. Etude de trois cas limites .. Etude formelle des vibrations sous charge harmonique .. du probl`eme par une Analyse complexe .. Etude transitoire de la mise en r esonance .. Vibrations forc ees, charges impulsionnelles .. de dur ee finie .. parfaite .. Vibrations forc ees, charges quelconques .. temporelle .. fr equentielle ..313 M ethodes d int egration Principes g en eraux .. Exemples de sch ema d int egration .. ethode de la diff erence centrale .. 1 .. 2 .. el eration constante.

2 El eration lin eaire .. ethodes de Newmark .. ethode de Houbolt .. ethode de Wilson .. ethodes HHT .. Stabilit e et pr ecision des m ethodes num eriques ..514 Syst`emes `a plusieurs degr e de libert G en eralit es .. `a M-DDL physiquement s epar es .. continues .. un mod`ele de structure `a l aide de quelques DDL . etisation de la structure (m ethode des d eplacements,m ethode des el ements finis) .. des fonctions caract eristiques .. Analyse dans la base nodale .. dans le domaine fr equentiel (charge harmonique) .. dans le domaine temporel (charge impulsionnelle) .. esolution pas-`a-pas .. esum e .. Analyse dans la base modale .. et es modales .. ethodes approch ees pour l estimation des propri et es modales .. ethode bas ee sur le quotient de Rayleigh .. it erative du probl`eme aux valeurs propres.

3 En base modale .. des equations .. amortissement structurel .. modale .. el eration modale .. dans d autres bases .. 1005 Syst`emes Equation du mouvement .. Modes propres .. Analyse en base modale .. 1056 Analyse dynamique La th eorie des probabilit es .. La th eorie des processus al eatoires .. L Analyse dynamique stochastique .. le domaine temporel .. le domaine fr equentiel .. 1472 Chapitre 1 IntroductionL Analyse d une structure consiste en la d etermination de sa d eform ee et de ses el ementsde r eduction. Lorsque les efforts qui lui sont appliqu es varient suffisamment lentement dansle temps, l Analyse peut etre r ealis ee sous l hypoth`ese d un comportement (quasi-) diff erentes raisons, mais surtout pour en simplifier la repr esentation num erique, unestructure physiquement continue est g en eralement mod elis ee `a l aide d un ensemble finide degr es de libert e ou coordonn ees g en eralis ees.

4 L exemple le plus usuel est certainementcelui de la m ethode des el ements finis. Dans un tel contexte, les forces appliqu ees peuvent etre exprim ees `a l aide d un vecteur de chargespet l Analyse consiste en la d eterminationdu vecteurxdes d eplacements des degr es de libert e ou des coordonn ees g en eralis ees quipermettent d assurer l equilibre entre les forces appliqu ees et les efforts int erieurs `a lastructure, exprim ee parKx=p( )o`uKest une matrice de raideur relative `a la mod elisation choisie. L Analyse statique d unestructure se r esume donc `a la r esolution d un syst`eme d equations, eventuellement nonlin eaires (siKoupd ependent dex).Lorsque les efforts appliqu es sur une structure la mettent en mouvement de fa con telleque les effets li es au mouvement de sa masse ne soient plus n egligeables, ( ) doit etrecompl et ee par un terme d inertie.

5 L equation du mouvement ecrite sous sa forme la (t) +Kx(t) =p(t)( )inclut ces effets et traduit l equilibre entre les efforts d inertie, les efforts int erieurset les forces appliqu ees. L Analyse dynamique consiste en la d etermination du vecteurxdes d eplacements qui permet de satisfaire cet equilibre. Il appara t donc une diff erencefondamentale entre Analyse statique et dynamique puisque la premi`ere ne requiert que lasolution d un ensemble d equations alg ebriques alors que la seconde n ecessite la r esolutiond un ensemble d equations diff erentielles. Ceci vient en etroite relation avec la nature de lasolution calcul ee : il est evident que la solutionx(t) d une Analyse dynamique repr esente3l evolution au cours du temps du d eplacement des noeuds du mod`ele, contrairement `a lasolution statiquexqui est il est donc evident qu une Analyse dynamique pr esente un degr e de complexit esup erieur `a l Analyse statique, il est attendu que les notions relatives `a l Analyse statiquesoient ma tris ees convenablement avant d aborder l etude du comportement cette raison, nous ne reviendrons que bri`evement sur des outils de mod elisation com-muns avec ceux de l Analyse statique, comme notamment la m ethode des el ements certains cas trait es en pratique, l equation du mouvement ( ) est parfaitementd etermin ee.

6 Cela signifie d une part que les caract eristiques g eom etriques et m ecaniques dela structure (M,K) sont parfaitement connues et d autre part que les effortsp(t) appliqu esen chaque point de la structure sont parfaitement d etermin es (ce sont des fonctions dutemps connues). On recourt donc dans ce cas `a une Analyse dite d eterministe dont nouspr esentons les principes fondamentaux dans ce le domaine du g enie civil , un certain caract`ere al eatoire peut (et dans certains casdoit) etre attribu e aux grandeurs mises en jeu : les caract eristiques de la structure peuvent ne pas etre connues avec certitude. Pre-nons pour exemple une construction en b eton arm e dont on sait que les caract eris-tiques de r esistance et de d eformabilit e ne sont pas connues avec exactitude. Dans cecas, certaines composantes des matrices structurellesMetKpeuvent etre caract e-ris ees par des grandeurs probabilistes plut ot qu etre parfaitement d etermin ees ; les sollicitations ext erieures peuvent egalement n etre d etermin ees qu en termes deprobabilit es.

7 C est g en eralement le cas lorsque les efforts appliqu es proviennent deph enom`enes naturels (tremblements de terre, vent, houle, trafic, etc.).Il existe des techniques de r esolution qui, partant de repr esentations probabilistes de lastructure et de son chargement, permettent de d eterminer les structures statistiques desd eplacements des noeuds de la structure ou des el ements de r eduction. Il s agit d analysesstochastiques que nous pr esenterons dans le second volume du 2 Syst`emes `a un degr e de libert eFace `a l Analyse d une structure, un r ole important de l ing enieur consiste `a construireun mod`ele ad equat qui, de fa con minimaliste, devrait permettre d expliquer les ph eno-m`enes attendus en assemblant uniquement les el ements de mod elisation n ecessaires. Lechoix d un mod`ele le plus simple possible am`ene souvent `a l etude d un syst`eme `a un degr ede libert e, c est-`a-dire un syst`eme tel que la connaissance d une coordonn ee g en eralis eeq(t)en un instant quelconque d etermine de fa con exhaustive l etat de la structure etudi ee.

8 Lesstructures filaires rencontr ees dans le domaine du g enie civil -un portique `a un etage, unhaut building, un tablier de pont, un hauban- sont parfois mod elis ees `a l aide de syst`emes`a un degr e de libert e, ce qui permet de repr esenter leur comportement dynamique fonda-mental. En pratique, l etablissement de ce mod`ele n est pas toujours evident. A la , nous pr esentons les outils qui permettront de mettre au point un mod`ele dynamiquede la structure, et d etablir une equation du mouvement comme ( ).En nous limitant ensuite `a l etude des vibrations de syst`emes lin eaires, nous etudieronssuccessivement la r eponse d une structure `a un degr e de libert e soumise `a divers types decharges (constante, p eriodique, impulsionnelle), afin de pr esenter les bases n ecessaires quinous permettront d etudier la r eponse d une structure soumise `a une charge Etablissement de l equation du mouvementUn syst`eme `a un seul degr e de libert e associ e `a une coordonn ee g en eralis eeqest tel quela connaissance deq(t) en un instanttquelconque d etermine de fa con exhaustive l etat dela structure etudi ee.

9 Cela ne signifie pas que la structure soit n ecessairement limit ee `a unseul point mat eriel, ni qu elle soit parfaitement exemple c el`ebre est celui du pendule simple (Fig. ) o`u la coordonn eeg en eralis eeq est la position angulaire du pendule par rapport `a la verticale. Le penduleest compos e d un bras de longueur`dont une extr emit e est fixe et l autre est pourvue d unemassemsignificativement plus lourde que la masse du bras. Puisque le bras est suppos e etre parfaitement rigide, la connaissance de l angle implique de facto celle de tous lespoints de la structure (masse et bras). En particulier, avec les notations de la Fig. , Exemple de syst`eme `a un degr e de libert e : le pendule de la masse dans le r ef erentiel (x,y) estx= (`cos ,`sin )( )dont on peut, par d erivation, d eterminer les expressions de la vitesse et de l acc el eration1 x=( ` sin ,` cos ).

10 X=( ` 2cos ` sin , ` 2sin +` cos ). ( )L equation du mouvement traduit l equilibre de la structure. L Analyse dynamique d unestructure consiste `a etablir cette equation, puis `a la r esoudre de fa con `a d eterminer l evolu-tion au cours du temps de la coordonn ee g en eralis eeq(t). Dans cette section, trois m ethodesdiff erentes d exprimer l equilibre dynamique d une structure sont pr esent ees. Elles m`enentnaturellement `a la m eme equation du mouvement, qui est unique sous les hypoth`eses demod elisation choisies. Dans la pratique, on a recours `a l une ou l autre m ethode selon ladifficult e du probl`eme rencontr e. Il est donc important de ma triser les diff erentes m ethodespour pouvoir etablir l equation du mouvement de fa con optimale dans toute Seconde loi de NewtonLa seconde loi de Newton, appel ee egalement th eor`eme du centre d inertie, s enonce :Dans un rep`ere inertiel, la somme vectorielle des forces appliqu ees sur un objetest egale au produit de la masse de l objet par son vecteur acc el s ecrit fi= ( )1.